2024-2025学年广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则实数( )
A. B. C. D.
2. 已知，则( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，且，是方程的两个根，，则( )
A. B. C. D.
4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.如图，在四边形中，，设，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
7.如图，平行四边形中，，垂足为，且，则值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
10.已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
11.设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，则下列命题中正确的是( )
A. 关于的方程可能有两个不同的实数解
B. 关于的方程至少有一个实数解
C. 关于的方程最多有一个实数解
D. 关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
13.在中，若，则角等于 ．
14.如图，曲线为函数的图象，其与轴交于，，三点，则
；
若，过作一直线交曲线于，两点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
求实数的值；
若复数是关于的方程且的一个复数根，求的值．
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且与方向相反，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
若的面积为，求．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，，与，分别相交于，两点．
若，求的值
若，，求
若，求的最小值．
19.本小题分
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，对于四个有序点，，，，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
当时，称，，，为调和点列，若，求的值
证明：
已知，点为线段的中点，，，求，
参考答案
1.
2.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题点在第四象限，则，由，得，即，所以，
由知，，由复数是关于的方程的根，
得，
整理得，而，
因此，解得所以
16.解：因为，而与方向相反，
所以．
又因为，所以，解得，
因此，即的坐标为．
因为与垂直，
所以，即．
又因为，所以，而，
因此，解得．
又因为与的夹角为，
所以，且，
解得，因此．
17.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
18.解：因为为的中点，
所以
，
所以，，故
因为，，
由余弦定理得，
即，
解得，
因为，所以，
因为为的中点，且，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
因为，所以
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
所以
，
当且仅当时，取到最小值．
故的最小值为．
19.解：由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，则，，
由，知，故，
即，所以
由题意，在，，，中，
，
，
则
又，在，，，中，
，
，
则，
又，，，，
由可得，，
即
由题意，由可知，，
则，即，又点为线段的中点，即，
故，又，则，，
设，，且，
由可知，，
即，解得，
又在中，利用正弦定理可知，，
在中，利用正弦定理可知，，
且，
则可得，，即，
由解得，，，即，．
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