期中重难点知识复习专项训练
平行线的拐点模型
1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：，，，，
由题意知：，，，
，故答案为：．
2．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ．
【答案】46
【详解】解：过点B作射线，如图所示，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵， ∴，
∵，∴．故答案为：46．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，记，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：过点作．
，．，，，
．．同理：．
．
，．故答案为：．
4．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践
数学课上，老师提出问题：如图，钉板上存在三条互相平行的直线，，，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点，处，拉住皮筋中部的一点至点处固定，点在直线上，．若，求的度数．
数学思考：（1）完成老师提出的问题．
深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点处，另一端用钉子固定在点处．若，求的值．
②“智慧小组”提出问题：如图3，在与的交点处用钉子固定点，在与的交点处用钉子固定点，将点移动到点处（点在直线上）．若，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2） ①，②；
【详解】（1）∵∴∴
∵∴；
（2）①∵，∴
∵∴，∴；
②∵∴，
∴
∵∴，∴
∴．
5．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，．
(1)若，，则的度数为________．
(2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________．
(3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________．
如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示）
(4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程．
【答案】(1)110(2)80(3)，(4)
【详解】（1）解：过点作，如图所示，
，．，，
，，．故答案为: 110．
（2）解：过点作，过点作，如图所示，
，．，，．
， ，，
．，，，
．故答案为： 80．
（3）解：过点作，如图所示，
，．，，
，．
平分，平分，，．．
，，．按照上述方法可知，平分，平分，．
同理可得，．
．故答案为：，．
（4）解：过点作交于点，如图所示，，，
，，，
，，．故答案为：．
6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D
7．（2024·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点作，，
，，，
，，
，，，故选：C．
8．（2024下·浙江·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
【答案】90
【详解】解：如图，过点P作，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，故答案为：90．
9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
(1)如图2，当与重合时，求证：；
(2)当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析(2)或
【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，
∵是的角平分线，且与重合，∴，∴．
（2）当与不重合()时，如图：
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵是的角平分线，∴，
又∵，，∴，，
∴，∴，即．
当与不重合()时，如图：
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵是的角平分线，∴，
又∵，，∴，，
∴，∴，即．
综上，当与不重合时，或．
10．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，证明见解析；(2)或．
【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得：
∵∴∴故答案为：；
②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和
由格线平行可得 ∵∴．
（2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为，
当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得，
∵∴即， ∴ 即
当射线在的外部，如图：∵∴
由（1）中②知，∴
综上所述：或．
11．（2024·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．
【答案】/30度
【详解】解：如图，过点作，
，，，
，，，，
，，
，故答案为．
12．（2024·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，∵直线，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：D．
13．（2024·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【详解】解：（1）过点E作，∴，
∵，∴，∴，∵，∴；
（2）；过点E作，∴，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，即．
14．（2024·山西临汾·七年级校考期末）如图1，，点E，F分别是，上的点，点P是和之间的一点，连接，．
(1)若，，求的度数；(2)若点P位于上方（如图2），，，其他条件不变：（用含α和β的代数式表示下列角度数）①求的度数；②若和分别平分和（如图3），请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：过点P作，
，，，
，，
，；
（2）解：①过点P作，，
，，
，，
②过Q作，， ，
和分别平分和，
，．
15．（2023上·云南·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，
，，故选：A．
16．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则 °．
【答案】20
【详解】解：∵，∴∴
∵∴故答案为：20．
17．（2024下·山西吕梁·七年级校考阶段练习）如图，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)点F为、之间一点，交于点M，，平分交于点G．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，H是延长线上一点，． 点N在射线上，，
．请直接写出的度数为__________．
【答案】(1)证明见解析(2)①；②或．
【详解】（1）证明：如图，设与交于点O．
∵，∴．∵，∴；
（2）①解：如图，过点F作．∵，∴，
∴，，．
∵，∴，∴．
∵平分，∴．
∵，∴，∴；
②分类讨论：当点N在线段上时，设，则．
如图，过点作，∴，∴，，
∴，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴．
∵平分，，∴，
∴，解得：，即此时；
当点N在线段的延长线上时，如图，同理可得：，∴，
解得：，即此时．综上可知的度数为或．故答案为：或．
18．（2024下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题
(1)如图（1），，点在外部，若，则____
(2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
【答案】(1)(2)，证明见解析；(3)
【详解】（1）解：，，
∵,∴．
（2）解：．理由如下：过点作，
，，
，．
（3）解：过点作交于，过点作，
,，
，,，
∴．
19．（2024下·山东青岛·七年级校考期末）如图，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过点C作．∵，∴．∵，∴．
∵，∴，∴．故选：D．
20．（2024下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．
【答案】
【详解】解：过作，延长交于，则，即
，，，，，
，，，故答案为：．
21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，，故选：．
22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．
【答案】
【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，
∵，∴，∴，∴．
23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内：
解：作，（ ① ），
，，
，，
（ ② ），
（ ③ ），
，，．
【类比应用】如图2，，，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．
【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】．
【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等），
，，
，，（平行于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，，，
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；
类比应用，解：如图，过点C作直线，，，，
，，，，，，
，，故答案为：；
拓展延伸解：如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，，，
，，，，．
24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【详解】（1）解：过点A作，∴，，
又∵，∴；故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，
∴∴；
（3）过E点作，如图，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，设，，
∵，，∴，，
∵，∴，∵，
∴，，
∵．
()
期中重难点知识复习专项训练
平行线的拐点模型
1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ．
2．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，记，则 ．
4．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践
数学课上，老师提出问题：如图，钉板上存在三条互相平行的直线，，，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点，处，拉住皮筋中部的一点至点处固定，点在直线上，．若，求的度数．
数学思考：（1）完成老师提出的问题．
深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点处，另一端用钉子固定在点处．若，求的值．
②“智慧小组”提出问题：如图3，在与的交点处用钉子固定点，在与的交点处用钉子固定点，将点移动到点处（点在直线上）．若，请直接写出的值．
5．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，．
(1)若，，则的度数为________．
(2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________．
(3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________．
如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示）
(4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程．
6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024下·浙江·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．
9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
(1)如图2，当与重合时，求证：；
(2)当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
10．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
11．（2024·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．
12．（2024·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
13．（2024·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由．
14．（2024·山西临汾·七年级校考期末）如图1，，点E，F分别是，上的点，点P是和之间的一点，连接，．
(1)若，，求的度数；(2)若点P位于上方（如图2），，，其他条件不变：（用含α和β的代数式表示下列角度数）①求的度数；②若和分别平分和（如图3），请直接写出的度数．
15．（2023上·云南·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则 °．
17．（2024下·山西吕梁·七年级校考阶段练习）如图，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)点F为、之间一点，交于点M，，平分交于点G．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，H是延长线上一点，． 点N在射线上，，
．请直接写出的度数为__________．
18．（2024下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题
(1)如图（1），，点在外部，若，则____
(2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
19．（2024下·山东青岛·七年级校考期末）如图，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．
21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．
23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内：
解：作，（ ① ），
，，
，，
（ ② ），
（ ③ ），
，，．
【类比应用】如图2，，，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．
24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．
()
