广东省韶关市浈江区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·浈江期中）如图，直线和直线相交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·浈江期中）在平面直角坐标系中，下列点中位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·浈江期中）81的平方根为（ ）
A．9 B．±9 C．－9 D．±3
4．（2024七下·浈江期中）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．π
5．（2024七下·浈江期中）下列各组x、y的值中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·浈江期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·浈江期中）点P在第二象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·浈江期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·浈江期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中正确的共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2024七下·浈江期中）如图，将三角形沿着B到C的方向平移到三角形的位置，，，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B．32 C．36 D．64
11．（2024七下·浈江期中）如图，，若，则的度数为 ．
12．（2024七下·浈江期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
13．（2024七下·浈江期中）已知方程的一组解为，则m的值是 ．
14．（2024七下·浈江期中）在平面直角坐标系中，将点P（-4，-2）先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是 ．
15．（2024七下·浈江期中）已知，用含x的式子表示 ．
16．（2024七下·浈江期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ．
17．（2024七下·浈江期中）计算：．
18．（2024七下·浈江期中）计算：．
19．（2024七下·浈江期中）解方程组：．
20．（2024七下·浈江期中）如图，，，，求的度数．
解：∵（已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴ （等量代换）．
∴ （ ）．
∴ ．
∵（已知），
∴ ．
21．（2024七下·浈江期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数，判断与有什么位置关系？
22．（2024七下·浈江期中）列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
23．（2024七下·浈江期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．
（1）求这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a．
（3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
24．（2024七下·浈江期中）如图1，已知平面直角坐标系上有点，，，连接，，，三角形记为“”．
（1）把先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的；
【思维启迪】
（2）若点C的坐标是，D的坐标为，则
①的面积是 ，的面积是 ；
②的面积 的面积（填“＞，＝，＜”）
③A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是 ．
请你利用你发现的结论，尝试解决以下问题
【学以致用】
（3）如图2，E是x轴上方一点，点M的坐标是，若的面积与的面积相等，且点E到点A的距离是长度的2倍，求点E的坐标．
25．（2024七下·浈江期中）已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在AB、CD之间，O、B、D三点均在直线EF的同侧．
（1）如图1，求证：∠EOF＝∠BEO+∠DFO；
（2）如图2，若OE⊥OF，EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，求∠G的度数；
（3）如图3，若∠EOF的度数为α，EM平分∠BEO交FO的延长线于M，FN平分∠DFO交EO的延长线于点N，求∠M+∠N的度数（用含α的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴（对顶角相等）．
故选：C．
【分析】本题主要考查对顶角定义与性质，根据对顶角相等，由，结合，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、
在y轴上，故本选项不符合题意；
B、
在第二象限，故本选项不符合题意；
C、
在第四象限，故本选项符合题意；
D、
在第三象限，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据第四象限的点坐标的特征：横坐标为正数，纵坐标为负数即可得到答案。
3．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】81的平方根±9.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的定义，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ＝2，是有理数，不符合题意；
B、 ，是分数，故是有理数，不符合题意；
C、0是整数，故是有理数，不符合题意；
D、π是无理数．
故答案为：D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x=1，y=2代入3x+y=5得，
左边=3×1+2=5，右边=7，
左边=右边，
故是方程的解.
故答案为：A.
【分析】分别将各个选项中x、y的值代入3x+y中求出对应的值，然后与5进行比较即可.
6．【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项
故答案为：C
【分析】根据算术平方根和立方根定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的纵坐标的绝对值等于2，横坐标的绝对值等于5，
又∵点P在第二象限，
点P的横坐标为 ，纵坐标为2，
点P的坐标是 .
故答案为：B.
【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此确定点P坐标即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由，得到，根据，，结合，进行计算，即可得到答案.
