2024-2025学年上海市华东师范大学附属周浦中学高一下学期 3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是 的内角，则“ = 33”是“sin = 2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 (1,2) π.已知点 ，将线段 绕坐标原点 逆时针转动4至
′，则点 ′的纵坐标为( )
A. 2 B. 22 2 C.
3 2 7 2
2 D. 2
3 .若 2 < < 0，则 1 cos + 1 + cos 的值为( )
A. 2sin + B. 2sin 4 2 4 2 C. 2sin 4 2 D. 2sin
+ 4 2
4.如图，等腰 , = , 是 上一点， 、 的外接圆半径分别为 1、 2，则
1
的值为( )．2
A. 1 B. sin C. cos D.由 点的位置确定
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.与 30°终边相同的角的集合是 ．
6.4 弧度是第 象限角．
7.已知扇形的半径为 4 π，圆心角为3，则扇形的弧长为 ．
8.已知 tan = 3，则 tan 4 = ．
9 π.若 2 < < 0，则点 cot , cos 在第 象限．
10 3 1.要使 2 sin 2 cos = 2 有意义，则 的取值范围为 ．
cos
11 .已知运算： = + =
π cos
，若 2，则 sin sin = ．
12.方程 2cos + 1 = 0 在[0,2 ]上的解 = ．
13.已知 sin = 34 5，则 sin2 = ．
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14.已知锐角 ， 满足 sin(2 + ) = 3sin ，则 tan( + )cot = ．
15.已知命题：
①若 ≠ ，则 sin ≠ sin ；
②若 sin ≠ sin ，则 ≠ ；
③若 sin > 0，则 必定是第一或者第二象限角；
④若 是第一或者第二象限角，则 sin > 0．
则上述命题是真命题的个数为 ．
2
16.已知函数 ( ) = + + 1 ≥ 0，若 sin + sin + sin36° 1 = 1， cos + cos + cos36° +
2 + 1 < 0
1 = 3，则 cos( ) = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知角 的终边过点 1, 3 ．
(1) π求 sin π sin 2 + 的值；
(2)若角 与角 的终边关于 轴对称，求 ．
18.(本小题 14 分)
已知在 中，三个内角 , , 所对的边分别为 , , ．
(1)当 sin : sin : sin = 2: 3: 4 时，求 (用反余弦表示)．
(2)当 = 3， = 4 时， 的面积为 3 3，求 的值．
19.(本小题 14 分)
2sin cos 1
已知3sin +2cos = 3，求下列各式的值：
(1)tan
5sin 3cos
(2) 2sin + cos
(3)2sin2 3sin cos + 4cos2
20.(本小题 14 分)
某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形
，经测量，边界 = = 12 ，∠ = 120°，∠ = 60°．
(1)若 的长为 8 ，求 的长；
(2)现需要沿该园地的边界修建篱笆(不计宽度)以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大
长度为多少米？(提示：设∠ = )
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21.(本小题 14 分)
在 中，
(1)若 sin + sin( ) = sin2 ，判断 的形状；
(2)若 sin + 42 = 5，求 cos( )的值；
(3)若 sin + cos = 1 sin 2，求 cos 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. = 360° + 30°, ∈ Z
6.三
7.4π cm 43 或3πcm
8.12或 0.5
9.二
10.[1,3]
11.1
12.2 4 3 , 3
13. 725
14.2
15.2
16. 12
17.解：(1)因为角 的终边过点 1, 3 ，
1 3
可知角 的终边在第一象限，且 cos = 2 , sin = 2 ，
则 sin π sin π2 + = sin cos =
3 1
2 ．
(2) 1因为角 和角 的终边关于 轴对称，且 cos = 2，
1
所以 cos = 2，
因为角 π的终边在第一象限，所以 在第四象限，所以 = 3 + 2 π, ∈ Z
18.解：(1)由正弦定理和 sin : sin : sin = 2: 3: 4，可得 : : = 2: 3: 4，不妨设 = 2 ，则 = 3 , = 4 ，
2+ 2 2 (2 )2+(3 )2 (4 )2 1
由余弦定理，cos = 2 = 2×2 ×3 = 4 < 0，
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π
故2 < < π
1
，则 = π arccos 4．
(2)因 = 3， = 4，且 的面积为 3 3，
1
由 = 2 sin = 6sin = 3 3
3
，可得 sin = 2 ，
0 < < π = π 2π因 ，故 3或 = 3．
= π当 3时，由余弦定理， =
2 + 2 2 cos = 9 + 16 24 × 12 = 13；
当 = 2π 23 时，由余弦定理， = +
2 2 cos = 9 + 16 + 24 × 12 = 37．
故 的值为 13或 37．
19.解：(1)若 cos = 0，则 sin =± 1 不符合题意，故 cos ≠ 0，
2sin cos 1 2tan 1 1
则由3sin +2cos = 3可得3tan +2 = 3，得 tan =
5
3；
5
(2) 5sin 3cos 5tan 3
5×3 3 16
2sin +cos = 2tan +1 = = ；2×5 133+1
2 2
(3)2sin2 2
2sin 3sin cos + 4cos
3sin cos + 4cos =
sin2 + cos2
5 2 5
2tan2 3tan + 4 2× 3 3× 3+4 41
= = =
tan2 +1 5 2 34
3 + 1
20.解：(1)由题意可知 为等边三角形，即 = = = 12，
在 中利用余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × cos 2π3，
即 2 + 8 80 = 0，解得 = 4 6 4 ；
(2)设∠ = π，且 0 < < 3，
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则在 中利用正弦定理得 2π = sin =
π ，sin sin 3 3
即 = 8 3sin , = 8 3sin π3 ，
则 + = 8 3sin + 8 3sin π3 = 8 3sin + 8 3
3
2 cos
1
2 sin
= 4 3sin + 12cos = 8 3sin + π3 ，
因 0 < < π π π 2π 3 π3，则3 < + 3 < 3 ，结合正弦函数图象可知， 2 < sin + 3 ≤ 1，
则 + ∈ 12,8 3 ，故 + + + ∈ 36,8 3 + 24 ,
则所需要的篱笆的最大长度为 8 3 + 24 .
21.解：(1)因为 sin + sin( ) = sin2 ，
又因为 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以 sin( + ) + sin( ) = sin2 ，
所以 sin cos + cos sin + sin cos cos sin = 2sin cos ，
所以 2sin cos = 2sin cos ，
所以 cos = 0 或 sin = sin ，
π
所以 = 2或由正弦定理得 = ，
所以 为直角三角形或等腰三角形．
(2)因为 + + = π = π ( + )，所以2 2 ，
sin + = sin + π ( + )所以 2 2 = sin
π 42 2 = cos 2 = 5
所以 cos( ) = cos 2 2 = 2cos
2
2 1 = 2 ×
16 7
25 1 = 25．
(3)sin + cos = 1 sin 2
2sin 2 cos
2
2 + 1 2sin 2 = 1 sin 2
2sin 2 sin 2 cos 2 = sin 2
π
因为 为三角形内角，所以 0 < < π，即 0 < 2 < 2
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所以 sin 2 ≠ 0, sin
2 cos
= 12 2
平方得 1 sin = 14 ,
因为 sin 2 cos
2 =
1
2 > 0，
所以 sin 2 > cos 2
π < π π所以可得4 2 < 2，即2 < < π
则 cos = 1 sin2 = 74 ．
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