2024-2025 学年青海省西宁十四中高二（下）月考数学试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线 = 1 2 2 32 在点( 1, 2 )处切线的倾斜角为( )
A. 3 3 B. 4 C. 4 D. 4
2.已知 2 2 412 = 12 ，则 的值是( )
A. 2 B. 6 C. 12 D. 2 或 6
3.已知函数 = ( )的图象是下列四个图象之一，且其导函数 = ′( )的图象如图
所示，则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
4.五种不同商品在货架上排成一排，其中 ， 两种必须连排，而 ， 两种不能连排，则不同的排法共有( )
A. 48 种 B. 24 种 C. 20 种 D. 12 种
5.若点 是曲线 = 2 + 1 上任意一点，则点 到直线 = 2 的最小距离为( )
A. 1 B. 2 3 22 C. 2 D. 2
6.已知是函数 ( )的导函数，若 ( ) = 2 ′(3)，则 (1) =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
7.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三
段圆弧组成的曲边三角形.现提供 5 种颜色给如图所示的勒洛三角形中的 4 个小区域涂色，规定每个区域只
涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为( )
A. 120
B. 240
C. 300
D. 320
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8.若 0 < 1 < 2 < 都有 2 1 1 2 < 1 2成立，则 的最大值为( )
A. 12 B. 1 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命
题( )
A. 3 是函数 = ( )的极值点
B. 1 是函数 = ( )的最小值点
C. = ( )在区间( 3,1)上单调递增
D. = ( )在 = 0 处切线的斜率小于零
10.以“迁马，跑在水美酒乡”为主题的 2023 宿迁马拉松，于 4 月 2 日开跑，共有 12000 名跑者在
“中国酒都”纵情奔跑，感受宿迁的水韵柔情.本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑(5.5 公里)
三个项目，每个项目均设置 4000 个参赛名额.在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等 5 名大学生志
愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑(5.5 公里)三个项目进行志愿者活动，则下
列说法正确的是( )
A.若全程马拉松项目必须安排 3 人，其余两项各安排 1 人，则有 20 种不同的分配方案
B.若每个比赛项目至少安排 1 人，则有 150 种不同的分配方案
C.安排这 5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有 42 种不同的站法
D.已知这 5 人的身高各不相同，若安排 5 人拍照，前排 2 人，后排 3 人，且后排 3 人中身高最高的站中间，
则有 40 种不同的站法
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 1 在( ∞, + ∞)上是单调函数，则实数 的值可以是( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = ( )的图象在点 (5, (5))处的切线方程是 = + 8，则 (5) + ′(5) = ______．
13.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、
香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在
鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有______种.
14.已知函数 ( ) = + 2 ，则不等式 (2 1) < ( 2)的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = 33 4 + 4．
(1)求 = ( )在 = 3 处的切线方程；
(2)求 ( )在区间[ 3,3]上的最值．
16.(本小题 15 分)
高二(3)班的 3 个男生，2 个女生(含学生甲、乙)在寒假期间参加社会实践活动. (用数字作答下列问题)
(1)社会实践活动有 5 项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方
案的种数；
(2)活动后 5 人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1( ∈ )．
(1)求函数 ( )的单调区间和极值．
(2)若 2 1 ≤ ( )对 ∈ [ 2,4]恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知安排 3 名男生和 2 名女生参加 ， ， 三项不同的公益活动，每人只能参加 1 项公益活动，每项公益
活动至少有 1 人参加．
(1)求不同安排方案的种数(用数字作答)；
(2)若每项活动都必须安排 1 名男生，求不同安排方案的种数(用数字作答)；
(3)若公益活动 需要 1 人，公益活动 和 都需要 2 人，求不同安排方案的种数(用数字作答)．
19.(本小题 17 分)
有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因，在修建高铁、
公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率( )来刻画路线弯曲度.曲线的曲率定义如下：记 =
′( )为 = ( )的导函数， = ″( )为 = ′( )的导函数，则曲线 = ( )在点( , ( ))处的曲率为
( ) = | ″( )| 3．
(1+( ′( ))2)2