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；
故（1），（2），（3），（4）正确；
∴∠1+∠3＝90°．
故（5）正确．
∴其中正确的共有5个．
故选：A．
【分析】根据题意得AB∥CD，∠FEG＝90°，由直线平行性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据余角性质可得∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将三角形沿着B到C的方向平移到三角形的位置，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：D．
【分析】根据三角形的面积公式求出，再根据平移的性质得出，，然后根据线段的和差得出，，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查垂线定义及其应用，根据，得到，结合，求得的度数，即可得到答案.
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
13．【答案】6
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
14．【答案】（-6，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点M（-4，-2）先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点的坐标是（-4-2，-2+3），即（-6，1），
故答案为：（-6，1）．
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化—平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，结合M点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，即可得到平移后的坐标，得到答案.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：，
移项，得．
故答案为：．
【分析】本题考查了二元一次方程的解法，把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
17．【答案】解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
18．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，根据题意，先去掉括号，再合并同类二次根式，即可得到答案．
19．【答案】解：
①+②，得
解得：
把代入②，得
解得：
所以方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法，先①+②，得到，求出，再把代入②，求出y的值，得到方程组的解，得到答案.
20．【答案】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴．
∵（已知），
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，理由如下：
，
，，
，
，
平分，
，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；线段垂直平分线的概念
22．【答案】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据 用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；；
（2）根据 《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，列式计算，即可求解．
23．【答案】（1）解：设魔方的棱长为，
则，
解得：；
（2）解：∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形的面积为：，即，
∴正方形的边长；
（3）
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵正方形的边长为，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
【分析】（1）设魔方的棱长为，根据立方体的体积公式即可求出答案.
（2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此即可求出边长即可得解；
（3）用点表示的数减去边长即可得解．
（1）解：设魔方的棱长为，
则，
解得：；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形的面积为：，即，
∴正方形的边长；
（3）∵正方形的边长为，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
24．【答案】解：（1）如图1中，即为所求；
（2）①4，4；②＝；③平行；
解：（3）如图所示，过点A坐标x轴的平行线，由 E是x轴上方一点，点M的坐标是，
可得点E，，
，．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）①的面积是，的面积是；
②的面积
的面积=的面积；
③由图知，A、C、D三点的纵坐标相同
A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是平行．
故答案为：①4，4；②=；③平行；
【分析】（1）利用平移变换的性质，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，分别作出A，O，B的对应点，，，即可得到答案；
（2）①②利用三角形的面积公式计算，列出算式，进行计算，即可得到结论；
③由图知，A、C、D三点的纵坐标相同，结合图象法进行判断，即可答案；
（3）过点A坐标x轴的平行线，由 E是x轴上方一点，点M的坐标是，结合的面积与的面积相等， 得出点E和的坐标，即可求解.
25．【答案】解：（1）如图，过点O作OP∥AB，则∠EOP＝∠BEO ，
∵OP∥AB，AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠FOP＝∠DFO，
∴∠EOF＝∠EOP+∠FOP＝∠BEO+∠DFO．
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
由（1）知∠BEO+∠DFO＝90°，∠G＝∠BEG+∠DFG，
∵EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，
∴∠G＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEO+∠DFO）＝＝×90°＝45°．
（3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y，
则由（1）得，x+y＝α，
由（1）得，∠M＝∠BEM+∠DFM＝x+y①，
∠N＝∠BEN+∠DFN＝x+y②，
①+②得，∠M+∠N＝（x+y）＝α．
【知识点】平行线的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点O作OP∥AB，得到OP∥CD，得出∠EOP＝∠BEO，∠FOP＝∠DFO，结合等量代换，即可得证；
（2）由（1）知∠G＝∠BEG+∠DFG，根据OE⊥OF，且EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，结合∠G＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEO+∠DFO），求得的度数，即可得到答案；
（3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y，由（1）得到x+y＝α，根据（1）的结论，求得∠M和∠N，进而求得∠M+∠N的度数，即可得到答案．
广东省韶关市浈江区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·浈江期中）如图，直线和直线相交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴（对顶角相等）．
故选：C．
【分析】本题主要考查对顶角定义与性质，根据对顶角相等，由，结合，即可求解.
