机密★启用前
2025 年 黑 龙 江 省 绥 化 市 中 考 模 拟 卷
数 学
注意事项：
I.本试卷共6 页， 三个大题， 满分120 分， 考试时间120分钟。
2 .本试卷上不要答题， 请按答题卡上注意事项的要求， 直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1． 若a=-a，则a为 ( )
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
2．下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则这个几何体的俯视图中看到的小正方形最多有（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
4．函数自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ）
①若，则；
②若关于的方程的解为和，则的值为，
③若关于的方程有两个不相等的实数根，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某文艺汇演中，10位评委对节目A的评分为，去掉其中一个最高分和一个最低分得到一组新数据，这两组数据一定相同的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/时，则可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．菱形 的对角线 相交于点 ．若菱形 的周长为 ，则 与 之间的距离是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．7.2
12．已知二次函数的最大值为，若，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．
C． D．
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
13．据统计，2024 年度全国社会工作者职业资格考试报名人数达1889 000 人，这个数据用科学记数法可表示为 （精确到万位）.
14．分解因式：= .
15．如图， 在 中， 点 是边 上的一点． 若 ， 则
16．如图，大楼AD高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为 m．
17．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：，则是“和谐分式”.同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数.则整数x取值为： .
18．如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
19．如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为
20．如图，矩形ABCD中，，，点E，F将对角线BD三等分，点P是矩形ABCD边上的动点.则的最小值为 .
21．如图，动点从坐标原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断运动，每次运动一个单位长度，其路线如图所示，得到点，，，，…，第次运动到点，则点的坐标是 ．
22．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，在直线下方作矩形，如果矩形与矩形相似，那么点C到直线的距离为 ．
三、解答题 (本题共 6 个小题, 共 54 分)请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23．如图 ， 在 的网格中， 的顶点在格点上， 仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图．
（1） 在图①中画出线段 ， 点 在 上， 使得 ；
（2） 在图②中画出 的重心 ．
24． 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
25．某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元．
（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？
26．如图，中、，，外角平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足．
（1）求的大小；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图2，在中，，高，，求的长度．（直接写出结果不写解答过程）．
27．如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
（1）观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
（2）探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
28．已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
答案解析部分
1．C
解：由题意可得：
相反数与本身相等的数为0
故答案为：C
根据相反数的性质即可求出答案.
2．B
解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．D
4．C
5．D
6．A
7．B
解：A、∵去掉的两个数的平均分与剩下的8个数的平均分不一定相等，∴原来的平均分与剩下的8个数的平均分也不一定相等，∴A不符合题意；
B、∵中位数是一组数据排序后排在最中间的那个数（或中间两个数的平均数），去掉一个最高分和一个最低分相当于从排好的数据中首尾各去掉一个数据，这样排在最中间的那个数（或中间两个数）没有什么变化，∴前后的中位数也没有变化，∴B符合题意；
C、∵如果原来的众数是最高分或最低分，那么去掉一个最高分和一个最低分后，最高分和最低分的出现次数都减小1，数组的众数就有可能发生改变，∴C不符合题意；
D、∵由A知，数组的平均数可能发生改变，那么反映数据偏离平均数程度的方差也有可能发生改变，∴D不符合题意；
故答案为：B．
利用平均数、中位数、众数和方差的定义及计算方法逐项分析判断即可.
8．A
解：设船在静水中的速度为x千米/时，由题意得：
故选A．
此首先明确顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；则根据题意可得顺水速度为(x+2)千米/时，逆水速度为(x-2)千米/时；因为顺水航行90千米与逆水航行60千米所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列出方程．
9．B
解：建立以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，
∴在新坐标系中，点的坐标为
∵在原坐标系中， 点的坐标是
∴在新坐标系中，点的坐标为
∵与相似比为
∴在新坐标系中，点的坐标为=
∴点在原坐标系中的坐标为
故选：．
根据位似图形的规律：在以原点为位似中心的情况下，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，先以点为坐标原点，建立新的坐标系，根据位似的规律，得出点D的坐标，然后得出在原坐标系中点D的坐标.
