吉林省通化市三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题
1．（2024高一下·通化期中）已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，进而得出。
2．（2024高一下·通化期中）已知，在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，在上的投影为，即，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求解即可.
3．（2024高一下·通化期中）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以三点共线.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据向量的加法运算，求得，即可判断三点共线.
4．（2024高一下·通化期中）在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由，不妨设，，，
因为，所以最大，
，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据三角形大边对大角原则，结合余弦定理求解即可.
5．（2024高一下·通化期中）如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法可知：原图中，，且，
则，故的周长为.
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法，还原，求得相应边长，再求周长即可.
6．（2024高一下·通化期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由余弦定理，可得，解得，
由正弦定理可得．
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理可求的值，再根据正弦定理求的值即可．
7．（2024高一下·通化期中）如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： 在中，为的中点，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用平面向量线性运算及共线向量关系求解即可.
8．（2024高一下·通化期中）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，，
.
故选：C.
【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律利用题目中的已知条件可求得结果.
9．（2024高一下·通化期中）已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．为实数
D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：A、 复数 ，则的共轭复数为，故A错误；
B、易知，则，故B正确；
C、复数，则为复数，故C错误；
D、易知，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据共轭复数的定义即可判断A；根据模长的计算公式即可判断B；根据复数的加法，结合复数的概念即可判断C；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可判断D.
10．（2024高一下·通化期中）在中，，则的面积可以是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A,D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.根据余弦定理可得，进而可列出方程，解方程可求出，再根据三角形的面积公式进行计算可求出答案.
11．（2024高一下·通化期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，
不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．
故选：AD．
【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断.
12．（2024高一下·通化期中）已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
【答案】或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则与向量平行的单位向量为
或.
故答案为：或.
【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可.
13．（2024高一下·通化期中）圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 ．
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由圆柱的底面圆的半径为5、高为8，可得圆柱底面圆的周长为，
则该圆柱的表面积为．
故答案为：.
【分析】直接利用圆柱的表面积公式求解即可.
14．（2024高一下·通化期中）若△ABC的内角 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由正弦定理有 ,所以 , ,由于 ,故 ,所以 的最小值是 .
【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出角C的余弦值和c的值，再利用均值不等式求最值的方法求出 的最小值。
15．（2024高一下·通化期中）已知复数满足，．
（1）求复数；
（2）求复数的实部和虚部．
【答案】（1）解：设复数，则，由，解得：.
再由， ，解得：，故复数.
（2）解：因为，，，复数的实部为，虚部为.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的乘除法运算法则、复数相等的判断方法，进而得出复数z。
（2）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数，再利用复数的实部与虚部的定义，进而得出复数的实部和虚部。
16．（2024高一下·通化期中）已知向量，，，且.
（1）求m的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为，
且，所以，
解得.
（2）解：因为，，
所以，，，
所以.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）根据向量的模、夹角的坐标表示求解即可.
17．（2024高一下·通化期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
【答案】（1）解：“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，
半球的直径，则两个半球为一个球，即球的体积：，
因为圆柱的底面直接为8，高为3，则圆柱的体积：，
故“浮球”的体积是；
（2）解：上、下两个半球的表面积，即为球的表面积：，
“浮球”的圆柱筒侧面积：，
则1个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
又因为每平方厘米需要涂胶克，所以共需要胶的质量为克.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据球和圆柱体积公式求解即可；
（2）根据球的表面积和圆柱侧面积公式求得“ 浮球 ”几何体的表面积，再确定所需胶的质量即可.
（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
（2）上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.
18．（2024高一下·通化期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理化简求解即可；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
19．（2024高一下·通化期中）在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
【答案】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，，故；
（2），可得，则，
，
，
，
因为，
所以，，
因此，；
（3）取的中点，则，如下图所示：
，同理可得，
设的外接圆半径为，
因为，故，
即，即，
则有，
整理可得
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）根据，先利用正弦定理进行边化角可得：，据此可求出，进而可反推出；
（2）先利用三角形的面积公式可求出的值，利用正弦定理进行计算可求出的值，利用两角和与差的余弦公式可得出，再可求出的值，再将的值代入中可求出答案；
（3）取的中点，则，利用平面向量的数量计算可推导出，，设的外接圆半径为，再根据，进而可得
，再利用平面向量的数量进而计算可得：，再进行化简可求出的值.
