（人教版） 2024-2025学年八年级下学期数学
期中测试卷01
（测试范围：第十六章---第十八章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．若，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．81 B．144 C．225 D．169
【分析】求出AB2的值可得结论．
【解答】解：因为∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
所以正方形ABDE的面积为AB2＝BC2+AC2＝92+122＝225，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理，正方形的性质，得出AB2的值是解题关键．
4．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【分析】根据题目所给公式代入计算即可．
【解答】解：根据题目所给公式可得：P＝12，，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
5．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为30，则 ABCD的面积为（ ）
A．36 B．32 C．24 D．18
【分析】由平行四边形的面积公式得到4BC＝6CD，由 ABCD的周长为30，得到BC+CD＝15，求出CD＝6，即可得到 ABCD的面积＝CD AF＝36．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∵AE＝4，AF＝6，
∴4BC＝6CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长＝30，
∴BC+CD＝15，
∴4BC+4CD＝60，
∴10CD＝60，
∴CD＝6，
∴ ABCD的面积＝CD AF＝6×6＝36．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的面积公式得到4BC＝6CD，由平行四边形的性质得到BC+CD＝15．
6．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由直角三角形斜边中线的性质求出AB长，由勾股定理求出BC长，由三角形中位线定理即可求出DE的长．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CDAB，
∵CD＝5，
∴AB＝10，
∵AC＝8，
∴BC6，
∵D是AB中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC＝3．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
7．当，则代数式x2+5x﹣6＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】把x的值代入，先算乘法，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：∵，
∴x2+5x﹣6
＝（1）2+5（1）﹣6
＝5﹣21+55﹣6
＝35．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值的应用，主要考查学生的计算能力．
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形三线合一可推出BE＝DE，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得AE，然后利用勾股定理求得CE，BE，最后由CD＝CE﹣DE即可求得答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，如图：
∵AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，
在Rt△AEC，AC＝8，∠C＝30°，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴DE＝BE＝3，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6；D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为P，首先证明CD＝DP，BC＝BP＝6，设CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠PBD，
在△BDC和△BDP中，
，
∴△BDC≌△BDP（AAS），
∴BC＝BP＝6，CD＝PD，
设CD＝PD＝x，
在Rt△ADP中，PA＝AB﹣BP＝4，AD＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴AD＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
10．如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF，则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝2，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①证△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正确；再由平角的定义和三角形内角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正确；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．则四边形BCGE是平行四边形．故③正确；证出BD＝2CD，得S△ACDS△ABC＝3，再证AF＝2BF，得S△AEFS△AEBS△ACD＝2，故④正确．即可求解．
【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，故①正确；
∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，
∴∠BDE＝∠CAD，故②正确；
由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACB＝60°．
又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形，故③正确；
∵AC＝BC＝6，CD＝2，
∴BD＝4＝2CD，
∴S△ACDS△ABC62＝3，
∵EG∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝4＝2BF，
∴S△AEFS△AEBS△ACD＝2，故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB≌△ADC是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 ．
【分析】先根据二次根式有意义求出a的取值范围，再根据a为整数，以及最简二次根式的定义即可求出a的最小值．
【解答】解：由题意得3a+1≥0，
解得，
∵a为整数，
∴当a＝0时，，不是最简二次根式，舍去；
当a＝1时，，不是最简二次根式，舍去；
当a＝2时，，是最简二次根式；
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，如果一个二次根式符合以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，那么这个二次根式就是最简二次根式．
12．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为 ．
【分析】根据题意等边对等角得出∠AEB＝∠B＝70°，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠AEB＝70°，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得∠ADE＝40°，进而根据∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ADC＝∠B＝70°，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝70°（两直线平行，同位角相等），
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠DAE＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键．
13．把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴1﹣m＞0，
∴原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为 ．
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3）
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据正方形的性质，可证Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA），可得DO＝EC，AD＝OE，根据点C的坐标可确定OE，CE的长，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠EOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠EOC，
在Rt△AOD，Rt△OCE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA），
∴DO＝EC，AD＝OE，
∵C（3，2），
∴OE＝3，CE＝2，
∴OD＝2，AD＝3，且点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图象与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图象特点确定坐标的方法等知识是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ ．
【分析】连接DE，先根据线段垂直平分线的性质得到DE的长，再判定DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，得到AC的长，最后根据勾股定理即可求出AD．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DF⊥BE，BF＝FE，
∴ED＝BD＝5，
∵AD是BC边上的高线，
∴△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，
∴DEAC＝5，
∴AC＝10，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，CD＝8，
∴由勾股定理，得AD6，
故答案为：6．
