广西南宁市南宁二中和新民中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·南宁期中）下列各数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
2．（2024七下·南宁期中）全国第一届学生（青年）运动会在广西南宁举行，会徽如图所示，则可由会徽平移得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·南宁期中）墨迹覆盖了二元一次方程“”的一部分，则覆盖的可能是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2024七下·南宁期中）下列选项中，过点 M 作直线l的垂线，三角板放置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·南宁期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·南宁期中）如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·南宁期中） 下列四个句子中是命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等 B．利用三角板画60°的角
C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段
8．（2024七下·南宁期中）已知，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·南宁期中）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．七（3）班教室第三排 B．昆明市人民东路
C．南偏西 D．东经，北纬
10．（2024七下·南宁期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
11．（2024七下·南宁期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024七下·南宁期中）现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024七下·南宁期中）9的算术平方根是 ．
14．（2024七下·南宁期中）如图是小王同学在立定跳远训练中最好一跳的示意图，则小王的跳远成绩是指线段 的长度．
15．（2024七下·南宁期中）平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点，则点的坐标是 ．
16．（2024七下·南宁期中）体积为5的立方体的棱长为 ．
17．（2024七下·南宁期中）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是 ．
18．（2024七下·南宁期中）酥梨酥脆爽口，山竹酸甜可口，广受顾客喜爱，某水果商店计划购进山竹和酥梨共200千克，已知山竹和酥梨的进价和售价如表所示．若要此次山竹和酥梨全部售完的利润不低于1000元，则最多购进酥梨 千克．
进价（元/千克） 售价（元/千克）
山竹 12 20
酥梨 4 7
19．（2024七下·南宁期中） 计算：．
20．（2024七下·南宁期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（2024七下·南宁期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向上平移个单位长度得到，请画出；
（2）请直接写出的坐标；
（3）求的面积．
22．（2024七下·南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？
23．（2024七下·南宁期中）两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程．
解：，______，（平角定义）
______．（______）
又，（______）
．（______）
24．（2024七下·南宁期中）材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
25．（2024七下·南宁期中）某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元．
（1）型和型笔记本每本的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？
26．（2024七下·南宁期中）阅读材料，解决问题：
【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，．
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以A不合题意；
B中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以B不合题意；
C中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以C不合题意；
D中，图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，所以D符合题意；
故选D．
【分析】本题主要考查了图形的平移，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变物体的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程，
∴四个选项中，覆盖的可能是，
故选：B．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，把b只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此定义，结合选项，即可求解．
4．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线重合，
∵过点M作直线l的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点M，
∴符合上述条件的图形只有选项B．
故选：B．
【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，垂线的定义是两条直线相交，并且有一个角是直角，也就是两条线互相垂直，那么一条直线就叫做另一条直线的垂线，结合直角三角形的性质，逐项分析作答，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集如下图：
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示解集，若是“大于”或“大于等于”向右画，若是“小于”或“小于等于”向左画，其中开区间端点用空心点表示，闭区间用实心点表示，由不等式，在的右边且在处画空心，进而得到答案.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图形可得：点的坐标可能是．
故选：C．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，点在四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），根据图形可得点P在第四象限，结合第四象限点的特征，分析坐标，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、“ 正方形的四条边相等 ”是命题，故此选项符合题意；
B、“ 利用三角板画60°的角 ”是作图语言，没有进行判断，不是命题，故此选项不符合题意；
C、“ 生活在水里的动物是鱼吗？ ”是疑问句，没有做出判断，不是陈述句，不是命题，故此选项不符合题意；
D、“直线、射线、线段”描述性语言，没有做出判断，不是命题，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的、可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，∴A不正确；
B、∵，∴，∴B不正确；
C、∵，∴，∴C正确；
D、∵，∴，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
9．【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：A中，七（3）班教室第三排，不能确定具体位置，故A不符合题意；
B中，昆明市人民东路，不能确定具体位置，故B不符合题意；
C中，南偏西，不能确定具体位置，故C不符合题意；
D中，东经，北纬，能确定具体位置，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了有序数对表示位置，把这种有顺序的两个数A与B组成的数对叫做有序数对，记做（A，B），其中 其中两个数各自表示不同的含义，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即 ，
的值应在 2和3之间
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义可得，即 ，则 的值应在2和3之间。
11．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
两条入射光线平行，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质应用，根据两直线平行，同位角相等，得到，再由两直线平行，同旁内角互补，得到，即可求得的度数，得到答案.
12．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：D.
【分析】 设可裁成纸张，纸张，然后根据“ 将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张 ”列方程组解题即可．
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可得小王的跳远成绩是指线段的长度，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，其中垂线段最短，根据跳远的距离为从起跑线到最近脚落脚地方之间线段的长度，据此求解，即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点，
∴点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移的规律：“上加下减，左减右加”，将点向右平移1个单位得到点的坐标，即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：因为立方体的体积是5，
所以棱长为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了立方根的应用，由立方体的体积公式，结合立方根的定义，求得立方体的棱长，得到答案．
17．【答案】40
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设顺时针旋转的最小度数为x，
，，
要使木条a与b平行，只需，
则，
故答案为：40．
【分析】本题考查了平行线的判定方法，设顺时针旋转的最小度数为x，根据同位角相等，两直线平行，只需，求得x的值，即可得到答案.
