广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·深圳期中）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·深圳期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．买一张彩票，一定不会中奖
3．（2024七下·深圳期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·深圳期中）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·深圳期中）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：下列说法错误的是（ ）
物体的质量（） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（） 10 15 20
A．在没挂物体时，弹簧的长度为
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为
6．（2024七下·深圳期中）下列说法中正确的个数有 （ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等 ．
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部．
（3）相等的角是对顶角．
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024七下·深圳期中）如图，在中，，．按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和的延长线于点，．②分别以，为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点．③做射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·深圳期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以一定的速度，沿方向运动到点A处停止（提示：当点P在AB上运动时，点P到DC的距离始终等于AD和BC）．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
9．（2024七下·深圳期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为( )
A． B． C． D．
10．（2024七下·深圳期中）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2024七下·深圳期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的关系式是 ．
12．（2024七下·深圳期中）已知是一个完全平方式，则m的值是： ．
13．（2024七下·深圳期中）如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是 ．
14．（2024七下·深圳期中）如图，在中，边上的高，点E为上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ．
15．（2024七下·深圳期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
16．（2024七下·深圳期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．（2024七下·深圳期中）如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中（分）表示时间，（千米）表示小华离家的距离．根据图象回答下列问题：
（1）体育馆距离小华家__________千米，小华在体育馆锻炼了__________分钟；
（2）体育馆距离文具店__________千米，小华在文具店买笔用了__________分钟；
（3）小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时？
18．（2024七下·深圳期中）如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且．补全下面的解题过程：
证明：，
__________＝__________，即，
在和中，
（__________________），
．
（__________________）．
在和中，
（__________________），
，，即与互相平分．
19．（2024七下·深圳期中）在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率．
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率．
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
20．（2024七下·深圳期中）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
21．（2024七下·深圳期中）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”．
（1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________．
因为它们是友好数对，所以______________________．
并试求，，，的等量关系．
（3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
22．（2024七下·深圳期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
（2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A中，由，故A计算错误；
B中，由，无法合并，故B计算错误；
C中，由，故C计算错误；
D中，由，故D计算正确；
故选：D．
【分析】本题考查单项式的除法、完全平方公式和同底数幂的乘法，根据单项式的除法、合并同类项的法则、以及完全平方公式和同底数幂的乘法法则，结合选项，逐项求解判断，即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，属于随机事件，故不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，故符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000084=．
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式的形式，其中，n为整数．
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】由可得，由直角三角形两锐角互余可得，则．
5．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A．在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意；
D、由C中，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据表格得出函数的相关性质逐项进行分析判断即可：
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；对顶角及其性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该说法不正确，
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点一定在三角形内部，故该说法不正确，
（3）相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确，
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于，故该说法正确，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，对顶角的定义，三角形内角和定理，结合上述定义，逐项分析判断，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了作角平分线以及三角形的外角性质，根据三角形的外角性质，求得的度数，再由是的角平分线，结合，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积为：，即△PCD的面积不变，则结合图象可知AB=6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，
即结合图象可知BC=x-AB=9-6=3，
∴长方形ABCD的面积为：AB BC=6×3=18．
故选：D．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，当点P从点A运动到点B时，得到△PCD的面积不变，结合图象知AB=6；当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，求得BC=3，得到长方形ABCD的面积为=AB BC，即可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
11．【答案】
【知识点】函数解析式；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据程序框图可得 ；
故答案为：．
【分析】根据程序框图可列出 y与x之间的关系式是．
12．【答案】4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：4.
【分析】形如"“”的式子就是完全平方式，据此即可求解.
13．【答案】BD=CD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：BD=CD，
理由是：，
∵在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为BD=CD．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及应用，根据题意，利用SAS，先证得△ABD≌△ACD，结合全等三角形的性质，得到BD=CD，即可得到答案.
14．【答案】20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵边上的高，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
∴，
即图中阴影部分面积为．
故答案为：20．
【分析】先证是等腰直角三角形，得到，再证是等腰直角三角形，得到，则，利用三角形面积公式进行计算即可．
15．【答案】1或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：点P从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C后，从点C返回，又运动了．
如图，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
当点沿运动时，，
解得；
当点沿运动时，，
解得，，符合题意，
综上所述，的值为1或．
故答案为：1或．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先求得点P从运动到点C从用时间为，点从运动到点C从用时间为，得到点从运动到点C后，从点C返回，又运动了，以，，为顶点的三角形与全等时，得到，分点沿运动和沿运动两种情况，结合，列出方程，求得t的值，即可得到答案.
