小题狂作精选习题——球体
一、选择题
1．（2025高三下·深圳月考）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湛江模拟）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁模拟）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
4．（2025高二上·哈尔滨期末）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积
5．（2025·清江浦模拟）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
6．（2025高二下·武汉月考）已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．直三棱柱的外接球的表面积为
7．（2025·成都模拟）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中点时，
B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
8．（2025高三下·灌云月考）如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，四面体的体积为定值
C．时，，使得平面
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
三、填空题
9．（2025高一下·西湖月考）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时， ．
10．（2025·攀枝花模拟）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】【解答】解：设上底面半径为，下底面半径为，
如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，
设内切球与梯形两腰分别切于点，
可知，，
由题意可知：母线与底面所成角为，
则，可得，即，，
可得，
可知内切球的半径，
可得，，
所以.
故答案为：D.
【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质和线面夹角可得且以及内切球的半径，再结合圆台的表面积公式和球的表面积公式，从而得出此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比.
4．【答案】B,C,D
5．【答案】A,B,D
6．【答案】A,B,D
7．【答案】A,C,D
8．【答案】A,B,D
9．【答案】
10．【答案】
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