19.2阶段巩固检测
题型1 平行四边形的定义和性质
1.(2024·吉林第二实验学校期末)如图, ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,□ABCD 的周长为30,直线 EF 过点O,且与 AD,BC 分别交于点E,F.若OE=5,则四边形ABFE 的周长是( ).
A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
2.锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( ).
A. α-45° B. 90°——α
D. 180°—2α
3.在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=160°,则∠A= .
4.如图,在 ABCD 中,∠DAB 的平分线交DC于点 E,交 BC 的延长线于点 F.若∠D=120°,求∠F 的度数.
5.如图, ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,E,F 分别是OA,OC的中点,连接DE,BF,试判断线段DE 与BF 的关系，并说明理由.
题型2 平行四边形的判定
6.现有一张平行四边形纸片ABCD,AD>AB,要求用尺规作图的方法在边 BC，AD 上分别找点M，N，使得四边形 AMCN 为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( ).
A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
7.(2024·邯郸广平一模)如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为( ).
A. a B. b C. c D. d
8.(2024·山东聊城期末)如图，在等边三角形 ABC中,AB=5cm,射线AG∥BC,点 E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s的速度运动,点 F 从点C 出发沿射线CB 以2 cm/s的速度运动.如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t= s时,以A,E,F,B为顶点的四边形是平行四边形.
9.如图，以△ABC 的三边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,求证：四边形 ADEF 是平行四边形.
10.如图,在 ABCD 中,AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,CO的中点.
(1)求证：四边形 BEDF 是平行四边形；
(2)若 ABCD 的面积为20,直接写出四边形 BEDF 的面积.
题型3 三角形中位线性质
11.(2024·兰州中考)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C,然后步测出 AC,BC 的中点D,E,并步测出 DE 的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为( ).
A. 18m B. 24m C. 36m D. 54m
12.如图,在△ABC中,D,E 分别为AB,AC 的中点,点 F 在DE 上,且 AF⊥CF.若AC=6,BC=10,则DF 等于( ).
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为CA,CB 的中点,AF 平分∠BAC,交 DE 于点F,若AC=6,BC=8,则EF 的长为( ).
A. 2 B. 1 C. 4 D.
14.(2024·宿州埇桥区宿城一中三模)如图，在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC,E,F 分别是AD,BC的中点.若CD=2AB=4,∠ABC=2∠C=60°,则EF 的长为 .
思维拓展 搭建综合应用与创新能力提升平台
15.(2024·安庆模拟)将两个大小不同的含30°角的直角三角板按如图所示的方式(无缝隙且不重叠)摆放在□ABCD 中,则∠1的度数为( ).
A. 50° B. 60° C. 75° D. 80°
16.(2023·江苏无锡锡山区期末)如图，在四边形 AB-CD中,AB=3,CD=7,E,F分别是AD,BC的中点，若EF 的长恰为整数，则EF 的长可以是( ).
A. 2,3,4 B. 3,4
C. 3,4,5 D. 2,3,4,5
17.新情境 图形面积二等分 (2024·福建师大附中期中)如图(1)，直线EF 经过平行四边形ABCD 对角线的交点O,点 E,F 分别在AD,BC 上,则S四边形AEFB=S四边形DEFC.
(1)两个大小不同的正方形如图(2)摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点 O 的直线l，使l 将整个图形分成面积相等的两部分；
(2)8个大小相同的正方形如图(3)摆放，求作直线m，使m将8个正方形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
18.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC的中点，连接DE，BE，已知O为BE的中点，连接DO并延长交BC 边于点 F，连接EF.
(1)求证：四边形 BDEF 为平行四边形；
(2)设BE=m,DF=n,BD=a,BF=b,求证：
19.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD交于点O,AE 平分∠BAD,交BC 于点E,且∠ADC=60°.
(1)求证:AB=AE;
(2)若 连接OE.
①若 求平行四边形 ABCD 的面积；
②设 试求k与m满足的关系.
阶段巩固检测(19.2)
1. B [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB,AD∥CB,OA=OC,∴∠OAE=∠OCF.∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF=5,AE=CF,∴EF=10,AE+BF=CF+BF=CB. ∵□ABCD 的周长为30,∴AB+CB=15,∴AB+AE+BF+EF=AB+CB+EF=25.故四边形 ABFE 的周长为25.故选 B.
■归纳总结 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AOE≌△COF 是解题的关键.
2. A [解析]如图,过点 D 作DE∥AB,则CF∥DE.
∵平行四边形的锐角为45°,∴∠ADF=135°.
∵AB∥DE,∴∠1+∠ADE=180°.
∵CF∥DE,∴∠2=∠EDF,
∴180°-α+∠2=135°,∴∠2=α-45°.故选 A.
3.100° [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠B=∠D. ∵∠B+∠D=160°,∴∠B=80°,
∴∠A=180°-∠B=100°.
4.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠F.
∵∠DAB 的平分线交DC 于点E,
∵AB∥DC,∠D=120°,∴∠DAB=60°,
5.线段DE与BF 的关系是DE=BF,且DE∥BF. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点O,∴OA=OC,OD=OB.
