2024-2025 学年广东省广州市天河外国语学校高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若{ 1, 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. { 1 2, 2 1} B. {2 1 2, 1
1
2 2}
C. {2 2 3 1, 6 1 4 2} D. { 1 + 2, 1+ 3 2}
2.如图所示，已知 ， 分别为△ 的边 ， 上的中线， = ， = ，
则 =( )
A. 4 + 2 3 3
B. 2 4 3 + 3
C. 23
4
3
D. 23 +
4
3
3.平面向量 , 满足| | = 3, = (1, 3), | 2 | = 11，则 在 上投影向量为( )
A. (1, 3) B. ( 2 2 1 3 3 12 , 2 ) C. ( 2 , 2 ) D. ( 2 , 2 )
4.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化
风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有
固定的角度，比如在弯折位置通常采用 30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的
弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ ，测得 = 5， = 6， = 4， = 3，
若点 恰好在边 上，请帮忙计算 sin∠ 的值( )
A. 14 B. 226 6 C.
1 5
2 D. 9
5.在△ 中角 、 、 所对边 、 、 满足 = 2 ， = 5，3 = 2 ，则 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 15或 2
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6.已知 为单位向量，向量 满足 = 2，| | = 1，则| |的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 4
7.我们定义：“ × ”为向量 与向量 的“外积”，若向量 与向量 的夹角为 ，它的长度规定| × | =
| | | | ，现已知：在△ 中，若| + | = 1, | + | = 2，则| × |的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 23 5 2 3
8 2 6 .已知凸四边形 内接于圆 ，∠ = 2∠ ， = 3 ，则 的最大值为( )
A. 62 B.
2 3 4 2 3 3
3 C. 5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面给出的关系式中，正确的是( )
A. 0 = 0 B. =
C. ( ) = ( ) D. 2 = | |2
10.正方形 的边长为 2， 是 中点，如图，点 是以 为直径的半圆上任
意点， = + ，则( )
A. 1最大值为2
B. 最大值为 1
C. 最大值是 2
D. 最大值是 5 + 2
11.已知△ 三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若( 3 2 ) = 3( )，则
下列选项正确的是( )
A. 1 3的取值范围是( 2 , 4 )
B.若 是 边上的一点，且 = 2 , = 2 3 3，则△ 的面积的最大值为 2
C.若三角形 ( 1是锐角三角形，则 的取值范围是 2 , 2)
D.若 是△ 的外心， = + ，则 + ∈ [ 2,1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知点 (3,2)， ( 1, 1)，若点 ( , 2 )在线段 的中垂线上，则 = ______．
13 1.已知是 坐标原点， (1, 3), (4, 2 )， (2 1, + 2)，若点 满足
= cos2 + 2 2 ，
则 的值为______．
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14.已知点 为△ 内一点， = 2， = 3， = 4， = 5，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (3,2), = ( , 1)．
(1)当( + 2 ) ⊥ (2 )，且 > 0 时，求| |；
(2)当 = ( 8, 1), //( + )，求向量 与 的夹角 ．
16.(本小题 15 分)
已知， = ( 3 , )， = ( , )( > 0, ∈ )， ( ) = 12，且 ( )的图象上相
邻两条对称轴之间的距离为2．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
(2)若锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， ( ) = 0，求△ 面积的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在梯形 中， = 2 ， = , | | = 3， 为梯形 所在平面上一点，且满足 4 = + ，
= | | | |， 为边 上的一个动点．
(1)求证：2 = ；
(2)| |的最小值．
18.(本小题 17 分)
在斜△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 + = 1，且 = 7．
(1)求 ；
(2)若点 为 中点，且 = 1，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，对于非零向量 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，定义这两个向量的“相离度”为 ( , ) =
| 1 2 2 1| ，容易知道 , 平行的充要条件为 ( , ) = 0．
2 2 2 21+ 1 2+ 2
(1)已知 = (1,2)， = (4, 2)，求 ( , )；
(2)①已知 , 的夹角为 1和 , 的夹角为 2，证明： ( , ) = ( , )的充分必要条件是 1 = 2；
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②在△ 中， = 2， = 4 4，角 的平分线 与 交于点 ，且 = 3，若
+ + = 0，求
( , )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.74
13. 13
14.2
15.解：(1) ∵ ( + 2 ) ⊥ (2 ) ( + 2 ) (2 ) = 0，
+ 2 = (3 + 2 , 0)，2 = (6 , 5)，∴ (3 + 2 )(6 ) + 0 × 5 = 0 3，解得 = 6 或 2 (舍去)，
= ( 3,3)，
∴ | | = ( 3)2 + 32 = 3 2；
(2) ∵ + = ( 8, 2)， / /( + )，
∴ 3 × ( 2) 2( 8) = 0，解得 = 5， = (5, 1)，
∴ = =
3×5+2×( 1) = 13 = 2
| || | 32+22 52+( 1)2 13 2 2
，
∵ ∈ [0, ]，
∴ = 4．
16.解：(1)已知 = ( 3 , )， = ( , )( > 0, ∈ )， ( ) = 12，
则 ( ) = 3 cos2 12 =
3 1
2 2 2 2 1 = sin(2
6 ) 1，
由 ( ) 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，
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2
有 = 2 = ，
得 = 1，
所以 ( ) = sin(2 6 ) 1，
令 2 + 2 ≤ 2
6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )，
解得 6 + ≤ ≤
3 + ( ∈ )，
所以函数 ( )的单调递增区间为[ 6 + , 3 + ]( ∈ )．
(2)已知 ( ) = sin(2 6 ) 1 = 0，
由 ∈ (0, 2 )，
得 = 3，
由正弦定理 =
=
=
3
3 = 2，
2
得 = 2 ， = 2 ，
= 1则 △ 2 = 3 = 3 (
2
3 ) =
3
2 +
3
2 sin
2
= 3 2 34 4 2 +
3 = 34 2 sin(2
6 ) +
3
4 ，
又△ 是锐角三角形，
0 < < 2
则 ，
0 < 2 3 < 2
即 ∈ ( 6 ,
2 )，2
6 ∈ (
, 5 6 6 )，
1
则 sin(2 6 ) ∈ ( 2 , 1],
3 3
所以 △ = 2 sin(2 6 ) + 4 ∈ (
3 3 3
2 , 4 ],
△ 3 3 3即 面积的取值范围是( 2 , 4 ]．
17.
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18.
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19.
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