湖南省衡阳县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2025八上·衡阳期末）下列说法正确的有（ ）
①的立方根是，②49的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①∵(-4)3=-64，∴的立方根是，原说法正确；
②∵72=49，∴49的算术平方根是7，原说法错误；
③∵（）3=，∴的立方根是，原说法正确；
④∵（）2=，∴的平方根是，原说法错误，
所以，正确的个数有2个.
故答案为：B．
【分析】如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此可判断①③；如果一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，据此可判断②；如果一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根，据此可判断④.
2．（2025八上·衡阳期末）在实数，，，中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是有理数，
是开方开不尽的数，是无理数；
，都是无限不循环的小数，是无理数，
综上，无理数共有共3个.
故答案为：C．
【分析】实数分为有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数比的形式的数，包括所有的整数、分数和小数（有限小数或无限循环小数）；无理数是不能表示为两个整数比的数，通常是无限不循环小数，据此逐个判断得出答案.
3．（2025八上·衡阳期末）估计的值在
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】∵，∴，即。
∴，即，即的值在3到4之间。故选B。
4．（2025八上·衡阳期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：A、，故该选项正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，不符合题意；
D、，故该选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】单项式乘单项式，把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，连同指数作为积的一个因式，据此可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减及积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；用科学记数法表示的数的乘法，仿照单项式与单项式的乘法法则进行计算，最后再写成符合科学记数法的形式即可，据此可判断C选项；由互为相反数的两个数的偶数次幂相等及由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断D选项.
5．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
6．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
7．（2025八上·衡阳期末）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= ，
在Rt△ACD中，
CD=
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
8．（2025八上·衡阳期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意，米
米
故答案为：D.
【分析】根据题意， 大树在折断前的高度为AB+BC，再由勾股定理求得，，即可求出这棵大树在折断前的高度．
9．（2025八上·衡阳期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
10．（2025八上·衡阳期末）国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从月点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点，如图所示．若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】如图，将圆柱侧面展开并拼接得到一个长为2×2=4，宽为3的长方形，
∴最短长度为=5（米），
故j答案为：D．
【分析】将圆柱沿高线展开得到一个长为2，宽为3的长方形，由于彩灯绕柱2周，故将两个侧面展开图拼接成一个长为4，宽为3的大长方形，再根据勾股定理即可求出最短长度.
11．（2025八上·衡阳期末）的平方根是 ．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．（2025八上·衡阳期末）若与互为相反数，则 .
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，列出等式，然后根据算术平方根及偶数次幂的非负性，如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0得到关于a、b的方程，解方程即可求解．
13．（2025八上·衡阳期末）比较大小： .
【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
【分析】因为分母相同，只比较分子即可，由 可知 ，即可得到答案.
14．（2025八上·衡阳期末）若，则 .
【答案】8
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：8．
【分析】由2a-5b-3=0可得2a-5b=3，根据乘方运算法则、幂的乘方运算法则再把变形为，再根据同底数幂的除法法则计算得，最后整体代入计算即可．
15．（2025八上·衡阳期末）分解因式： = .
【答案】(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】利用平方差公式得： (2x+3)(2x-3).
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项符号相反且都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
16．（2025八上·衡阳期末）若是一个完全平方式，则为 .
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，对比给定的表达式和完全平方公式的一般形式，我们可以看出，a2对应于给定表达式的x2，b2对应于给定表达式的121，而±2ab对应于给定表达式的ax，从而即可列出方程，求解即可.
17．（2025八上·衡阳期末）一次数学测试后，某班80名学生的成绩被分为5组，第一至第四组的频数分别为8、10、16、14，则第五组的频率是 .
【答案】0.4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵第五组的频数为，
∴第五组频率是，
故答案为：0.4．
【分析】根据各组频数之和等于数据的总个数，求出第5组的频数，进而根据频率=频数除以比总数即可确定出其频率．
18．（2025八上·衡阳期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：标注字母，如图所示，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，根据直角三角形性质，结合组合图形性质可得，，再代入代数式即可求出答案.
19．（2025八上·衡阳期末）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】观察式子，先将式子中的算数平方根和立方根进行化简，再根据有理数加减混合计算法则计算即可.
20．（2025八上·衡阳期末）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式
；
由 ，可得 ，
∴原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式乘法和除法进行化简，得到最简整式，然后把 代入计算，即可得到答案.
21．（2025八上·衡阳期末）若、均为实数，且，求的平方根 .
