四川省成都市成都市石室联合中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·成都期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；多项式乘以多项式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，据此计算可判断B选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；根据平方差公式的展开式是完全相同项的平方减去互为相反数项的平方，可判断D选项.
2．（2024七下·成都期中）今年9月1日华为Mate60手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封锁的失败，据测速网监测，用Mate60手机下载一个2.4M的文件大约只需要秒，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的性质.
3．（2024七下·成都期中）如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等推出，由邻补角的性质得到，由角平分线定义即可求出的度数．
4．（2024七下·成都期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】由于题干给出了 ∠ABC=∠DCB， 图形中有公共边BC=CB，若用AAS判断△ABC≌△DCB，可以添加∠A=∠D；若用ASA判断△ABC≌△DCB，可以添加∠ACB=∠DBC；若用SAS判断△ABC≌△DCB，可以添加AB=DC，据此逐一判断得出答案.
5．（2024七下·成都期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故答案为：B
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
6．（2024七下·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A项不符合题意；
B、两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，所以B项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C项不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行，所以D项符合题意．
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，只有当被截的两条直线平行的时候，同旁内角才互补，据此可判断A选项；根据三角形全等的判定定理可知两边及一边的对角分别对应相等的两个直角三角形才相似，据此可判断B选项；根据能够完全重合的两个三角形全等，可得全等三角形面积相等，但面积相等得三角形不一定能完全重合，据此可判断C选项；由平行线的判定定理可得内错角相等，两直线平行，据此可判断D选项.
7．（2024七下·成都期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ）
A．风筝最初的高度为
B．时高度和时高度相同
C．时风筝达到最高高度为
D．到之间，风筝飞行高度持续上升
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意；
B、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，则此项正确，不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】从图象看，t=0分钟时，风筝的高度h=30米，因此风筝最初的高度为30m，据此可判断A选项；从图象看，t=1分钟时，风筝的高度h=45米，t=5分钟时，风筝的高度h=45米，因此1分钟和5分钟时，风筝的高度相同，据此判断B选项；从图象看，t=3分钟时，风筝的高度h=60米，这是图象的最高点，故3分钟时风筝达到最高高度为60米，据此可判断C选项； 从图象看，t=2分钟到t=4分钟之间。风筝的高度h先上升后下降，据此可判断D选项.
8．（2024七下·成都期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中线
9．（2024七下·成都期中）计算： ．
【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=20232-（2023-1）（2023+1）
=20232-20232+1
=1.
故第1空答案为：1.
【分析】利用平方差公式，可进行有理数的简便运算。
10．（2024七下·成都期中）在中，已知，那么是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 在中，已知，
∴最大角∠C=180°×=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角．
【分析】根据△ABC三内角度数之比及三角形的内角和定理求出最大角∠C=90°，然后根据有一个内角为90°的三角形是直角三角形得出结论.
11．（2024七下·成都期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是 ．
【答案】±6
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+kx+9=x2+kx+32是一个完全平方式，
∴kx=±2×x×3
∴k=±6．
故答案为：±6．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，此题中“x”相当于a，“3”相当于b，“kx”相当于±2ab，据此列出关于字母k的方程，求解即可.
12．（2024七下·成都期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
【答案】55°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【分析】先证出∠1＝∠EAC，再利用“SAS”证出△BAD≌△CAE，可得∠2＝∠ABD＝30°，再利用角的运算求出∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°即可.
13．（2024七下·成都期中）若，则 ．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
解得：，，
故答案为：2．
【分析】利用多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”将等式左边进行计算，然后根据多项式的性质可得m-3=-n，-3m=-3，然后再解方程组即可.
14．（2024七下·成都期中）计算题：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数乘方运算法则、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及负整数指数幂性质“”分别进行计算，然后再计算有理数的加减法运算即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，然后合并同类项即可．
15．（2024七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多形式法则展开中括号内的小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算出最简结果，再将x、y的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算求出结果.
16．（2024七下·成都期中）如图，点、在上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等推出BC=FE，由二直线平行，内错角相等，得∠B=∠F从而可用“AAS”得△ABC≌△DFE；
（2）由题意易得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得∠BED=∠D+∠F，从而代值计算可得∠D的度数.