(1)已知函数 ( ) = 2 + 2 ，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的曲率 (0)；
(2) 1求反比例函数 ( ) = 曲率的平方
2( )的最大值．
(3)已知函数 ( ) = + ，求曲线 = ( )的曲率 ( )的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.12
14.( 1,1)
15.解：(1)因为 ( ) = 1 33 4 + 4，则 (3) = 9 12 + 4 = 1，
′( ) = 2 4，则 ′(3) = 9 4 = 5，
所以曲线 = ( )在 = 3 处的切线方程为 1 = 5( 3)，即 5 14 = 0．
(2)由 ′( ) = 2 4 = 0 可得 =± 2，
则 ′( )， ( )随 的变化情况如下表所示：
[ 3, 2 ( 2) 2,2) 2 (2,3]
′( ) + 0 0 +
( ) 增 极大值 减 极小值 增
所以函数 ( )在[ 3, 2)、(2,3]上单调递增，在( 2,2)上单调递减，
函数 ( )的极大值为 ( 2) = 8 283 + 8 + 4 = 3，极小值为 (2) =
8 8 + 4 = 43 3，
又因为 ( 3) = 9 + 12 + 4 = 7， (3) = 9 12 + 4 = 1，
故当 ∈ [ 3,3]时， ( ) = ( 2) = 28 3， ( )
4
= (2) = 3．
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16.解：(1)5 个人做 5 项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案
总数为 55 = 120 种．
(2)甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他 4 人随机排，则有 44 = 24 种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有 3 个位置可以选择，乙不在排头，有 3 个位置可以选择，其他 3 人随机排，
则有 1 1 33 3 3 = 54 种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有 24 + 54 = 78 种．
17.解：(1)因为 ( ) = 3 3 2 9 + 1( ∈ )，
则 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3)，
合 ′( ) = 0，可得 = 1 或 = 3，列表如下：
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 ( )的增区间为( ∞, 1)、(3, + ∞)，减区间为( 1,3)，
函数 ( )的极大值为 ( 1) = 1 3 + 9 + 1 = 6，极小值为 (3) = 27 27 27 + 1 = 26．
(2)由(1)可知，函数 ( )在区间[ 2, 1]上单调递增，在[ 1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
且 ( 2) = 8 12 + 18 + 1 = 1，故当 ∈ [ 2,4]时， ( ) = { ( 2), (3)} = (3) = 26，
因为 2 1 ≤ ( )，对 ∈ [ 2,4]恒成立，则 2 1 ≤ ( ) 25 = 26，解得 ≤ 2，
25
因此，实数 的取值范围是( ∞, 2 ]．
3 1 2 2
18. 解：(1) 先将 5 人分为 3 组，有 3，1，1 型；和 2，2，1 型，有( 5 2 + 5 32 2 )种分组方法， 2 2
将分好的三组安排到三个项目，有 33种情况，
3 1 2 2
则不同安排方案的种数为( 5 22 +
5 3 3
2 ) 3 = 150． 2 2
(2)先将 3 名男生分到三项公益活动，有 33种方案，
2 名女生有32 = 9 种方案，
∴不同安排方案的种数为 9 33 = 54．
(3)不同安排方案的种数为 1 25 4 22 = 30．
19.(1)因为 ( ) = 2 + 2 ，所以 ′( ) = 2 2 2 2 ，
″( ) = 4 2 + 4 2 ，故 ′(0) = 2 2 = 0， ″(0) = 4 + 4 = 8，
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|8|
由曲率公式得 (0) = 3 = 8．
(1+0)2
| 2 |
(2)由 ′( ) = 1 2 3 2， ″( ) =
3，则 ( ) = 3，(1+ 1 )2
4
4
2( ) = 61 =
4 ≤ 4 = 1，
(1+ 4)
3 ( 2+ 1 3
2
) (2 2 1 )3 2
2
1
当且仅当 2 = 2，即 =± 1 时，等号成立，
1 1
故反比例函数 ( ) = 曲率的平方
2的最大值为2．
(3)因为 ( ) = + ，所以 ′( ) = ，
″( ) = | |，由曲率公式得 ( ) = 3，
(1+( )2)2
( ) = | + |故 3 =
| + |
3，
(1+cos2 2 +sin2 )2 (2 2 )2
2( ) = ( + )
2 cos2 +2 +sin2 1+ 2
则 (2 2 )3 = (2 2 )3 = (2 2 )3，
( ) = 1+ 2 2 = ∈ [ 1,1] ( ) = 1+ 令 (2 2 )3，令 ，函数化为 (2 )3，
令 2 = ∈ [1,3] 1+2 3 ，则 = 2 ，函数化为 ( ) = 3 = 3 ，
对 ( ) 3 3 1进行变形，得到 ( ) = 3 3 = 3 2，
1 1
令 3 2 = ∈ [ 3 , 1]，函数化为 ( ) = 3 ，
此时，我们研究 ( )的范围即可，而 ′( ) = 9 2 2 ，
当 ∈ [ 13 , 1]时， ′( ) > 0 恒成立，故 L( )
1
在[ 3 , 1]上单调递增，
而 ( 13 ) = 3 × (
1 3 1 2
3 ) ( 3 ) = 0， (1) = 3 × 1 1 = 2，
故 L( ) ∈ [0,2]，即 ( ) ∈ [0,2]，故 ( ) ∈ [0, 2]．
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