2024-2025学年湖南省部分名校高二（下）联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，则是它的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与圆：相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
4.某型号的手机每隔两年价格降低，现在的价格是元，则六年后该型号的手机的价格为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5.已知等比数列是递增数列，且的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足若，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
7.已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知直四棱柱的底面是边长为的菱形，，，点满足，其中，若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线的方程为，则( )
A. 当时，曲线是半径为的圆
B. 当时，曲线是渐近线方程为的双曲线
C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
D. 存在，使得曲线为等轴双曲线
10.已知在三棱台中，平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
11.已知数列满足，，，则( )
A. 的个位数为
B. 的个位数为
C. 对任意实数，数列都不是等比数列
D. 的前项和大于数列的前项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，依次成等差数列，则 ______．
13.已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则双曲线的离心率为______．
14.已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为______；当取最大值时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
证明：曲线是一个半径为的圆．
若直线与曲线相切，求的值．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且．
求平面与平面夹角的余弦值；
已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知，分别是椭圆：的左、右顶点，异于点，是上的一个动点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
记直线，的斜率分别为，，求的值；
直线交椭圆于，两点异于，两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
参考答案
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17.解：因为在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，
以点为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
易知是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
由可得、，，
假设存在满足条件的点，设，
所以，
因为平面，
所以，
解得，
故当时，平面．
18.解：当时，，则，解得，
由，可得，
两式相减可得：，则，
所以等比数列的公比为．
所以；
由可得：，
所以，
则，
所以，
即，
解得，
由，可得，
令，则，
当时，，当时，，
当时，，所以，
所以，所以的取值范围为．
19.解：因为，分别是椭圆的左、右顶点，
所以，
当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，
此时的面积，
解得，
则椭圆的方程为．
设，
因为点在椭圆上，
所以，
则；
证明：由题意知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，，
因为，
所以，
即，
所以，
解得或舍去，
当时，满足，
此时的方程为．
故直线过定点．
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