17．（2024七下·成都期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
（2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；
（3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度
（2）
（3）解：
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远．
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，在这个变化过程中， 声音在空气中传播的速度随气温的变化而变化，故气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量；
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
（2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大，
∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为，
故答案为：；
【分析】（1）在一个变化过程中存在两个变量x、y，因为变量x的变化而引起另一个变量y也随之发生变化，此时就把变量x叫做自变量，变量y叫做因变量；此题中是因为气温的改变而影响了声音的传播速度，故气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量；
（2）观察表格中的数据发现：气温每上升1℃声音在空气中的传播速度增大0.6m/s，故用声音在0℃时的传播速度+因为温度升高而增加的速度=声音在空气中的传播速度，建立出关系式即可；
（3）把t=20代入（2）所求的关系式求出声音在空气中的传播速度，然后根据速度乘以时间等于距离可算出小乐与燃放烟花所在地距离.
18．（2024七下·成都期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数；
（3）作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图1，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
在和中，，
∵，
，
，
，
；
（3）解：如图2，，理由如下：
设，，
平分，平分，
，，
，
，即①，
，
，即②，
由（1）知：，
由（2）知：，
得：，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AP∥BE，根据二直线平行，内错角相等得，根据角的构成及已知可推出，由内错角相等，两直线平行，得AP∥CD，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得BE∥CD；
（2）设，，由角平分线的定义得，，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和推出，由三角形的内角和定理得，则，根据三角形的内角和定理得，从而可得结论；
（3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论．
19．（2024七下·成都期中）若am＝2，an＝3，则 ＝
【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴ ＝ · =( )2· =22×3=12
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则的逆用，将代数式变形后再整体代入即可算出答案.
20．（2024七下·成都期中）已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ．
【答案】15
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，
∴a2-12aa+36+b2-6b+9=0
，
，，
，为等腰三角形的边长，
等腰三角形的第三条边的边长为6，
当第三条边的边长为6时，的周长为：，
故答案为：15．
【分析】利用拆项的方法把已知等式拆成两个完全平方式的和形式，由偶数次幂的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得，，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系判断出等腰三角形△ABC的第三条边的边长为6，从而根据三角形周长计算方法计算可得答案.
21．（2024七下·成都期中）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），例如： ，若，则 ， ．
【答案】4；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
故答案为：4，-29．
【分析】根据题干给出的信息得，进而根据平方差公式将等式左边分别展开括号，再根据多项式的性质可得n=4，m=-4-9-n2，此题得解.
22．（2024七下·成都期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
【答案】16
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连结，
，是高，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
∴AF=BD=10，S△ABF=S△BDE
，，
，
，
．
故答案为：16．
【分析】在BD上截取BF=DE，连结AF，由同角的余角相等得∠ABD=∠C，结合已知由等量代换得∠ABD=∠E，从而用SAS判断出△ABF≌△BED，由全等三角形的性质得，AF=BD=10，S△ABF=S△BDE，求出BF的长，即可利用三角形面积公式求的答案．
23．（2024七下·成都期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设t秒后两灯的光束互相平行，
∵灯A转动的速度是秒，
∴灯A转动了，
∵灯B转动的速度是秒，
∴灯B转动了，
如图，
∴，，
∵光束互相平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设t秒后两灯的光束互相平行，由题意易得，，由二直线平行同位角相等∠2=∠3，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠3，则∠1=∠2，据此建立等式，求解即可.
24．（2024七下·成都期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A和B）的面积；
（2）若，，求卧室（含卧室和）比客厅大多少平方米．
【答案】（1）解：客厅的长为，宽为，
因此面积为：平方米，
卧室是长为米，宽为：米的长方形，
因此卧室的面积为：平方米；
（2）解：卧室比客厅大的面积为：
，
当，时，
原式（平方米），
答：卧室比客厅大33平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）结合图形，根据长方形的性质分别表示出客厅的长与宽，然后根据矩形面积计算公式，由单项式乘以多项式法则可求出客厅的面积；结合图形，根据长方形的性质分别表示出卧室A和B的长与宽，然后根据矩形面积计算公式，由多项式乘以多项式法则可求出卧室A和B的面积；
（2）根据整式减法法则求出卧室比客厅大的面积为x2+2xy+y2，然后根据完全平方公式的恒等变形将该式变形为(x-y)2+4xy，再整体代入计算可得答案.
