2024-2025 学年吉林省长春十七中高一（下）4 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设{ 1, 2}是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2 1 + 2和 1 2 B. 3 1 2和 2 2 6 1
C. 1 + 3 2和 2+ 3 1 D. 1和 1 + 2
2.已知向量 = (1, 1 )，
= (2, ).若 // ，则实数 =( )
A. 1 B. 2 C. ±1 D. ± 2
3.已知向量 ， 满足( 2 ) ( + ) = 3，且| | = 2，| | = 1，则 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.已知| | = 2，且 = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 12 B.
1 2 C. D.
5 .为了得到函数 = 2 3 的图象，只要把函数 = 2 (3 + 5 )图象上所有的点( )
A. 向左平移5个单位长度 B.向右平移5个单位长度
C. 向左平移15个单位长度 D.向右平移15个单位长度
6.如图所示，△ 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 =( )
A. 2 3
+ 1 6
B. 1 + 1 3 3
C. 2 3
+ 1 3
D. 1 + 1 3 6
7.已知△ 的三内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，设向量 = ( , ), = ( , )，若 // ，则
△ 的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
8.设锐角△ 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 1， = 2 ，则△ 周长的取值范围为
( )
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A. (0,2 + 2) B. (0,3 + 3)
C. (2 + 2, 3 + 3) D. (2 + 2, 3 + 3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法错误的是( )
A.若 , 是共线的单位向量，则 =
B.若 = ，则| | = | |
C.若 ≠ ，则 , 不是共线向量
D.若 // ，则一定存在实数 ，使得 =
10 .已知函数 ( ) = 3 (3 + 4 )，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( ) 2 的最小正周期是 3
B. 函数 ( )在区间[ 4 , 4 ]上是增函数
C. = 直线 12是函数 ( )图像的一条对称轴
D.函数 ( )的图像可以由函数 ( ) = 3 3 的图像向左平移4个单位长度而得到
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列结论中正确的选项有( )
A.若 > ，则 >
B. = 2 3， = 2， = 2 3，则 = 4
C.若 = ，则△ 定为直角三角形
D. 若 = 3 , = 2 且该三角形有两解，则 的取值范围是( 3, 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1, 2)， = ( , 3)，若 ⊥ ，则 = ______．
13.已知 = ( , 2 )， = ( 3 , 2)，如果 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是______．
14.已知 、 、 分别为△ 的三个内角 、 、 的对边， = 2，且( + )( ) = ( ) ，
则△ 面积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
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(1)若 = 6， = 45°， = 2，求 ；
(2) 若 = 6， = 3， = 3，求 边．
16.(本小题 15 分)
已知向量 ， 满足| | = 5，| | = 4，( + ) ⊥ ．
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)求|2 + |．
17.(本小题 15 分)
已知在△ 中， = 4， △ = 2 3， = 2．
(1)求角 的大小；
(2)求 的长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ( ) 的表达式为 ( ) = 2 2 + cos(2 3 ) 1．
(1)求函数 = ( )的单调增区间；
(2)求方程 ( ) = 32 在 ∈ [0, ]上的解．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，其外接圆的半径是 1，且向量 = (2 2 , )，
= ( + , 2 )互相垂直．
(1)求角 的大小；
(2)求△ 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.( ∞, 1 ) ∪ ( 13 3 , 0) ∪ (
4
3 , + ∞)
14. 3
15.
16.解：(1) ∵ ( + ) ⊥ ，| | = 5，| | = 4，
∴ ( + ) = +
2
= 0，
∴ 5 × 4 × cos , + 16 = 0，
∴ cos , = 45；
(2)由(1)知 = 5 × 4 × ( 45 ) = 16，
2
∴ (2 + )2 = 4 2 + + 4 = 4 × 25 + 16 + 4 × ( 16) = 52，
∴ |2 + | = 2 13．
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17.
18.解：(1)函数 ( ) = 2 2 + cos(2 3 ) 1 = 2 + cos(2
1
3 ) = 2 + 2 2 +
3
2 2 =
3sin(2 + 3 )；
令 2 + 2 ≤ 2 +
3 ≤ 2 +
2 ( ∈ )，
5
整理得： 12 + ≤ ≤ + 12 ( ∈ )，
5
故函数的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ]( ∈ )．
(2) 3sin(2 + 3 1令 3 ) = 2 ，整理得 sin(2 + 3 ) = 2，
由于 ∈ [0, ] 2 + ∈ [ , 7 ，故 3 3 3 ]，
5 13 11
所以 2 + 3 = 6或 6 ，解得 = 4或 12 ．
19.解：(1)向量 = (2 2 , )， = ( + , 2 )互相垂直，
所以 = 0，即(2 2 )( + ) + ( 2 ) = 0，
因为△ 外接圆半径为 = 1，
所以(2 2 )( + ) + ( 2 ) = 0，
由正弦定理得，( )( + ) + ( 2 ) = 0，即 2 + 2 2 = 2 ，
2 2 2
由余弦定理得， = + 2 =
2
2 ，
又因为 ∈ (0, )，所以 = 4；
(2) 由正弦定理得， = 2 = 2 4 = 2，
由余弦定理得， 2 + 2 2 = 2 ，
因为 2 + 2 ≥ 2 ，所以 2 2 ≤ 2 ，解得 ≤ 2 + 2，当且仅当 = 时取“=”，
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1 1 2 2+1
所以△ 的面积为 △ = 2 ≤ 2 × (2 + 2) × 2 = 2 ，
即△ 2+1面积的最大值为 2 ．
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