18．【答案】120
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购进酥梨x千克，则购进山竹千克，
由题意得，，
解得，
∴最多购进酥梨120千克，
故答案为：120．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进酥梨x千克，得到购进山竹千克，结合总利润不低于1000，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
19．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据数的乘方及开方法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法运算法则进行计算即可．
20．【答案】解：去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用不等式的性质求出 ，再将解集在数轴上表示即可。
21．【答案】（1）解：向上平移个单位长度，∴根据图形平移的规律，如图所示，
（2）解：由（1）中的图形的位置可得，，，．
（3）解：如图所示，将补成梯形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据图形平移的规律：“左加右减，上加下减”， 将向上平移个单位长度得到的位置，顺次连接，即可求解.
（2）由（1）中的图形，结合坐标系中点的坐标的求法，即可得到的坐标，即可求解；
（3）将补成梯形，根据梯形和三角形的面积公式，结合梯形的面积减去两个三角形的面积，列出算式，即可求解.
22．【答案】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，则
，
解得：，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据 购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
23．【答案】；；等角的补角相等；等量代换
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：，，（平角定义）
．（等角的补角相等）
又，（平角的定义）
．（等量代换）
故答案为：；；等角的补角相等；等量代换．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据等角的补角相等，得到，结合平角的定义，得到，得到，结合推理过程和等量代换，即可得到答案.
24．【答案】解：由①得：③，将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查解二元一次方程组，以及整体代入法的应用，将代入，求得，再将代入计算，求得x的值，进而的方程组的解.
25．【答案】（1）解：设型笔记本每本元，型笔记本每本元，
根据题意得，
解得．
答：型笔记本每本8元，型笔记本每本5元．
（2）解：设购买型笔记本本，
根据题意得．
解得，
是正整数，
最大取33，
答：型笔记本最多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型笔记本每本元，型笔记本每本元，根据题意，列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设型笔记本本，则型笔记本本，根据 费用不超过500元， 列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
26．【答案】解：（1）证明：，
，，
；
解：（2），理由如下：
，，，
，
，
；
解：（3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由，根据等角的余角相等，即可证得；
（2）由，，且，根据平行线的性质，得到，再由平角的定义，列出算式，即可得到，得到答案；
（3）根据潜望镜的折射原理，结合平行线的性质，进行分析，即可得到结论．
广西南宁市南宁二中和新民中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·南宁期中）下列各数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
2．（2024七下·南宁期中）全国第一届学生（青年）运动会在广西南宁举行，会徽如图所示，则可由会徽平移得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以A不合题意；
B中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以B不合题意；
C中，图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，所以C不合题意；
D中，图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，所以D符合题意；
故选D．
【分析】本题主要考查了图形的平移，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变物体的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．（2024七下·南宁期中）墨迹覆盖了二元一次方程“”的一部分，则覆盖的可能是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程，
∴四个选项中，覆盖的可能是，
故选：B．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，把b只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此定义，结合选项，即可求解．
4．（2024七下·南宁期中）下列选项中，过点 M 作直线l的垂线，三角板放置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线重合，
∵过点M作直线l的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点M，
∴符合上述条件的图形只有选项B．
故选：B．
【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，垂线的定义是两条直线相交，并且有一个角是直角，也就是两条线互相垂直，那么一条直线就叫做另一条直线的垂线，结合直角三角形的性质，逐项分析作答，即可得到答案.
5．（2024七下·南宁期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集如下图：
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示解集，若是“大于”或“大于等于”向右画，若是“小于”或“小于等于”向左画，其中开区间端点用空心点表示，闭区间用实心点表示，由不等式，在的右边且在处画空心，进而得到答案.
6．（2024七下·南宁期中）如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图形可得：点的坐标可能是．
故选：C．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，点在四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），根据图形可得点P在第四象限，结合第四象限点的特征，分析坐标，即可求解.
7．（2024七下·南宁期中） 下列四个句子中是命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等 B．利用三角板画60°的角
C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、“ 正方形的四条边相等 ”是命题，故此选项符合题意；
B、“ 利用三角板画60°的角 ”是作图语言，没有进行判断，不是命题，故此选项不符合题意；
C、“ 生活在水里的动物是鱼吗？ ”是疑问句，没有做出判断，不是陈述句，不是命题，故此选项不符合题意；
D、“直线、射线、线段”描述性语言，没有做出判断，不是命题，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的、可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项判断得出答案.