25．（2024七下·成都期中）刘师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池满电量为60干瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算刘师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．
方案 安装费用 每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩 2700元 0.5元
方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费）
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
（2）当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的关系式，当电池剩余电量为时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
（3）刘师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，两种方案费用一样．
【答案】（1）解：（元），
∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元；
（2）解：当时，设y与x的关系式为（k、b为常数，且）．
将坐标和代入
得，
解得
∴，
当时，得，解得，
∴；
当时，得，解得，
∴（千米），
∴y与x的关系式为，当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米；
（3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）．
设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样．
根据题意，得
解得，
∴累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据“充电费用=一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”列式计算即可；
（2） 当已行驶里程大于300千米时，y关于x的函数图象是一条直线，且这条直线经过点（300，30）与（400，10），故可利用待定系数法求出y与x的关系式，然后将代入所求函数关系式求出充满电行驶的最大里程，从而确定x的取值范围；将代入所求函数关系式，求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程=充满电行驶的最大里程﹣电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可；
（3）当时，求出新能源车每千米消耗的电量；设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样，根据“费用=安装费用+一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”分别计算方案一和方案二的费用，由两种方案费用相等列方程并求解即可．
26．（2024七下·成都期中）在的高、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求的度数；
（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余得，，由对顶角相等得，从而根据等角的余角相等得；
（2）首先利用那个AAS判断出△DAC≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得，从而得为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的度数；
（3）CE、CG、BH的数量关系是CE+CG=BH，理由如下：在HB上截取HM=CE，连接CM，首先由SAS判断出△BEC≌△GHM，由全等三角形的性质得GM=BC，∠1=∠2，根据直角三角形的量锐角互余、角的和差及等量代换推出，进而可依据SAS判定≌，由全等三角形的对应边相等得，由此可得线段、、的数量关系．
四川省成都市成都市石室联合中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·成都期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·成都期中）今年9月1日华为Mate60手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封锁的失败，据测速网监测，用Mate60手机下载一个2.4M的文件大约只需要秒，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·成都期中）如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·成都期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
5．（2024七下·成都期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
6．（2024七下·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．内错角相等，两直线平行
7．（2024七下·成都期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ）
A．风筝最初的高度为
B．时高度和时高度相同
C．时风筝达到最高高度为
D．到之间，风筝飞行高度持续上升
8．（2024七下·成都期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·成都期中）计算： ．
10．（2024七下·成都期中）在中，已知，那么是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
11．（2024七下·成都期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是 ．
12．（2024七下·成都期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
13．（2024七下·成都期中）若，则 ．
14．（2024七下·成都期中）计算题：
（1）；
（2）
15．（2024七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（2024七下·成都期中）如图，点、在上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．（2024七下·成都期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
（2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；
（3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
18．（2024七下·成都期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数；
（3）作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论．
19．（2024七下·成都期中）若am＝2，an＝3，则 ＝
20．（2024七下·成都期中）已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ．
21．（2024七下·成都期中）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），例如： ，若，则 ， ．
22．（2024七下·成都期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
23．（2024七下·成都期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行．
24．（2024七下·成都期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A和B）的面积；
（2）若，，求卧室（含卧室和）比客厅大多少平方米．
25．（2024七下·成都期中）刘师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池满电量为60干瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算刘师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．
方案 安装费用 每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩 2700元 0.5元
方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费）
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
（2）当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的关系式，当电池剩余电量为时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
（3）刘师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，两种方案费用一样．
26．（2024七下·成都期中）在的高、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求的度数；
（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；多项式乘以多项式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，据此计算可判断B选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；根据平方差公式的展开式是完全相同项的平方减去互为相反数项的平方，可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的性质.
