2024-2025 学年海南省海口市秀英区枫叶国际学校高二（下）第一次月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {1,2,3,4,5,9}， = { | + 1 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4} B. {1,2,3} C. {3,4} D. {1,2,9}
2.(2 + 2 )(1 2 ) =( )
A. 2+ 4 B. 2 4 C. 6 + 2 D. 6 2
3.若函数 ( ) = 2 + 1，则 ′( 12 ) =( )
A. 0 B. 1 C. 32 2 D.
5
2
4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有 4 名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选
购 1 种，则不同的选购方式有( )
A. 34种 B. 43种 C. 3 × 2 × 1 种 D. 4 × 3 × 2 种
5.记等差数列{ }的前 项和为 ，若 5 = 7， 10 = 2，则 14 =( )
A. 49 B. 63 C. 70 D. 126
6 1 1 1.若曲线 ( ) = 2 的图象点( 2 , ( 2 ))处的切线的方程为( )
A. = 6 5 B. = 8 6 C. = 4 4 D. = 10 7
7.将 5 本不同的书(2 本文学书、2 本科学书和 1 本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得 1 本书，每
本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为( )
A. 78 B. 92 C. 100 D. 122
8.已知函数 ( ) = 在(1,2)上是单调递增函数，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1 1 , + ∞) B. ( 2 2 , + ∞) C. [
1
, + ∞) D. [
1
2 2 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 21 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算中不正确的是( )
A. (4)′ = 2 B. ( )′ = 1 10 C. (3
)′ = 3 1 D. ( 5)′ = 5 4
10.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到 ， ， ， 四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选
择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则( )
第 1页，共 5页
A.所有可能的安排方法有 64 种
B.若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有 6 种
C.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有 24 种
D.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去 医院，则不同的安排方法有 18 种
11.已知函数 ( ) = 3 + 1，则( )
A. ( )有两个极值点 B. ( )有三个零点
C.点(0,1)是曲线 = ( )的对称中心 D.直线 = 2 是曲线 = ( )的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
12.已知 ( ) = 13 8 + 2 2， ′( 0) = 4，则 0 = ．
13.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到 、 、 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项
活动都需要有人参加，其中甲必须参加 活动，则不同的分配方法有______种. (用数字作答)
14.已知函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，其导函数为 ′( )，若 ′( ) 1 < 0. ( ) = 2，则关于 的不等式
( ) < + 1 的解集为 ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 63 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 14 分)
书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书．
(1)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 2 ．
(1)求函数 ( )的单调区间以及极值；
(2)求函数 ( )在[1,3]上的最小值．
17.(本小题 17 分)
已知数列{ }是公差不为 0 的等差数列，数列{ }是公比为 2 的等比数列， 2是 1， 5的等比中项， 3 3 =
3， 1 = 2 1．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2) 1求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 3 + 3 2 9 + 5，且 ( )在 = 1 处有极值， ( ) = 2 + 1．
第 2页，共 5页
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )的极值；
(3)若存在 1 ∈ [
1
2 , 2]
1
，使得 2 ∈ [ 2 , 2]，都有 ( 1) < ( 2)成立，求实数 的取值范围．
第 3页，共 5页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.50
14.(1, + ∞)
15.解：(1)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：
第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法，
第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法，
第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 4 × 3 × 2 = 24；
(2)第 1 类方法是 4 本不同的计算机书和 3 本不同的文艺书中各选取 1 本，有 4 × 3 种方法，
第 2 类方法是 4 本不同的计算机书和 2 本不同的体育书各选取 1 本，有 4 × 2 种方法，
第 3 类方法是 3 本不同的计算机书和 2 本不同的体育书各选取 1 本，有 3 × 2 种方法，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 4 × 3 + 4 × 2 + 3 × 2 = 26．
16.解：(1) ( ) = + 2 的定义域是(0, + ∞)，
依题意， ′( ) = 1 ，
令 ′( ) > 0，得 0 < < ，
令 ′( ) < 0，得 > ，
故函数 ( )的单调递增区间为(0, )，单调递减区间为( , + ∞)，
所以函数 ( )的极大值为 ( ) = ，无极小值．
第 4页，共 5页
(2)由(1)可知， ( )在[1, ]上单调递增，在( , 3]上单调递减，
所以 ( )在[1,3]上的最小值为 { (1), (3)}，
而 (1) = 2， (3) = 3 3 + 6，
可知 (3) > (1)，
故函数 ( )在[1,3]上的最小值为 2．
17.解：(1)因为 2是 1， 5的等比中项，且 3 3 = 3， 1 = 2 1，
所以( 21 + ) = 1 ( 1 + 4 ), 8 1 ( 1 + 2 ) = 3，
解得 1 = 1， = 2， 1 = 2，
所以 = 2 1, = 2 ；
(2) 1 1 1 1 1因为 = +1 (2 1)(2 +1)
= 2 ( 2 1 2 +1 )，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 2 (1 3 + 3 5+ + 2 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 ) = 2 +1．
18.解：(1)函数 ( ) = 3 + 3 2 9 + 5，则 ′( ) = 3 2 + 6 9，
由 ( )在 = 1 处有极值，得 ′(1)3 + 6 9 = 0，解得 = 1．
(2)由(1)得 ( ) = 3 + 3 2 9 + 5，则 ′( ) = 3 2 + 6 9，
令 ′( ) = 0，解得 1 = 3， 2 = 1，
当 ∈ ( ∞, 3)， ′( ) > 0，当 ∈ ( 3,1)， ′( ) < 0，
当 ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0，可得当 = 1 时，函数 = 1 取极小值 (1) = 0．
当 = 3 时， ( )取得极大值 ( 3) = 32．
(3) 1存在 1 ∈ [ 2 , 2]，使得 2 ∈ [
1
2 , 2]，都有 ( 1) < ( 2)成立，
1
等价于 2 ∈ [ 2 , 2]， ( 2) > ( 1) ，
又由(1)(2) 1可知，当 1 ∈ [ 2 , 2]时， ( ) = (1) = 0．
故 ∈ [ 1 , 2] 12 2 ， ( 2) > 0，即 < 2 + 成立．2
1 1
又因为 2 + ≥ 2，当且仅当 2 = ，即 2 = 1 时等号成立．2 2
故 < 2，即 的取值范围为( ∞,2)．
第 5页，共 5页