吉林省通化市三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题
1．（2024高一下·通化期中）已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·通化期中）已知，在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·通化期中）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
4．（2024高一下·通化期中）在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·通化期中）如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（2024高一下·通化期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·通化期中）如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一下·通化期中）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·通化期中）已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．为实数
D．在复平面内对应的点在第一象限
10．（2024高一下·通化期中）在中，，则的面积可以是（ ）
A． B．1 C． D．
11．（2024高一下·通化期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
12．（2024高一下·通化期中）已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
13．（2024高一下·通化期中）圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 ．
14．（2024高一下·通化期中）若△ABC的内角 满足 ，则 的最小值是 ．
15．（2024高一下·通化期中）已知复数满足，．
（1）求复数；
（2）求复数的实部和虚部．
16．（2024高一下·通化期中）已知向量，，，且.
（1）求m的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
17．（2024高一下·通化期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
18．（2024高一下·通化期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19．（2024高一下·通化期中）在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，进而得出。
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，在上的投影为，即，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以三点共线.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据向量的加法运算，求得，即可判断三点共线.
4．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由，不妨设，，，
因为，所以最大，
，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据三角形大边对大角原则，结合余弦定理求解即可.
5．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法可知：原图中，，且，
则，故的周长为.
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法，还原，求得相应边长，再求周长即可.
6．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由余弦定理，可得，解得，
由正弦定理可得．
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理可求的值，再根据正弦定理求的值即可．
7．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： 在中，为的中点，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用平面向量线性运算及共线向量关系求解即可.
8．【答案】C
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，，
.
故选：C.
【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律利用题目中的已知条件可求得结果.
9．【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：A、 复数 ，则的共轭复数为，故A错误；
B、易知，则，故B正确；
C、复数，则为复数，故C错误；
D、易知，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据共轭复数的定义即可判断A；根据模长的计算公式即可判断B；根据复数的加法，结合复数的概念即可判断C；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.根据余弦定理可得，进而可列出方程，解方程可求出，再根据三角形的面积公式进行计算可求出答案.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，
不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．
故选：AD．
【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断.
12．【答案】或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则与向量平行的单位向量为
或.
故答案为：或.
【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可.
13．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由圆柱的底面圆的半径为5、高为8，可得圆柱底面圆的周长为，
则该圆柱的表面积为．
故答案为：.
【分析】直接利用圆柱的表面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由正弦定理有 ,所以 , ,由于 ,故 ,所以 的最小值是 .
【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出角C的余弦值和c的值，再利用均值不等式求最值的方法求出 的最小值。
15．【答案】（1）解：设复数，则，由，解得：.
再由， ，解得：，故复数.
（2）解：因为，，，复数的实部为，虚部为.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的乘除法运算法则、复数相等的判断方法，进而得出复数z。
（2）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数，再利用复数的实部与虚部的定义，进而得出复数的实部和虚部。
16．【答案】（1）解：因为，
且，所以，
解得.
（2）解：因为，，
所以，，，
所以.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）根据向量的模、夹角的坐标表示求解即可.
17．【答案】（1）解：“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，
半球的直径，则两个半球为一个球，即球的体积：，
因为圆柱的底面直接为8，高为3，则圆柱的体积：，
故“浮球”的体积是；
（2）解：上、下两个半球的表面积，即为球的表面积：，
“浮球”的圆柱筒侧面积：，
则1个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
又因为每平方厘米需要涂胶克，所以共需要胶的质量为克.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据球和圆柱体积公式求解即可；
（2）根据球的表面积和圆柱侧面积公式求得“ 浮球 ”几何体的表面积，再确定所需胶的质量即可.
（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
（2）上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.
18．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理化简求解即可；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
19．【答案】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，，故；
（2），可得，则，
，
，
，
因为，
所以，，
因此，；
（3）取的中点，则，如下图所示：
，同理可得，
设的外接圆半径为，
因为，故，
即，即，
则有，
整理可得
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）根据，先利用正弦定理进行边化角可得：，据此可求出，进而可反推出；
（2）先利用三角形的面积公式可求出的值，利用正弦定理进行计算可求出的值，利用两角和与差的余弦公式可得出，再可求出的值，再将的值代入中可求出答案；
（3）取的中点，则，利用平面向量的数量计算可推导出，，设的外接圆半径为，再根据，进而可得
，再利用平面向量的数量进而计算可得：，再进行化简可求出的值.
