2024-2025学年河南省开封市高二下学期阶段性测试（三）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.函数的导数是( )
A. B.
C. D.
3.若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.与圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的首项为，若从第项起比大，则其公差的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，是从点出发的三条射线，若，，则直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B.
C. D.
8.已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则( )
A. B. 的渐近线方程是
C. 的焦距为 D. 的离心率为
10.设等差数列的公差为为其前项和，若，则( )
A. B.
C. 与是的最大值 D. 使成立的的最小值为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减
B. 当时，
C. 当时，
D. 若，则过点可作图象的两条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为
13.已知抛物线的准线为直线，为抛物线上一动点，点到轴的距离为，为圆上一动点，点到的距离为，则的最小值为 ．
14.已知是递增的整数数列，若，，则正整数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象经过点，且在处取得极值．
Ⅰ求，的值
Ⅱ证明：．
16.本小题分
已知公比大于的等比数列满足，．
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ设为的前项和，，求的前项和．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，为棱上一点．
Ⅰ证明：
Ⅱ若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程
Ⅱ讨论的单调性
Ⅲ若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是抛物线上一点，以点为圆心，为半径的圆过的焦点按如下方式依次构造点过点作斜率为的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点．
Ⅰ求的方程
Ⅱ令，证明是等差数列，并求其通项公式
Ⅲ设是的面积，求证：．
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ函数的图象经过点，
，
，
函数在处有极值，
，
解得，．
经检验，，符合题意．
Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，
要证，
只需证：，
即，
令，则，
令，解得，
列表如下：
单调递减 单调递增
可得：时，有最小值，
故成立．
16.解：Ⅰ由题意可知：，
结合公比大于，得，
解得
设的公比为，则，得，
Ⅱ由Ⅰ可知，
，
．
17.解：Ⅰ连接，，
正方体中平面，
平面，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
则
Ⅱ以为原点，如图建立空间直角坐标系．
，，，，，，
，，，
，
设平面法向量为，
则
令，则，，
，
解得：或舍去
又平面法向量为，
则点到平面的距离
．
18.解：Ⅰ，，，
故曲线在点处的切线方程为，即．
Ⅱ函数的定义域为，，
时，在上单调递增；
，，当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增．
Ⅲ由题意知，，在上恒成立，
令，则
，
记，则，
所以在上单调递增，
又，
所以，使，且，
当当，
，
又，即，
所以，，
所以，
所以
19.解：Ⅰ为上一点，，．
由抛物线的定义知，
解得，
的方程为．
Ⅱ关于轴的对称点为，
直线的斜率为，，，
，
，都在上，，
，得，
即，
，
是首项为，公差为的等差数列，
．
Ⅲ要证即证，
而与有一条公共边，
所以需证到边距离相等，
也就是要证，
而，
同理，，
由Ⅱ是等差数列，所以，
从而有，
则，
所以．
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