2024--2025高二下学期期中考试模拟试卷
试题范围：数列、导数及其应用、计数原理
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 整数1080的所有正因数的和是( )
A．3600 B．3260 C．3180 D．2860
2．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和复旦3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有多少种( )．
A．150 B．114 C．100 D．72
3.展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．将4个1和两个0排成一列，不同的排列方法种数为( )．
A．15种 B．24种 C．30种 D．36种
现准备将10台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区至少1台，则不同的分配方案共有（ ）
A．70种 B．35种 C．60种 D．125种
6．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． . D．
8．若表示不超过的最大整数（例如：），数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A 是周期4的周期函数 B 图象关于点对称
C． D．图象关于点对称
10．如图，在某城市中，M N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M N处的甲 乙两人分别要到N M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种
B．图中矩形的个数为32个
C．甲乙两人在处相遇的概率为
D．甲从M到达N处的方法有20种
11.（2024北京高考题）已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是( ).
A. ，均为等差数列，则M中最多一个元素；
B. ，均为等比数列，则M中最多三个元素；
C. 为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素；
D. 单调递增，单调递减，则M中最多一个元素.
三 填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．
若，则等于_________.
已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a的取值范围为____________ ．
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．（13分）记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明：．
16．（15分）已知数列的前项和为，，．求证：
(1)数列是等差数列；
(2)．
17．（15分）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
18. （17分）函数
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若，且在实数上恒成立，求的最大值．
19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A B B B A ABC ACD
题号 11
答案 ACD
12．420 13．10 14．
15.(1)∵， 两式相减可得，，可得，又∵，∴也符合．∴，∴，故；
（2）证明：．
前项和，
∵，∴，∴，∴.
16.（1），即，即，所以，且，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.（2）有（1）可得，，则，所以，则且，则，则，所以，即.
17.（1）当时，，则，当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.（2）设，则，
又，设，则，
若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有， 在上为减函数，.综上，.
18.（1）因为，所以，当时，在上单调递增，当时，上单调递减，在上单调递增.
(2)结合（1）与题意可得，即，即，从而得令所以令
当时，在上单调递增当时，在上单调递减所以所以，即的最大值为．
19．（1）令，，故．（2）结论：，证明如下：令，，则令，则，
故在上单调递增，，则故在上单调递增，，
即证得，故．（3）由（2）可得当时，，且由得，当且仅当时取等号，故当时，，，，
而
，即有 故
而，即证得．