16．【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
．
当、时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）根据题意，把变形为，结合平方差公式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据题意，先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项，化简得到，再把、，代入代数式，进行计算，即可得到答案.
17．【答案】（1）2.5；15
（2）1；20
（3）解：小华从家跑步到体育馆的速度为（千米小时），
小华从文具店散步回家的平均速度是（千米/小时）．
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，
由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5；15．
解：（2）由纵坐标看出体育馆距离文具店（千米），
由横坐标看出小华在文具店买笔用了（分）．
故答案为：1；20．
【分析】（1）根据题意，观察函数图象的纵坐标的值，得到体育馆到小华家的距离，观察函数图象的横坐标，得到小华在体育馆锻炼的时间；
（2）根据题意，观察函数图象的横坐标，得到体育馆与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，得到在文具店停留的时间，即可求解；
（3）根据题意，观察函数图象的纵坐标，得到路程，根据观察函数图象的横坐标，得到回家的时间，结合路程除以时间，列出算式，求得 从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度 ，得出答案．
（1）解：（1）由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5；15．
（2）解：由纵坐标看出体育馆距离文具店（千米），由横坐标看出小华在文具店买笔用了（分）．
故答案为：1；20．
（3）解：小华从家跑步到体育馆的速度为（千米小时），
小华从文具店散步回家的平均速度是（千米/小时）．
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时．
18．【答案】证明：，
即，
在和中，
，
，
．
在和中，
，
，，
即与互相平分．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据SSS，先证的，得到，再根据AAS，证得，得到，，得到与互相平分，结合题设的过程，即可求解.
19．【答案】（1）解：根据题意，小球共8只，
从袋中随机地摸出1只球，共8种情况，
白球3只，
从袋中随机地摸出1只球，摸出白球的概率
（2）解：结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1只球，共8种情况，
黑球2只，
从袋中随机地摸出1只球，摸出黑球的概率
（3）解：设向袋中加黑球的数量为，
从袋中随机地摸出1只球，共种情况，
摸出红球的概率为，且红球3只，
，
，
时，，
是方程的解，
向袋中加4只黑球，可以使摸出红球的概率变为
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用概率公式求解即可；
（3）设向袋中加黑球的数量为，根据题意可得，再求出x的值即可.
20．【答案】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
∵在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴ ∠1+∠AED=∠2+∠AED
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定.
（1）由图知：对顶角相等，∠AOD=∠BOE．再由∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，可知：∠BEO=∠2，再由∠1=∠2，等量代换可知：∠1=∠BEO，由角的和差运算可知：∠1+∠AED=∠2+∠AED，即∠AEC=∠BED，在△AEC和△BDE中，根据全等三角形的判定方法ASA可证得△AEC≌△BED，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等可知：△AEC≌△BED可得出：EC=ED，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形底角的计算公式：等腰三角形底角=，代入数据可得出∠C=71°，从而可求出∠BDE的度数，即可得出答案.
21．【答案】（1）是
（2），，，
（3）31和39．
【知识点】多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴36和84是友好数对．
（2），，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：．
（3）由（2）得：，解得：，
∴两个两位数为：31和39．
故答案为：是；，，，；31和39
【分析】（1）根据实数的乘法的运算法则，计算和的值，结合题设新定义，进行判断，即可得到答案；
（2）根据题意，利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义，列出等量关系，去括号，合并同类项，即可得到答案；
（3）根据（2），列出算式，求得方程的解，得到x的值，即可写出两个两位数，得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∴36和84是友好数对．
（2）解：，，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：．
（3）解：由（2）得：，
解得：，
∴两个两位数为：31和39．
22．【答案】（1），
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
【知识点】三角形的外角性质；完全平方式；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】
（1）根据题意，利用，证得，得出，结合，得到，即可求解；
（2）①根据题意，利用，证得，得出，，利用三角形外角的性质，结合，列式计算，进而证得；
②利用①中，得出，求得，由等角对等边，得出，得出，再由的面积，求得，结合和的面积之和为20，求得，根据完全平方公式，求出，，得到、，结合，即可求解.