2．（2024七下·浈江期中）在平面直角坐标系中，下列点中位于第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、
在y轴上，故本选项不符合题意；
B、
在第二象限，故本选项不符合题意；
C、
在第四象限，故本选项符合题意；
D、
在第三象限，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据第四象限的点坐标的特征：横坐标为正数，纵坐标为负数即可得到答案。
3．（2024七下·浈江期中）81的平方根为（ ）
A．9 B．±9 C．－9 D．±3
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】81的平方根±9.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的定义，即可得出答案。
4．（2024七下·浈江期中）下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．π
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ＝2，是有理数，不符合题意；
B、 ，是分数，故是有理数，不符合题意；
C、0是整数，故是有理数，不符合题意；
D、π是无理数．
故答案为：D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
5．（2024七下·浈江期中）下列各组x、y的值中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将x=1，y=2代入3x+y=5得，
左边=3×1+2=5，右边=7，
左边=右边，
故是方程的解.
故答案为：A.
【分析】分别将各个选项中x、y的值代入3x+y中求出对应的值，然后与5进行比较即可.
6．（2024七下·浈江期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项
故答案为：C
【分析】根据算术平方根和立方根定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·浈江期中）点P在第二象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的纵坐标的绝对值等于2，横坐标的绝对值等于5，
又∵点P在第二象限，
点P的横坐标为 ，纵坐标为2，
点P的坐标是 .
故答案为：B.
【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此确定点P坐标即可.
8．（2024七下·浈江期中）如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由，得到，根据，，结合，进行计算，即可得到答案.
9．（2024七下·浈江期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中正确的共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；
故（1），（2），（3），（4）正确；
∴∠1+∠3＝90°．
故（5）正确．
∴其中正确的共有5个．
故选：A．
【分析】根据题意得AB∥CD，∠FEG＝90°，由直线平行性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据余角性质可得∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°，即可求出答案.
10．（2024七下·浈江期中）如图，将三角形沿着B到C的方向平移到三角形的位置，，，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B．32 C．36 D．64
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将三角形沿着B到C的方向平移到三角形的位置，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：D．
【分析】根据三角形的面积公式求出，再根据平移的性质得出，，然后根据线段的和差得出，，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
11．（2024七下·浈江期中）如图，，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查垂线定义及其应用，根据，得到，结合，求得的度数，即可得到答案.
12．（2024七下·浈江期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
13．（2024七下·浈江期中）已知方程的一组解为，则m的值是 ．
【答案】6
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
14．（2024七下·浈江期中）在平面直角坐标系中，将点P（-4，-2）先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是 ．
【答案】（-6，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点M（-4，-2）先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点的坐标是（-4-2，-2+3），即（-6，1），
故答案为：（-6，1）．
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化—平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，结合M点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，即可得到平移后的坐标，得到答案.
15．（2024七下·浈江期中）已知，用含x的式子表示 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：，
移项，得．
故答案为：．
【分析】本题考查了二元一次方程的解法，把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，即可得到答案．
16．（2024七下·浈江期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
17．（2024七下·浈江期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
18．（2024七下·浈江期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，根据题意，先去掉括号，再合并同类二次根式，即可得到答案．
19．（2024七下·浈江期中）解方程组：．
【答案】解：
①+②，得
解得：
把代入②，得
解得：
所以方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法，先①+②，得到，求出，再把代入②，求出y的值，得到方程组的解，得到答案.