8．（2024七下·南宁期中）已知，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，∴A不正确；
B、∵，∴，∴B不正确；
C、∵，∴，∴C正确；
D、∵，∴，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
9．（2024七下·南宁期中）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．七（3）班教室第三排 B．昆明市人民东路
C．南偏西 D．东经，北纬
【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：A中，七（3）班教室第三排，不能确定具体位置，故A不符合题意；
B中，昆明市人民东路，不能确定具体位置，故B不符合题意；
C中，南偏西，不能确定具体位置，故C不符合题意；
D中，东经，北纬，能确定具体位置，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了有序数对表示位置，把这种有顺序的两个数A与B组成的数对叫做有序数对，记做（A，B），其中 其中两个数各自表示不同的含义，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
10．（2024七下·南宁期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即 ，
的值应在 2和3之间
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义可得，即 ，则 的值应在2和3之间。
11．（2024七下·南宁期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
两条入射光线平行，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质应用，根据两直线平行，同位角相等，得到，再由两直线平行，同旁内角互补，得到，即可求得的度数，得到答案.
12．（2024七下·南宁期中）现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：D.
【分析】 设可裁成纸张，纸张，然后根据“ 将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张 ”列方程组解题即可．
13．（2024七下·南宁期中）9的算术平方根是 ．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．（2024七下·南宁期中）如图是小王同学在立定跳远训练中最好一跳的示意图，则小王的跳远成绩是指线段 的长度．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可得小王的跳远成绩是指线段的长度，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，其中垂线段最短，根据跳远的距离为从起跑线到最近脚落脚地方之间线段的长度，据此求解，即可得到答案．
15．（2024七下·南宁期中）平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点，
∴点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移的规律：“上加下减，左减右加”，将点向右平移1个单位得到点的坐标，即可得到答案.
16．（2024七下·南宁期中）体积为5的立方体的棱长为 ．
【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：因为立方体的体积是5，
所以棱长为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了立方根的应用，由立方体的体积公式，结合立方根的定义，求得立方体的棱长，得到答案．
17．（2024七下·南宁期中）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是 ．
【答案】40
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设顺时针旋转的最小度数为x，
，，
要使木条a与b平行，只需，
则，
故答案为：40．
【分析】本题考查了平行线的判定方法，设顺时针旋转的最小度数为x，根据同位角相等，两直线平行，只需，求得x的值，即可得到答案.
18．（2024七下·南宁期中）酥梨酥脆爽口，山竹酸甜可口，广受顾客喜爱，某水果商店计划购进山竹和酥梨共200千克，已知山竹和酥梨的进价和售价如表所示．若要此次山竹和酥梨全部售完的利润不低于1000元，则最多购进酥梨 千克．
进价（元/千克） 售价（元/千克）
山竹 12 20
酥梨 4 7
【答案】120
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购进酥梨x千克，则购进山竹千克，
由题意得，，
解得，
∴最多购进酥梨120千克，
故答案为：120．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进酥梨x千克，得到购进山竹千克，结合总利润不低于1000，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
19．（2024七下·南宁期中） 计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据数的乘方及开方法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法运算法则进行计算即可．
20．（2024七下·南宁期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用不等式的性质求出 ，再将解集在数轴上表示即可。
21．（2024七下·南宁期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向上平移个单位长度得到，请画出；
（2）请直接写出的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：向上平移个单位长度，∴根据图形平移的规律，如图所示，
（2）解：由（1）中的图形的位置可得，，，．
（3）解：如图所示，将补成梯形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据图形平移的规律：“左加右减，上加下减”， 将向上平移个单位长度得到的位置，顺次连接，即可求解.
（2）由（1）中的图形，结合坐标系中点的坐标的求法，即可得到的坐标，即可求解；
（3）将补成梯形，根据梯形和三角形的面积公式，结合梯形的面积减去两个三角形的面积，列出算式，即可求解.
22．（2024七下·南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？
【答案】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，则
，
解得：，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据 购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
23．（2024七下·南宁期中）两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程．
解：，______，（平角定义）
______．（______）
又，（______）
．（______）
【答案】；；等角的补角相等；等量代换
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：，，（平角定义）
．（等角的补角相等）
又，（平角的定义）
．（等量代换）
故答案为：；；等角的补角相等；等量代换．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据等角的补角相等，得到，结合平角的定义，得到，得到，结合推理过程和等量代换，即可得到答案.
24．（2024七下·南宁期中）材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
【答案】解：由①得：③，将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查解二元一次方程组，以及整体代入法的应用，将代入，求得，再将代入计算，求得x的值，进而的方程组的解.
25．（2024七下·南宁期中）某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元．
（1）型和型笔记本每本的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？
【答案】（1）解：设型笔记本每本元，型笔记本每本元，
根据题意得，
解得．
答：型笔记本每本8元，型笔记本每本5元．
（2）解：设购买型笔记本本，
根据题意得．
解得，
是正整数，
最大取33，
答：型笔记本最多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型笔记本每本元，型笔记本每本元，根据题意，列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设型笔记本本，则型笔记本本，根据 费用不超过500元， 列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
26．（2024七下·南宁期中）阅读材料，解决问题：
【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，．
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）．
【答案】解：（1）证明：，
，，
；
解：（2），理由如下：
，，，
，
，
；
解：（3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由，根据等角的余角相等，即可证得；
（2）由，，且，根据平行线的性质，得到，再由平角的定义，列出算式，即可得到，得到答案；
（3）根据潜望镜的折射原理，结合平行线的性质，进行分析，即可得到结论．
