17.3全等三角形及其性质
一、单选题
1．下列各组图形是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等
4．如图，，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）．
①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④全等三角形的对应边上的高相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
7．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定
8．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
9．如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点 D．点
10．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）；
12．一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
13．如图，画在透明纸上的 ABC和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．
14．如图,将△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置,则△ABC △A'B'C',图中∠A与 ,∠B与 ,∠ACB与 是对应角.
15．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y= ．
16．如图所示， ABC与 ADE全等，则的对应角是 ，AC的对应边是 ．
17．已知 ABC与全等，，，，则的长为 ．
18．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为 ．
三、解答题
19．找出下列图形中的全等形．
20．如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
21．如图，，点E和点D是对应顶点．
（1）写出它们的对应边和对应角；
（2）若，且，求的度数．
22．如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6．
（1）求∠ACB的度数．
（2）求AC边的取值范围．
23．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P．已知 ，，，．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
24．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证∶ CE⊥AB
（2）已知BC=7，AD=5，求 AF的长．
25．如图所示，已知，且．
说明经过怎样的变换后可与重合；
与有何关系？请说明理由；
与相等吗？为什么？
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解析】解：观察发现，A、B、C选项中的两个图形不可能完全重合，
∴不是全等形，
D选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等形．
故选：D．
2．A
【分析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角．
【解析】观察图形知，AD与CE是对应边
∴∠B与∠ACD是对应角
又∠D与∠E是对应角
∴∠A与∠BCE是对应角．
故选：A．
3．D
【分析】根据全等形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【解析】解：A、两个面积相等的图形，形状不一定相同，所以不一定是全等形，故A错误；
B、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定是全等形，故B错误；
C、若两个图形的周长相等，形状不一定相同，所以它们不一定是全等形，故C错误；
D、两个全等三角形的对应边相等，所以周长一定相等，故D正确．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，则，进而根据已知求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，解得，
故选：A．
5．A
【分析】根据全等三角形的性质即可作出判断．
【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等，对应边上的高、中线及角平分线均相等．故四个命题全部正确．
故选：A．
6．A
【分析】根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
7．C
【分析】根据全等三角形的性质计算即可；
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴，
∵BC＝7cm，
∴；
故答案选C．
8．A
【分析】利用全等三角形的性质找出同一个三角形的底边长及面积，代入面积公式即可求解三角形的高．
【解析】解：设△DEF的面积为s，边EF上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，
∴两三角形的面积相等，即s=18，即有，
解得：h=6，
即EF边上的高为6cm，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．
【解析】解：∵，
∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图：
，
故选：D．
10．B
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解析】∵，
∴，
∴，
在 ABC中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得，
故选：B．
二、填空题
11．（5）
【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可．
【解析】解：（1）形状、大小不相等，不是全等形；
（2）大小不同，不是全等形；
（3）形状，大小都不相同，不是全等形；
（4）形状，大小都不相同，不是全等形；
（5）形状，大小都相同，是全等形；
故答案为：（5）．
12．一 位置 形状、大小
【分析】分别根据全等形的性质以及平移、翻折、旋转的性质即可求解．
【解析】解：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
故答案为：位置；形状、大小．
13． 是 把 ABC和放在一起能够完全重合
【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．
【解析】解：根据题意可知 ABC和是全等形；理由是能把 ABC和放在一起能够完全重合；
故答案为是，把 ABC和放在一起能够完全重合．
14． ≌ ∠A' ∠A'B'C' ∠C'
【解析】∵△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置,
∴△ABC ≌△A'B'C',
∴∠A=∠A'，∠B=∠A'B'C'，∠ACB=∠C'，
∴∠A与∠A'，∠B与∠A'B'C'，∠ACB与∠C'是对应角，
故答案为≌、∠A'、∠A'B'C'、∠C'
15．9
【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解.
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴x=4，y=5，
∴x+y=4+5=9．
故答案为9.
16． ∠E AD
【解析】首先确定三角形的对应顶点，再将对应顶点放在对应位置写出两个三角形的全等关系，即，然后按照对应关系即可写出对应边和对应角，的对应角为，AC的对应边为AD．
答案：∠E AD
17．7或8
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据 ABC与全等，且，所以进行分类讨论，当，则；当，则，即可作答．
【解析】解：∵ ABC与全等，，
∴当，则；
当，则，
综上：的长为7或8，
故答案为：7或8
18．1：4
【分析】根据题意可先求出∠ACB的度数，然后根据全等的性质分别求出∠BCA′，∠BCB′的值即可得出结论．
【解析】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，
∴∠ACB＝180°×＝100°，
∵△A′B′C≌△ABC，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝100°，
∴∠BCB′＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
∠BCA′＝∠ACB﹣∠A′CB′＝100°﹣80°＝20°，
∴∠BCA′：∠BCB′＝20°：80°＝1：4．
故答案为：1：4．
三、解答题
19．解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形．
20．解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
21．解：（1）∵△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，
∴AE＝AD，AC＝AB，EC＝DB，∠AEC＝∠ADB，∠ACE＝∠ABD，，
∴AE和AD是对应边，AC和AB是对应边，EC和DB是对应边，∠AEC和∠ADB是对应角，∠ACE和∠ABD是对应角，和是对应角．
（2）∵△AEC≌△ADB，
∴∠ACE＝∠ABD＝39°．
∵在△ABC中有：∠A＋∠ABD＋∠1＋∠2＋∠ACE＝180°，∠A＝50°，∠ACE＝∠ABD＝39°，∠1＝∠2，
∴∠1＝26°．
22．解：（1）∵△ABC ≌△DEF，
∴∠B=∠E=50°，
∵∠A=85°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°；
（2）∵△ABC ≌△DEF，
∴BC=EF=6，
∵AB=4，
∴AC的范围是2＜AC＜10．
23．解：（1）解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE．
∴∠ABC -∠DBC =∠DBE -∠DBC，即∠ABD=∠CBE．
∵∠ABD+∠DBC+∠CBE =∠ABE，
∴∠CBE= (∠ABE-∠DBC)=×(162°-30°)=66°．
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．
24．（1）证明：∵AD⊥BC
∴∠CDF＝90°
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，AD＝DC，
∵BC＝7，AD＝5，
∴BD＝BC CD＝2，
∴AF＝AD DF＝5 2＝3．
25．解：先水平翻转，再平移即可与重合；
．
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