【点评】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为 ．
【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6，由勾股定理得AB10，由10OH8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC16＝8，OB＝ODBD12＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB10，
∵AB OHOA OB＝S△AOB，
∴10OH8×6，
解得OH＝4.8，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
∴EF≥4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）计算．
（1）|﹣2|；
（2）（1）0+（）﹣1|1|．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算，然后合并即可；
（2）利用零指数幂、负整数指数幂和二次根式的除法法则运算即可．
【解答】解：（1）|﹣2|
2
＝222
＝2；
（2）（1）0+（）﹣1|1|
＝1+21
＝1+2﹣21
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，AB＝CD，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE＝∠AEB，推出AE＝AB，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，即可求解；
（2）由AD＝16，可得AF＝2，从而得出AB的长，即可得出 ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE；
（2）解：∵AD＝16，
∴AF+EF+DE＝16，
∵AF＝DE，EF＝12，
∴AF+12+AF＝16，
解得AF＝2，
∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14，
∴ ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即 ABCD的周长为60．
【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
19．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送 m．
【分析】（1）设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；
（2）由题意得出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意知，DE＝0.7米，BF＝2.7米，CE＝BF＝2.7米，
∴CD＝CE﹣DE＝2.7﹣0.7＝2（米），
设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
即秋千的长度为5米；
（2）∵踏板离地的垂直高度BF为2.7米，
∴CD＝1.7﹣0.7＝1（米）
∴AC＝5﹣1＝4（米），
∴BC3（米），
即需要将秋千AD往前推送3米，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
20．（8分）化简，再求值：
（1）已知：，求ab2﹣a2b的值；
（2）其中a．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab，根据二次根式的减法法则求出a﹣b，把原式因式分解，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝5+2，b＝5﹣2，
∴ab＝（5+2）（5﹣2）＝25﹣24＝1，a﹣b＝（5+2）﹣（5﹣2）＝4，
∴ab2﹣a2b＝ab（b﹣a）＝﹣4；
（2）原式＝[]
，
当a时，原式7﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、分式的混合运算，掌握二次根式的乘除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE＝CE，CD＝2，求OF的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECD是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形；
（2）先证明四边形BCED是菱形，△CDE为等边三角形，则，再根据30°角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴，
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AC⊥DE，CD＝CE，OD＝OE，
∵DE＝CE，CD＝2，
∴DE＝CE＝CD＝2，△CDE为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°，OD＝OE＝1，∠DEC＝60°，
∴BC∥DE，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴四边形BCED是菱形，
∴，
∴EF＝2OF，
由勾股定理得OF2＝EF2﹣OE2，即OF2＝（2OF）2﹣12，
解得．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（9分）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
【分析】（1）根据范例解答即可；
（2）根据题给计算方法计算即可；
（3）根据题给计算方法计算即可．
【解答】解：（1）如果，其中a、b为有理数，则a＝﹣2，b＝3；
故答案为：﹣2；3；
（2）由条件可知a+b＝4，2b﹣a＝5，
解得a＝1，b＝3，
∴a+8b＝1+24＝25，
∴a+8b的算术平方根为5；
（3）由条件可知，解得，
a+b＝1或﹣9，
∴a+b的立方根为1或．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、立方根，熟练掌握以上知识点是关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝ ，AD＝ ；（请直接写出答案）
（2）当t＝ 时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×2＝4，
∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC25，
AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABCAC BDAB BC，
即25 BD20×15，
解得BD＝12，
所以CD9，
t＝9÷2＝4.5（秒）；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝25÷2＝12.5（秒），
综上所述，t＝4.5或12.5秒；
故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；
（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE＝BE，
CD＝ADAC25＝12.5，
t＝12.5÷2＝6.25；
②CD＝BC时，CD＝15，t＝15÷2＝7.5；
③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝9，
CD＝2CF＝9×2＝18，
t＝18÷2＝9，
综上所述，t＝6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
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（人教版） 2024-2025学年八年级下学期数学
期中测试卷01
（测试范围：第十六章---第十八章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．若，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．81 B．144 C．225 D．169
4．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
5．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为30，则 ABCD的面积为（ ）
A．36 B．32 C．24 D．18
6．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．当，则代数式x2+5x﹣6＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6；D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF，则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四边形；④当CD＝2时，S△AEF＝2，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 ．
12．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为 ．
13．把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为 ．
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3）
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ ．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题4分，共8分）计算．
（1）|﹣2|； （2）（1）0+（）﹣1|1|．
18．（8分）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）求证：AF＝DE．
（2）若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
19．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送 m．
20．（8分）化简，再求值：
（1）已知：，求ab2﹣a2b的值；
（2）其中a．
21．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE＝CE，CD＝2，求OF的长．
22．（9分）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝ ，AD＝ ；（请直接写出答案）
（2）当t＝ 时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
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