（1）解：如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·深圳期中）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A中，由，故A计算错误；
B中，由，无法合并，故B计算错误；
C中，由，故C计算错误；
D中，由，故D计算正确；
故选：D．
【分析】本题考查单项式的除法、完全平方公式和同底数幂的乘法，根据单项式的除法、合并同类项的法则、以及完全平方公式和同底数幂的乘法法则，结合选项，逐项求解判断，即可得到答案．
2．（2024七下·深圳期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．买一张彩票，一定不会中奖
【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，属于随机事件，故不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，故符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
3．（2024七下·深圳期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000084=．
故选：B．
【分析】根据科学记数法的表示形式的形式，其中，n为整数．
4．（2024七下·深圳期中）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】由可得，由直角三角形两锐角互余可得，则．
5．（2024七下·深圳期中）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：下列说法错误的是（ ）
物体的质量（） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（） 10 15 20
A．在没挂物体时，弹簧的长度为
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是因变量，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A．在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；
C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意；
D、由C中，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据表格得出函数的相关性质逐项进行分析判断即可：
6．（2024七下·深圳期中）下列说法中正确的个数有 （ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等 ．
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部．
（3）相等的角是对顶角．
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；对顶角及其性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该说法不正确，
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点一定在三角形内部，故该说法不正确，
（3）相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确，
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于，故该说法正确，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，对顶角的定义，三角形内角和定理，结合上述定义，逐项分析判断，即可得到答案.
7．（2024七下·深圳期中）如图，在中，，．按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和的延长线于点，．②分别以，为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点．③做射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了作角平分线以及三角形的外角性质，根据三角形的外角性质，求得的度数，再由是的角平分线，结合，即可求解.
8．（2024七下·深圳期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以一定的速度，沿方向运动到点A处停止（提示：当点P在AB上运动时，点P到DC的距离始终等于AD和BC）．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积为：，即△PCD的面积不变，则结合图象可知AB=6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，
即结合图象可知BC=x-AB=9-6=3，
∴长方形ABCD的面积为：AB BC=6×3=18．
故选：D．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，当点P从点A运动到点B时，得到△PCD的面积不变，结合图象知AB=6；当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，求得BC=3，得到长方形ABCD的面积为=AB BC，即可得出答案．
9．（2024七下·深圳期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
10．（2024七下·深圳期中）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
11．（2024七下·深圳期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的关系式是 ．
【答案】
【知识点】函数解析式；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据程序框图可得 ；
故答案为：．
【分析】根据程序框图可列出 y与x之间的关系式是．
12．（2024七下·深圳期中）已知是一个完全平方式，则m的值是： ．
【答案】4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：4.
【分析】形如"“”的式子就是完全平方式，据此即可求解.
13．（2024七下·深圳期中）如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是 ．
【答案】BD=CD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：BD=CD，
理由是：，
∵在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为BD=CD．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及应用，根据题意，利用SAS，先证得△ABD≌△ACD，结合全等三角形的性质，得到BD=CD，即可得到答案.
14．（2024七下·深圳期中）如图，在中，边上的高，点E为上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵边上的高，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
∴，
即图中阴影部分面积为．
故答案为：20．
【分析】先证是等腰直角三角形，得到，再证是等腰直角三角形，得到，则，利用三角形面积公式进行计算即可．
15．（2024七下·深圳期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
【答案】1或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：点P从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C后，从点C返回，又运动了．
如图，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
当点沿运动时，，
解得；
当点沿运动时，，
解得，，符合题意，
综上所述，的值为1或．
故答案为：1或．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先求得点P从运动到点C从用时间为，点从运动到点C从用时间为，得到点从运动到点C后，从点C返回，又运动了，以，，为顶点的三角形与全等时，得到，分点沿运动和沿运动两种情况，结合，列出方程，求得t的值，即可得到答案.
16．（2024七下·深圳期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
．
当、时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）根据题意，把变形为，结合平方差公式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据题意，先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项，化简得到，再把、，代入代数式，进行计算，即可得到答案.