【答案】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵4的平方根是
∴的平方根为．
【知识点】二次根式有意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x的值，再代入求出y的值，最后将x、y的值代入 计算后，再根据平方根的定义即可求出答案．
22．（2025八上·衡阳期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；平移全等模型
【解析】【分析】（1）首先由等式的性质推出AC=DF，然后利用SAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）全等三角形的对应角相等得∠B=∠E=100°，然后根据三角形的内角和定理可算出∠F的度数.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
23．（2025八上·衡阳期末）为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试．王老师将成绩进行统计后分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）此次调查方式属于________；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）m=_______，扇形统计图中表示“较差”的扇形的圆心角度数为_______．
（3）补全条形统计图；
（4）若该校七年级有2400人，估计七年级得“优秀”的学生人数．
【答案】（1）抽样调查
（2）80，
（3）解：“良好”等级的人数为(人)，
（4）解：（人），
∴估算七年级得“优秀”的同学大约有450人．
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵ 为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试，
∴此次调查方式属于抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2），
扇形统计图中表示“较差”的圆心角；
故答案为：80；67.5°；
【分析】（1）从总体中抽取一部分个体进行调查，就属于抽样调查；对调查对象的全体进行的调查，就是普查，据此解答即可；
（2）根据统计图表提供的信息，用“一般”等级的人数除以它所占的百分比得到m的值，再利用360度乘以“较差”等级的人数所占的百分比得到扇形统计图中表示“较差”的圆心角的度数；
（3）由各等级人数之和等于总人数，计算出“良好”等级人数后补全条形统计图；
（4）用该校七年级学生总人数2400乘以样本中“优秀”等级人数所占的百分比即可估计该校七年级得“优秀”的学生人数．
（1）此次调查方式属于抽样调查；
（2），
扇形统计图中表示“较差”的圆心角；
（3）“良好”等级的人数为(人)，
条形统计图为：
（4），
所以估算七年级得“优秀”的同学大约有450人．
24．（2025八上·衡阳期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．
（1）求和的度数；
（2）求证：是等腰三角形．
【答案】（1）解：设，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，．
（2）解：∵E是的中点，，
∴，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设，由根据等边对等角、三角形外的性质得，，由三角形内角和定理列方程求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质，可证出AF=BF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，即可得，进而得到．
25．（2025八上·衡阳期末）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a ＋ b = 5 ， ab = 6 ，求：①；②的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
【答案】解：（1）原式
；
（2）①∵a ＋ b = 5 ， ab = 6
②
（3）
∵
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法先对原式加1，然后再减1，然后先利用一三分组分解，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）① 利用完全平方公式进行变形可得 ，进而整体代入即可求出答案；
② 再利用一次完全平方公式进行变形为，进而整体代入即可得出答案；
（3）将两式作差，通过配方法将差变形为(a+b)2+c的形式，再通过偶数次幂的非负性，通过跟0进行比较即可得出结论．
26．（2025八上·衡阳期末）如图1，是等边三角形，点为直线上的一点，且满足，交等边三角形外角平分线所在直线于点 .
（1）当为的中点时，求证：
（2）如图2，当点是线段上（除外）任意一点时（其它条件不变），试猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．
（3）当点在线段的延长线上，且满足（其它条件不变）时，请直接写出与的面积之比 .
【答案】（1）证明：过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，BD=DF，
∴
∵是外角的平分线，
∴，
∵为的中点，△ABC是等边三角形，
∴
∴∠ADC=90°，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：；
证明：如图2，过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：与的面积之比为：.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，CF=，
设BC=AC=AB=x，则CF=x，
∴
∵，AC=BC，
∴=x，
∴DF=x，
∴
∵平分，AC=CD，
∴垂直平分，
∴，AO=
∵，
∴是等边三角形，
∴AD=AE=x，
∴OE=，
∴.
【分析】（1）过点D作DF∥AC，交AB于点F，由等边三角形的性质和平行线的性质得∠BDF=∠ACB=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得△BDF是等边三角形，由等边三角形性质及已知可推出DF=CD，根据等腰三角形的三线合一、平行线的性质可推出∠ADF=∠EDC=30°，再用ASA证明△AFD≌△DCE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）过D作DF∥AC，交AB于F，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得△BDF是等边三角形，由等边三角形性质推出BF=BD，推出AF=CD，由三角形外角性质及角的构成推出∠FAD=∠EDC，从而用ASA证明△AFD≌△DCE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）过点A作AF⊥BC于点F，设BC=AC=AB=x，由等边三角形的三线合一得CF=x，由勾股定理算出AF的长，易得AC=CD=x，则DF=x，由勾股定理表示出AD的长；根据等腰三角形的三线合一得CE垂直平分AD，由垂直平分线的性质得AE=DE，AO=，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得AD=AE=x，由勾股定理表示出OE，最后根据三角形的面积计算公式即可求解得出答案.
