2024-2025学年湖北省孝感市一般高中协作体高二下学期期中联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.现有位同学参加校园文体活动，分别从个项目中任选一个参加，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
3.“”是“，，成等比数列”的条件．
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
4.若，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
5.已知，且，求( )
A. B. C. D.
6.已知函数，在区间单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的前项和，，公差为，且，下列结论正确的是( )
A. B. ，
C. 时，最大 D. ，
10.有个小球和个盒子，且小球和盒子的编号都是，，，，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 恰有个盒子不放球的方法共有种
B. 没有空盒子的方法共有种
C. 可以有空盒子的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
11.已知函数，下列命题正确的有( )
A. 可能有个零点
B. 一定有极小值，且是极小值点
C. 时，
D. 若存在极大值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公园的一块空地如图所示分成，，，，五个区域，现对此空地种植花卉，要求相邻区域不能种植同一种颜色现有种颜色的花卉可供选择，则不同的种植方法共有 种用数字作答．
13.已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则 ．
14.已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
求曲线在处的切线方程．
若直线过且与曲线相切，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列满足，
求的通项公式
记，数列的前项和为，求．
17.本小题分
有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法
一共抽取了次，检测结束，有多少种不同的抽法
若至多检测次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法
若第次抽到的是次品且第次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法要求：解答过程要有必要的说明和步骤
18.本小题分
已知两个数列与，满足，且，
求证：是等差数列．
记，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数
当时，讨论的单调性．
若，，讨论函数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
则，
所以，，
则所求的切线方程为：，即；
，
设切点为，则，
则切线方程为：，
又在切线上，则，得，
所以的方程为：，即．
16.解：，
当时，，当时，，
与已知式子相减得，
解得符合，故；
因为，
所以．
17.第次和第次为次品，第，次测试为正品：种
一共抽取次结束，则前次有次为次品剩下次为正品，第次是正品：
前次有次为次品剩下次为正品，第次是次品：
共有种
第，次测出次品结束：
前次有次测出次品第次测出次品结束：
前次有次测出次品第次测出次品结束：
共有种
第次抽测出次品第，次测出正品，第次测出次品结束：
第次抽测出次品第，，次测出次测出正品，第次测出次品结束：
第次抽测出次品第，，，次测出正品结束：
共有：种
18.证明：由，知
，，
则，
所以，因为，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
解：由知，，
则，
因为，
，
相减得：，
即
故．
19.解：的定义域，
，
令得，，
当时，恒成立，
则无递增区间，递减区间为；
当时，，
令，得，
令，得，
的增区间为，减区间为和，
当时，，
令，得，
令得
的增区间为，减区间为和，
综上：当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的增区间为，减区间为和；
当时，的增区间为，减区间为和；
若，，，
令，得，即，
也即，
再令，，，
则在单调递增，
故，
所以，可得，
令，，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当，，且，
所以，
综上：当时，该函数有个零点；
当或时，该函数有个零点
当时，该函数有个零点．
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