2025年广东省深圳市中考数学模拟测试卷
一、单选题
1．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．截至2025年3月27日，电影《哪吒2》全球票房为153.78亿，用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ）
时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上
人数 5 12 28 25 17 13
A．3-3.5小时 B．3.5-4小时 C．4-4.5小时 D．4.5-5小时
5．在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cm B． C． D．
7．下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
9．若二次根式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
10．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ．
11．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 ．
12．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度 ．
13．如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值．
16．根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力频数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人；
(4)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________．
17．根据如下素材，完成探索任务．
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同．
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件 B：200元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润
18．如图，内接于，为直径，作交于点，且，，．
(1)_______________．
(2)求证：直线是的切线．
(3)求图中阴影部分的面积．
19．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
20．【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
《2025年广东省深圳市中考数学模拟测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A D C D
1．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了整式的运算，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答A，再根据完全平方公式计算判断B，然后根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算判断C，最后根据是否是同类项判断D.
【详解】解：因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为不是同类项，不能合并，所以D不正确.
故选：C.
3．B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，即可求出．
【详解】解：亿，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了中位数的判断，
根据定义解答即可，将一组数据从大到小（从小到大）排列，最中间的一个或两个的平均数是这组数据的中位数.
【详解】解：前三组总人数为，所以第50,51个数都在4-4.5小时内，所以中位数落在4-4.5小时.
故选：C.
5．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，
由题意得，，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．先判断点为三角形三边的垂直平分线的交点，然后按做线段垂直平分线的方法对各选项进行判断．
【详解】解：点到三角形三个顶点的距离相等，
所以点为三角形三边的垂直平分线的交点，
观察四个选项，C选项符合题意．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形，确定点的位置是解题关键．过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得．
【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角形面积始终为2，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角），
∴，
又∵（当且仅当等号成立），
∴的最大值为，
故选：D．
9．3（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴x的值可以是3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）．
10．4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，则．
【详解】解：∵2和分别是一元二次方程的两根，
∴，
解得，
故答案为：4．
11．
【分析】利用画树状图法解答即可．
本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：设《周髀算经》用A表示、《算学启蒙》用B表示、《测圆海镜》用C表示、《四元玉鉴》用D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种，
∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率．
故答案为：．
12．/
【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键在于相似三角形的运用．
先由，设，则，再得到，那么可得，最后由由列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】解：
．
15．；当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对分子分母因式分解，然后约分化简，再化为同分母分式计算，最后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求值即可．
【详解】解：
，
观察上式，时都使分式无意义，
当时，原式．
16．(1)抽样调查
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查．
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是．
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）．
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：．
【点睛】本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键．
17．任务一：A种充电器每件的进价为20元，B种充电器每件的进价为80元；任务二：当购进800件A种充电器，200件B种充电器时，获利最大，最大利润为32000元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：①找准等量关系，列出二元一次方程组一元一次不等式；②根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可．
【详解】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，
由题意得：，
解得：．
答：、充电器每件进价分别为元、元；
任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由特殊角的正弦值，得到，再利用圆周角定理求解即可；
（2）由（1）可知，，再根据等边对等角的性质，得到，，从而得出，即可证明结论；
（3）先利用勾股定理求出，再根据等边对等角的性质，得出，利用特殊角的正切值，求出，最后利用阴影部分的面积求解即可．
【详解】（1）解：，
，
在中，，，
，
，
，
故答案为：
（2）证明：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是直径，
直线是的切线．
（3）解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，扇形面积公式等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
19．(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
20．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或
【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．
∵AF=AG，
∴∠AFG=∠AGF，
∵∠AGF=∠OGL，
∴∠OGL=∠OLG，
∴OG=OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，
∴BF=2OL，
∴BF=2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，
∵∠DAK=∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1= OG DK，S2= BF AD，
又∵BF=2OG，，
∴，设CD=2x，AC=3x，则AD= ，
∴．
（4）解：设OG=a，AG=k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF=AG，BF=2OG，
∴AF=AG=k，BF=2a，
∴AB=k+2a，AC=2（k+a），
∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，
∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，
∴，
∴，
由题意：=AD （k+2a），
∴AD2=10ka，
即10ka=3k2+4ka，
∴k=2a，
∴AD= ，
∴BE= = ，AB=4a，
∴tan∠BAE= ．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF=AG，BF=2OG，
∴AF=AG=k，BF=2a，
∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），
∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，
∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，
∴，
∴ ，
由题意：=AD （k﹣2a），
∴AD2=10ka，
即10ka=3k2﹣4ka，
∴k= ，
∴AD= ，
∴，AB= ，
∴tan∠BAE= ，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【点睛】本题是一道综合题，主要涉及到等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是综合运用所学到的相关知识．
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