17．（2024七下·深圳期中）如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中（分）表示时间，（千米）表示小华离家的距离．根据图象回答下列问题：
（1）体育馆距离小华家__________千米，小华在体育馆锻炼了__________分钟；
（2）体育馆距离文具店__________千米，小华在文具店买笔用了__________分钟；
（3）小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/小时？
【答案】（1）2.5；15
（2）1；20
（3）解：小华从家跑步到体育馆的速度为（千米小时），
小华从文具店散步回家的平均速度是（千米/小时）．
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，
由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5；15．
解：（2）由纵坐标看出体育馆距离文具店（千米），
由横坐标看出小华在文具店买笔用了（分）．
故答案为：1；20．
【分析】（1）根据题意，观察函数图象的纵坐标的值，得到体育馆到小华家的距离，观察函数图象的横坐标，得到小华在体育馆锻炼的时间；
（2）根据题意，观察函数图象的横坐标，得到体育馆与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，得到在文具店停留的时间，即可求解；
（3）根据题意，观察函数图象的纵坐标，得到路程，根据观察函数图象的横坐标，得到回家的时间，结合路程除以时间，列出算式，求得 从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度 ，得出答案．
（1）解：（1）由纵坐标看出体育馆距离小华家2.5千米，由横坐标看出小华在体育馆锻炼了15分钟；
故答案为：2.5；15．
（2）解：由纵坐标看出体育馆距离文具店（千米），由横坐标看出小华在文具店买笔用了（分）．
故答案为：1；20．
（3）解：小华从家跑步到体育馆的速度为（千米小时），
小华从文具店散步回家的平均速度是（千米/小时）．
答：小华从家跑步到体育场的速度为10千米/小时；小华从文具店散步回家的速度为千米/小时．
18．（2024七下·深圳期中）如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且．补全下面的解题过程：
证明：，
__________＝__________，即，
在和中，
（__________________），
．
（__________________）．
在和中，
（__________________），
，，即与互相平分．
【答案】证明：，
即，
在和中，
，
，
．
在和中，
，
，，
即与互相平分．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据SSS，先证的，得到，再根据AAS，证得，得到，，得到与互相平分，结合题设的过程，即可求解.
19．（2024七下·深圳期中）在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率．
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率．
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
【答案】（1）解：根据题意，小球共8只，
从袋中随机地摸出1只球，共8种情况，
白球3只，
从袋中随机地摸出1只球，摸出白球的概率
（2）解：结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1只球，共8种情况，
黑球2只，
从袋中随机地摸出1只球，摸出黑球的概率
（3）解：设向袋中加黑球的数量为，
从袋中随机地摸出1只球，共种情况，
摸出红球的概率为，且红球3只，
，
，
时，，
是方程的解，
向袋中加4只黑球，可以使摸出红球的概率变为
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用概率公式求解即可；
（3）设向袋中加黑球的数量为，根据题意可得，再求出x的值即可.
20．（2024七下·深圳期中）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
∵在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴ ∠1+∠AED=∠2+∠AED
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定.
（1）由图知：对顶角相等，∠AOD=∠BOE．再由∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，可知：∠BEO=∠2，再由∠1=∠2，等量代换可知：∠1=∠BEO，由角的和差运算可知：∠1+∠AED=∠2+∠AED，即∠AEC=∠BED，在△AEC和△BDE中，根据全等三角形的判定方法ASA可证得△AEC≌△BED，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等可知：△AEC≌△BED可得出：EC=ED，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形底角的计算公式：等腰三角形底角=，代入数据可得出∠C=71°，从而可求出∠BDE的度数，即可得出答案.
21．（2024七下·深圳期中）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”．
（1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________．
因为它们是友好数对，所以______________________．
并试求，，，的等量关系．
（3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【答案】（1）是
（2），，，
（3）31和39．
【知识点】多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴36和84是友好数对．
（2），，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：．
（3）由（2）得：，解得：，
∴两个两位数为：31和39．
故答案为：是；，，，；31和39
【分析】（1）根据实数的乘法的运算法则，计算和的值，结合题设新定义，进行判断，即可得到答案；
（2）根据题意，利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义，列出等量关系，去括号，合并同类项，即可得到答案；
（3）根据（2），列出算式，求得方程的解，得到x的值，即可写出两个两位数，得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∴36和84是友好数对．
（2）解：，，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：．
（3）解：由（2）得：，
解得：，
∴两个两位数为：31和39．
22．（2024七下·深圳期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
（2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
【答案】（1），
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
【知识点】三角形的外角性质；完全平方式；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
【分析】
（1）根据题意，利用，证得，得出，结合，得到，即可求解；
（2）①根据题意，利用，证得，得出，，利用三角形外角的性质，结合，列式计算，进而证得；
②利用①中，得出，求得，由等角对等边，得出，得出，再由的面积，求得，结合和的面积之和为20，求得，根据完全平方公式，求出，，得到、，结合，即可求解.
（1）解：如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