∵E,F 分别是OA,OC的中点,
在△DOE 和△BOF 中
∴△DOE≌△BOF(SAS),
∴DE=BF,∠ODE=∠OBF,∴DE∥BF.
6. C [解析]甲:由作图可知BM=BA,DN=DC.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴BM=DN,
∴CM=AN,CM∥AN,
∴四边形 ANCM 是平行四边形.
乙:由作图可知AM平分∠BAD,CN 平分∠BCD,
∴∠BAM=∠DAM,∠BCN=∠DCN.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAM=∠BMA,∠DNC=∠BCN,
∴∠BAM=∠BMA,∠DNC=∠DCN,
∴AB=BM,CD=DN,∴BM=DN,
∴AN=CM.又AN∥CM,
∴四边形ANCM 是平行四边形.故选C.
7. A [解析]这条线段为a.理由如下：
∵∠DAC=∠ACB=55°,∴AD∥BC.
∵AD=a=5,BC=5,∴AD=BC,
∴四边形ABCD 为平行四边形.故选 A.
知识拓展 平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
8. 或5 [解析]∵AG∥BC,∴当AE=BF时,以A,E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，∴t=|5-2t|,∴t=5-2t或t=-(5-2t),∴t= 或5.
思路引导 由平行四边形的判定可得当 AE=BF时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，列出方程，即可求解.
9.∵△ABD,△BCE 都是等边三角形,
∴AD= BD = AB,BC = BE = EC,∠DBA =∠EBC=60°,
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA,即∠DBE=∠ABC.
∵BD=BA,∠DBE=∠ABC,BE=BC,
∴△DBE≌△ABC(SAS),∴DE=AC.
∵△ACF 是等边三角形,∴AC=AF,
∴DE=AF,同理AD=EF,
∴四边形 ADEF 是平行四边形.
10.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵E,F分别是AO,CO的中点,
∴EO=FO,∴四边形BEDF 是平行四边形.
(2)∵□ABCD 的面积为20,
∵E,F 分别为AO,CO的中点,AO=CO,
由(1)可知四边形 BEDF 是平行四边形，∴S□BEDF=2S△BEF=2×5=10.
11. C [解析]由 D,E 分别是边AC,BC的中点,得 DE是三角形ABC的中位线,所以AB=2DE.故选C.
思路引导 由 D,E 分别是边 AC,BC 的中点,得DE 是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB 的值即可.
12. C [解析]∵D,E 分别为AB,AC 的中点,BC=
∵AF⊥CF,∴∠AFC=90°.
∵E 为AC的中点,
∴DF=DE-FE=2.故选C.
13. A [解析]在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,
∵D,E 分别为CA,CB 的中点,
∴DE 是△ABC的中位线,
∴∠DFA=∠FAB.
∵AF平分∠BAC,∴∠DAF=∠BAF,
∴∠DAF=∠DFA,
∴EF=DE-DF=2.故选A.
14. [解析]∵∠ABC=2∠C=60°,∴∠C=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∴∠BDC=120°.
如图,取BD 的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴∠EGD=∠ABD=30°,∠FGD=180°-∠BDC=60°,∴∠EGF=90°.
∵CD=2AB=4,∴AB=2,
15. B [解析]如图,过点G作GE∥BC交AB 于点E.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴GE∥AD,∴∠AGE=∠DAH=30°.
∵∠FGH=30°,∴∠EGF=180°-30°-30°=120°.
∵GE∥BC,∴∠1+∠EGF=180°,
.故选 B.
16. C [解析]如图,连接AF 并延长至点G,使得AF=FG,连接CG,DG.
∵F是BC的中点,∴BF=CF.
在△BAF 与△CGF中
∴△BAF≌△CGF(SAS),∴AB=CG.
∵AB=3,CD=7,
∴7-3
∴4
∴EF 的长x的取值范围为2
(2)如图(2),直线m ,直线m ,直线m 即为所求.
归纳总结 过平行四边形对角线交点作任何一条直线都可将平行四边形面积二等分.
18.(1)∵D,E 分别是边AB,AC的中点,
∴DE∥BC,∴∠ODE=∠OFB.
∵BO=EO,∠DOE=∠FOB,
∴△DEO≌△FBO,∴DE=FB.
∵DE∥FB,∴四边形BDEF 是平行四边形.
(2)过点 F作FG⊥AB 于点G,过点 E 作EH⊥AB于点 H.
∵四边形 BDEF 是平行四边形，
∴BF=DE,EF∥AB,∴FG=HE,
∴Rt△BGF≌Rt△DHE,∴BG=DH.
设BG=DH=x,FG=EH=h,
∴DG=a-x,BH=a+x.
在 Rt△FDG 和 Rt△EBH 中,
在 Rt△FBG 中,
19.(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°,
∴△ABE 是等边三角形,∴AB=AE.
∵AC=4 ,∴AB=4,∴平行四边形ABCD 的面积
②∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵△ABE 是等边三角形,∴BE=AB=mBC.
∵△BOE 的边BE 上的高等于△BDC 的边 BC 上的高的一半，底 BE 等于BC的m倍，
设BC 边上的高为h，BC的长为b，
∴2-m=k,∴m+k=2.