（1）证明：过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴．
∵是外角的平分线，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：；
证明：如图2，过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
湖南省衡阳县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2025八上·衡阳期末）下列说法正确的有（ ）
①的立方根是，②49的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八上·衡阳期末）在实数，，，中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025八上·衡阳期末）估计的值在
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．（2025八上·衡阳期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八上·衡阳期末）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
8．（2025八上·衡阳期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
9．（2025八上·衡阳期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·衡阳期末）国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从月点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点，如图所示．若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
11．（2025八上·衡阳期末）的平方根是 ．
12．（2025八上·衡阳期末）若与互为相反数，则 .
13．（2025八上·衡阳期末）比较大小： .
14．（2025八上·衡阳期末）若，则 .
15．（2025八上·衡阳期末）分解因式： = .
16．（2025八上·衡阳期末）若是一个完全平方式，则为 .
17．（2025八上·衡阳期末）一次数学测试后，某班80名学生的成绩被分为5组，第一至第四组的频数分别为8、10、16、14，则第五组的频率是 .
18．（2025八上·衡阳期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
19．（2025八上·衡阳期末）计算：
20．（2025八上·衡阳期末）先化简，再求值： ，其中
21．（2025八上·衡阳期末）若、均为实数，且，求的平方根 .
22．（2025八上·衡阳期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（2025八上·衡阳期末）为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试．王老师将成绩进行统计后分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）此次调查方式属于________；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）m=_______，扇形统计图中表示“较差”的扇形的圆心角度数为_______．
（3）补全条形统计图；
（4）若该校七年级有2400人，估计七年级得“优秀”的学生人数．
24．（2025八上·衡阳期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．
（1）求和的度数；
（2）求证：是等腰三角形．
25．（2025八上·衡阳期末）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a ＋ b = 5 ， ab = 6 ，求：①；②的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
26．（2025八上·衡阳期末）如图1，是等边三角形，点为直线上的一点，且满足，交等边三角形外角平分线所在直线于点 .
（1）当为的中点时，求证：
（2）如图2，当点是线段上（除外）任意一点时（其它条件不变），试猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．
（3）当点在线段的延长线上，且满足（其它条件不变）时，请直接写出与的面积之比 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①∵(-4)3=-64，∴的立方根是，原说法正确；
②∵72=49，∴49的算术平方根是7，原说法错误；
③∵（）3=，∴的立方根是，原说法正确；
④∵（）2=，∴的平方根是，原说法错误，
所以，正确的个数有2个.
故答案为：B．
【分析】如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此可判断①③；如果一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，据此可判断②；如果一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根，据此可判断④.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是有理数，
是开方开不尽的数，是无理数；
，都是无限不循环的小数，是无理数，
综上，无理数共有共3个.
故答案为：C．
【分析】实数分为有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数比的形式的数，包括所有的整数、分数和小数（有限小数或无限循环小数）；无理数是不能表示为两个整数比的数，通常是无限不循环小数，据此逐个判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】∵，∴，即。
∴，即，即的值在3到4之间。故选B。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：A、，故该选项正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，不符合题意；
D、，故该选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】单项式乘单项式，把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，连同指数作为积的一个因式，据此可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减及积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；用科学记数法表示的数的乘法，仿照单项式与单项式的乘法法则进行计算，最后再写成符合科学记数法的形式即可，据此可判断C选项；由互为相反数的两个数的偶数次幂相等及由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= ，
在Rt△ACD中，
CD=
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
8．【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意，米
米
故答案为：D.
【分析】根据题意， 大树在折断前的高度为AB+BC，再由勾股定理求得，，即可求出这棵大树在折断前的高度．
9．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】如图，将圆柱侧面展开并拼接得到一个长为2×2=4，宽为3的长方形，
∴最短长度为=5（米），
故j答案为：D．
【分析】将圆柱沿高线展开得到一个长为2，宽为3的长方形，由于彩灯绕柱2周，故将两个侧面展开图拼接成一个长为4，宽为3的大长方形，再根据勾股定理即可求出最短长度.
11．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，列出等式，然后根据算术平方根及偶数次幂的非负性，如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0得到关于a、b的方程，解方程即可求解．
13．【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
【分析】因为分母相同，只比较分子即可，由 可知 ，即可得到答案.
14．【答案】8
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：8．
【分析】由2a-5b-3=0可得2a-5b=3，根据乘方运算法则、幂的乘方运算法则再把变形为，再根据同底数幂的除法法则计算得，最后整体代入计算即可．
15．【答案】(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】利用平方差公式得： (2x+3)(2x-3).
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项符号相反且都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
16．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，对比给定的表达式和完全平方公式的一般形式，我们可以看出，a2对应于给定表达式的x2，b2对应于给定表达式的121，而±2ab对应于给定表达式的ax，从而即可列出方程，求解即可.