20．（2024七下·浈江期中）如图，，，，求的度数．
解：∵（已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴ （等量代换）．
∴ （ ）．
∴ ．
∵（已知），
∴ ．
【答案】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴．
∵（已知），
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
21．（2024七下·浈江期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数，判断与有什么位置关系？
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，理由如下：
，
，，
，
，
平分，
，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；线段垂直平分线的概念
22．（2024七下·浈江期中）列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
【答案】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据 用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；；
（2）根据 《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，列式计算，即可求解．
23．（2024七下·浈江期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．
（1）求这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a．
（3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
【答案】（1）解：设魔方的棱长为，
则，
解得：；
（2）解：∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形的面积为：，即，
∴正方形的边长；
（3）
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵正方形的边长为，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
【分析】（1）设魔方的棱长为，根据立方体的体积公式即可求出答案.
（2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此即可求出边长即可得解；
（3）用点表示的数减去边长即可得解．
（1）解：设魔方的棱长为，
则，
解得：；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形的面积为：，即，
∴正方形的边长；
（3）∵正方形的边长为，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
24．（2024七下·浈江期中）如图1，已知平面直角坐标系上有点，，，连接，，，三角形记为“”．
（1）把先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的；
【思维启迪】
（2）若点C的坐标是，D的坐标为，则
①的面积是 ，的面积是 ；
②的面积 的面积（填“＞，＝，＜”）
③A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是 ．
请你利用你发现的结论，尝试解决以下问题
【学以致用】
（3）如图2，E是x轴上方一点，点M的坐标是，若的面积与的面积相等，且点E到点A的距离是长度的2倍，求点E的坐标．
【答案】解：（1）如图1中，即为所求；
（2）①4，4；②＝；③平行；
解：（3）如图所示，过点A坐标x轴的平行线，由 E是x轴上方一点，点M的坐标是，
可得点E，，
，．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）①的面积是，的面积是；
②的面积
的面积=的面积；
③由图知，A、C、D三点的纵坐标相同
A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是平行．
故答案为：①4，4；②=；③平行；
【分析】（1）利用平移变换的性质，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，分别作出A，O，B的对应点，，，即可得到答案；
（2）①②利用三角形的面积公式计算，列出算式，进行计算，即可得到结论；
③由图知，A、C、D三点的纵坐标相同，结合图象法进行判断，即可答案；
（3）过点A坐标x轴的平行线，由 E是x轴上方一点，点M的坐标是，结合的面积与的面积相等， 得出点E和的坐标，即可求解.
25．（2024七下·浈江期中）已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在AB、CD之间，O、B、D三点均在直线EF的同侧．
（1）如图1，求证：∠EOF＝∠BEO+∠DFO；
（2）如图2，若OE⊥OF，EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，求∠G的度数；
（3）如图3，若∠EOF的度数为α，EM平分∠BEO交FO的延长线于M，FN平分∠DFO交EO的延长线于点N，求∠M+∠N的度数（用含α的式子表示）．
【答案】解：（1）如图，过点O作OP∥AB，则∠EOP＝∠BEO ，
∵OP∥AB，AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠FOP＝∠DFO，
∴∠EOF＝∠EOP+∠FOP＝∠BEO+∠DFO．
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
由（1）知∠BEO+∠DFO＝90°，∠G＝∠BEG+∠DFG，
∵EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，
∴∠G＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEO+∠DFO）＝＝×90°＝45°．
（3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y，
则由（1）得，x+y＝α，
由（1）得，∠M＝∠BEM+∠DFM＝x+y①，
∠N＝∠BEN+∠DFN＝x+y②，
①+②得，∠M+∠N＝（x+y）＝α．
【知识点】平行线的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点O作OP∥AB，得到OP∥CD，得出∠EOP＝∠BEO，∠FOP＝∠DFO，结合等量代换，即可得证；
（2）由（1）知∠G＝∠BEG+∠DFG，根据OE⊥OF，且EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，结合∠G＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEO+∠DFO），求得的度数，即可得到答案；
（3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y，由（1）得到x+y＝α，根据（1）的结论，求得∠M和∠N，进而求得∠M+∠N的度数，即可得到答案．