3．【答案】C
【知识点】邻补角；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等推出，由邻补角的性质得到，由角平分线定义即可求出的度数．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】由于题干给出了 ∠ABC=∠DCB， 图形中有公共边BC=CB，若用AAS判断△ABC≌△DCB，可以添加∠A=∠D；若用ASA判断△ABC≌△DCB，可以添加∠ACB=∠DBC；若用SAS判断△ABC≌△DCB，可以添加AB=DC，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故答案为：B
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A项不符合题意；
B、两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，所以B项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C项不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行，所以D项符合题意．
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，只有当被截的两条直线平行的时候，同旁内角才互补，据此可判断A选项；根据三角形全等的判定定理可知两边及一边的对角分别对应相等的两个直角三角形才相似，据此可判断B选项；根据能够完全重合的两个三角形全等，可得全等三角形面积相等，但面积相等得三角形不一定能完全重合，据此可判断C选项；由平行线的判定定理可得内错角相等，两直线平行，据此可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意；
B、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，则此项正确，不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】从图象看，t=0分钟时，风筝的高度h=30米，因此风筝最初的高度为30m，据此可判断A选项；从图象看，t=1分钟时，风筝的高度h=45米，t=5分钟时，风筝的高度h=45米，因此1分钟和5分钟时，风筝的高度相同，据此判断B选项；从图象看，t=3分钟时，风筝的高度h=60米，这是图象的最高点，故3分钟时风筝达到最高高度为60米，据此可判断C选项； 从图象看，t=2分钟到t=4分钟之间。风筝的高度h先上升后下降，据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】三角形的中线
9．【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=20232-（2023-1）（2023+1）
=20232-20232+1
=1.
故第1空答案为：1.
【分析】利用平方差公式，可进行有理数的简便运算。
10．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 在中，已知，
∴最大角∠C=180°×=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角．
【分析】根据△ABC三内角度数之比及三角形的内角和定理求出最大角∠C=90°，然后根据有一个内角为90°的三角形是直角三角形得出结论.
11．【答案】±6
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+kx+9=x2+kx+32是一个完全平方式，
∴kx=±2×x×3
∴k=±6．
故答案为：±6．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，此题中“x”相当于a，“3”相当于b，“kx”相当于±2ab，据此列出关于字母k的方程，求解即可.
12．【答案】55°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【分析】先证出∠1＝∠EAC，再利用“SAS”证出△BAD≌△CAE，可得∠2＝∠ABD＝30°，再利用角的运算求出∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°即可.
13．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
解得：，，
故答案为：2．
【分析】利用多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”将等式左边进行计算，然后根据多项式的性质可得m-3=-n，-3m=-3，然后再解方程组即可.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数乘方运算法则、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值性质及负整数指数幂性质“”分别进行计算，然后再计算有理数的加减法运算即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，然后合并同类项即可．
15．【答案】解：原式
．
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多形式法则展开中括号内的小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算出最简结果，再将x、y的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算求出结果.
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等推出BC=FE，由二直线平行，内错角相等，得∠B=∠F从而可用“AAS”得△ABC≌△DFE；
（2）由题意易得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得∠BED=∠D+∠F，从而代值计算可得∠D的度数.
17．【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度
（2）
（3）解：
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远．
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，在这个变化过程中， 声音在空气中传播的速度随气温的变化而变化，故气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量；
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
（2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大，
∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为，
故答案为：；
【分析】（1）在一个变化过程中存在两个变量x、y，因为变量x的变化而引起另一个变量y也随之发生变化，此时就把变量x叫做自变量，变量y叫做因变量；此题中是因为气温的改变而影响了声音的传播速度，故气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量；
（2）观察表格中的数据发现：气温每上升1℃声音在空气中的传播速度增大0.6m/s，故用声音在0℃时的传播速度+因为温度升高而增加的速度=声音在空气中的传播速度，建立出关系式即可；
（3）把t=20代入（2）所求的关系式求出声音在空气中的传播速度，然后根据速度乘以时间等于距离可算出小乐与燃放烟花所在地距离.
18．【答案】（1）证明：如图1，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
在和中，，
∵，
，
，
，
；
（3）解：如图2，，理由如下：
设，，
平分，平分，
，，
，
，即①，
，
，即②，
由（1）知：，
由（2）知：，
得：，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AP∥BE，根据二直线平行，内错角相等得，根据角的构成及已知可推出，由内错角相等，两直线平行，得AP∥CD，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得BE∥CD；
（2）设，，由角平分线的定义得，，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和推出，由三角形的内角和定理得，则，根据三角形的内角和定理得，从而可得结论；
（3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论．
19．【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴ ＝ · =( )2· =22×3=12
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则的逆用，将代数式变形后再整体代入即可算出答案.