17．【答案】0.4
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵第五组的频数为，
∴第五组频率是，
故答案为：0.4．
【分析】根据各组频数之和等于数据的总个数，求出第5组的频数，进而根据频率=频数除以比总数即可确定出其频率．
18．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：标注字母，如图所示，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，根据直角三角形性质，结合组合图形性质可得，，再代入代数式即可求出答案.
19．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】观察式子，先将式子中的算数平方根和立方根进行化简，再根据有理数加减混合计算法则计算即可.
20．【答案】解：原式
；
由 ，可得 ，
∴原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式乘法和除法进行化简，得到最简整式，然后把 代入计算，即可得到答案.
21．【答案】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵4的平方根是
∴的平方根为．
【知识点】二次根式有意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x的值，再代入求出y的值，最后将x、y的值代入 计算后，再根据平方根的定义即可求出答案．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；平移全等模型
【解析】【分析】（1）首先由等式的性质推出AC=DF，然后利用SAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）全等三角形的对应角相等得∠B=∠E=100°，然后根据三角形的内角和定理可算出∠F的度数.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
23．【答案】（1）抽样调查
（2）80，
（3）解：“良好”等级的人数为(人)，
（4）解：（人），
∴估算七年级得“优秀”的同学大约有450人．
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵ 为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试，
∴此次调查方式属于抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2），
扇形统计图中表示“较差”的圆心角；
故答案为：80；67.5°；
【分析】（1）从总体中抽取一部分个体进行调查，就属于抽样调查；对调查对象的全体进行的调查，就是普查，据此解答即可；
（2）根据统计图表提供的信息，用“一般”等级的人数除以它所占的百分比得到m的值，再利用360度乘以“较差”等级的人数所占的百分比得到扇形统计图中表示“较差”的圆心角的度数；
（3）由各等级人数之和等于总人数，计算出“良好”等级人数后补全条形统计图；
（4）用该校七年级学生总人数2400乘以样本中“优秀”等级人数所占的百分比即可估计该校七年级得“优秀”的学生人数．
（1）此次调查方式属于抽样调查；
（2），
扇形统计图中表示“较差”的圆心角；
（3）“良好”等级的人数为(人)，
条形统计图为：
（4），
所以估算七年级得“优秀”的同学大约有450人．
24．【答案】（1）解：设，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，．
（2）解：∵E是的中点，，
∴，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设，由根据等边对等角、三角形外的性质得，，由三角形内角和定理列方程求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质，可证出AF=BF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，即可得，进而得到．
25．【答案】解：（1）原式
；
（2）①∵a ＋ b = 5 ， ab = 6
②
（3）
∵
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法先对原式加1，然后再减1，然后先利用一三分组分解，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）① 利用完全平方公式进行变形可得 ，进而整体代入即可求出答案；
② 再利用一次完全平方公式进行变形为，进而整体代入即可得出答案；
（3）将两式作差，通过配方法将差变形为(a+b)2+c的形式，再通过偶数次幂的非负性，通过跟0进行比较即可得出结论．
26．【答案】（1）证明：过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，BD=DF，
∴
∵是外角的平分线，
∴，
∵为的中点，△ABC是等边三角形，
∴
∴∠ADC=90°，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：；
证明：如图2，过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：与的面积之比为：.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，CF=，
设BC=AC=AB=x，则CF=x，
∴
∵，AC=BC，
∴=x，
∴DF=x，
∴
∵平分，AC=CD，
∴垂直平分，
∴，AO=
∵，
∴是等边三角形，
∴AD=AE=x，
∴OE=，
∴.
【分析】（1）过点D作DF∥AC，交AB于点F，由等边三角形的性质和平行线的性质得∠BDF=∠ACB=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得△BDF是等边三角形，由等边三角形性质及已知可推出DF=CD，根据等腰三角形的三线合一、平行线的性质可推出∠ADF=∠EDC=30°，再用ASA证明△AFD≌△DCE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）过D作DF∥AC，交AB于F，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得△BDF是等边三角形，由等边三角形性质推出BF=BD，推出AF=CD，由三角形外角性质及角的构成推出∠FAD=∠EDC，从而用ASA证明△AFD≌△DCE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）过点A作AF⊥BC于点F，设BC=AC=AB=x，由等边三角形的三线合一得CF=x，由勾股定理算出AF的长，易得AC=CD=x，则DF=x，由勾股定理表示出AD的长；根据等腰三角形的三线合一得CE垂直平分AD，由垂直平分线的性质得AE=DE，AO=，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得AD=AE=x，由勾股定理表示出OE，最后根据三角形的面积计算公式即可求解得出答案.
（1）证明：过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴．
∵是外角的平分线，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：；
证明：如图2，过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
