2024-2025学年广东省佛山市南海区桂华中学高二（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值
4.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为则此数列的项数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.若数列满足，则称为“对奇数列”已知为“对奇数列”，且，则( )
A. B. C. D.
7.有两个等差数列，，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列，组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为( )
A. B. C. D.
8.若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知正项等比数列的前项积为，若，则( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，则 ______．
13.函数的极值点为______．
14.数列中，，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求，的值；
求的极值．
16.本小题分
数列满足，．
证明：数列是等比数列；
求的通项公式；
若，证明：数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为，的中点．
求证：平面；
平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由．
18.本小题分
设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列；数列满足．
求数列和的通项公式；
记和分别为数列和的前项和，证明：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，，求实数的值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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14.
15.
16.解：证明：数列满足，，
可得，解得，
对的两边同时减去，可得，
故是首项和公比均为的等比数列．
由等比数列的通项公式可得，故；
证明：，
故
，即得证．
17.证明：在四棱锥中，取的中点，连接，，由，分别为，的中点，
，，又四边形是菱形，则，，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
解：以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，平面的一个法向量为，
设平面的法向量，，，
所以，令则，，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为，．
解：，，，，
假定在棱上存在一点，满足条件，令，，
，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则直线与平面所成角正弦值为，
解得，所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，点为中点．
18.解：由于数列是等比数列，且首项为，且，，成等差数列，
令数列的公比为，
根据，可得，解得：舍去或．
所以，．
证明：根据第一问可得．
的前项和，
那么
根据得
，
所以．
根据，
所以，得证．
19.
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