20．【答案】15
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，
∴a2-12aa+36+b2-6b+9=0
，
，，
，为等腰三角形的边长，
等腰三角形的第三条边的边长为6，
当第三条边的边长为6时，的周长为：，
故答案为：15．
【分析】利用拆项的方法把已知等式拆成两个完全平方式的和形式，由偶数次幂的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得，，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系判断出等腰三角形△ABC的第三条边的边长为6，从而根据三角形周长计算方法计算可得答案.
21．【答案】4；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
故答案为：4，-29．
【分析】根据题干给出的信息得，进而根据平方差公式将等式左边分别展开括号，再根据多项式的性质可得n=4，m=-4-9-n2，此题得解.
22．【答案】16
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连结，
，是高，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
∴AF=BD=10，S△ABF=S△BDE
，，
，
，
．
故答案为：16．
【分析】在BD上截取BF=DE，连结AF，由同角的余角相等得∠ABD=∠C，结合已知由等量代换得∠ABD=∠E，从而用SAS判断出△ABF≌△BED，由全等三角形的性质得，AF=BD=10，S△ABF=S△BDE，求出BF的长，即可利用三角形面积公式求的答案．
23．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设t秒后两灯的光束互相平行，
∵灯A转动的速度是秒，
∴灯A转动了，
∵灯B转动的速度是秒，
∴灯B转动了，
如图，
∴，，
∵光束互相平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设t秒后两灯的光束互相平行，由题意易得，，由二直线平行同位角相等∠2=∠3，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠3，则∠1=∠2，据此建立等式，求解即可.
24．【答案】（1）解：客厅的长为，宽为，
因此面积为：平方米，
卧室是长为米，宽为：米的长方形，
因此卧室的面积为：平方米；
（2）解：卧室比客厅大的面积为：
，
当，时，
原式（平方米），
答：卧室比客厅大33平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）结合图形，根据长方形的性质分别表示出客厅的长与宽，然后根据矩形面积计算公式，由单项式乘以多项式法则可求出客厅的面积；结合图形，根据长方形的性质分别表示出卧室A和B的长与宽，然后根据矩形面积计算公式，由多项式乘以多项式法则可求出卧室A和B的面积；
（2）根据整式减法法则求出卧室比客厅大的面积为x2+2xy+y2，然后根据完全平方公式的恒等变形将该式变形为(x-y)2+4xy，再整体代入计算可得答案.
25．【答案】（1）解：（元），
∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元；
（2）解：当时，设y与x的关系式为（k、b为常数，且）．
将坐标和代入
得，
解得
∴，
当时，得，解得，
∴；
当时，得，解得，
∴（千米），
∴y与x的关系式为，当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米；
（3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）．
设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样．
根据题意，得
解得，
∴累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据“充电费用=一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”列式计算即可；
（2） 当已行驶里程大于300千米时，y关于x的函数图象是一条直线，且这条直线经过点（300，30）与（400，10），故可利用待定系数法求出y与x的关系式，然后将代入所求函数关系式求出充满电行驶的最大里程，从而确定x的取值范围；将代入所求函数关系式，求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程=充满电行驶的最大里程﹣电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可；
（3）当时，求出新能源车每千米消耗的电量；设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样，根据“费用=安装费用+一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”分别计算方案一和方案二的费用，由两种方案费用相等列方程并求解即可．
26．【答案】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余得，，由对顶角相等得，从而根据等角的余角相等得；
（2）首先利用那个AAS判断出△DAC≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得，从而得为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的度数；
（3）CE、CG、BH的数量关系是CE+CG=BH，理由如下：在HB上截取HM=CE，连接CM，首先由SAS判断出△BEC≌△GHM，由全等三角形的性质得GM=BC，∠1=∠2，根据直角三角形的量锐角互余、角的和差及等量代换推出，进而可依据SAS判定≌，由全等三角形的对应边相等得，由此可得线段、、的数量关系．