10．A
解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
11．B
解：作AH⊥CB于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，BD=2OB，AB=CD=DA=BC，
∵AC=6，
∴OA=3，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴，
∴，
∴BD=8，
∵菱形的面积，
∴，
∴AH=4.8，
∴AD与BC之间的距离是4.8．
故答案为：B.
根据菱形的对角线互相平分且垂直，四条边都相等可得OA=3，AB=5，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得OB=4，根据菱形的面积还等于对角线乘积的一半可列式求得AH的值，即可得出答案.
12．D
解：A.∵二次函数的最大值为，
∴当x=1时，为最大值，
∴对称轴为直线x=1，函数图象开口向下，
∴a＜0，，
则b=-2a＞0，
∴选项A不符合题意；
B.∵，
∴当x=-1时，，
∴，
∴，
∴选项B不符合题意；
C.由题意可得：，
∵a＜0，
∴，
∴，
∴选项C不符合题意；
D.，
∵当x=-1时，y=1，对称轴为直线x=1，
∴当x=3时，y=1，
∴，
∴，
∴选项D符合题意；
故答案为：D.
根据二次函数的图象与性质以及图象与系数的关系等对每个选项逐一判断求解即可。
13．1.89×106
解：数1889 000 精确到万位=1890000=1.89×106，
故答案为：1.89×106.
利用近似数的定义及表示方法（近似数的精确度，要求由近似数能准确地说出它的精确度，精确度，即末位数字在哪一位，则精确到了哪一位）分析求解即可.
14．
解：由题意得，
故答案为：
根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。
15．34°
解：AB=AD，∠BAD=44°，
∴
∵AD=DC，∠ADB是△ADC的外角，
∴.
故答案为：34°.
利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ADB的度数，再利用等腰三角形的性质和外角性质即可求得∠C的度数.
16．45
17．
解：原式
为整数，
当或时，
分式的值为整数，此时或或1或.
又分式有意义时，
，
.
故答案为：.
根据分式的混合运算法则可得原式=，由分式的值为整数可得x+1=±1或±2，求出x的值，结合分式有意义的条件就可得到满足题意的x的值.
18．40；2
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
由圆的性质得：
∴
∴
∴扇形MCN的弧长为：
∴圆锥的底面圆半径为：
故答案为：40，2.
根据平行四边形的性质得到：然后根据三角形内角和定理得到：再结合等腰三角形的性质得到再根据三角形的外角的性质即可求出∠NMC的度数，最后根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长列式计算即可.
19．4
解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图
设点则
轴
又
轴，轴，
又
点F的纵坐标为
轴
点H的横坐标为，
是的对角线，，
即
解得，
故答案为：4．
过点作轴于点，过点作轴于点，设点，则，．证明，结合相似三角形的性质以及可得，再证明，结合相似三角形的性质以及可得，即有，然后根据，可求得的值．
20．
解：在矩形ABCD中，AB=3，AD=BC =4，
∴BD=，
∵ 点E，F将对角线BD三等分，
∴EF=BD=，
如图，当点P在BC（或AD）上时，
作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于H，则HF=HM，
∴HE+HF=HM+HE=EM，即当点P与点H重合时，PE+PF的值最小，最小值为EM的长，
过点E作EN∥BC交MF的延长线于点N，
∵点E，F将对角线BD三等分，
∴EN=AD=，FN=AB=1，FM=2FN=2，
∴MN=FN+FM=3，
∴EM=，即PE+PF的最小值为；
当点P在AB（或CD）上时，如图，作点F关于AB的对称点M，连接EM交BC于H，则HF=HM，
同理可得：当点P与点H重合时，PE+PF的值最小，最小值为EM的长，
过点E作EN∥AB交MF的延长线于点N，
同理可得：EF=BD=，EN=AB=1，FN=AD=，FM=2FN=，MN=FN+FM=4，
∴EM=，即PE+PF的最小值为.
∵＞，
∴PE+PF的最小值为；
故答案为：.
分两种情况：①当点P在BC（或AD）上时，作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于H，则HF=HM，从而得出HE+HF=HM+HE=EM，即当点P与点H重合时，PE+PF的值最小，最小值为EM的长，过点E作EN∥BC交MF的延长线于点N，②当点P在AB（或CD）上时，作点F关于AB的对称点M，连接EM交BC于H，当点P与点H重合时，PE+PF的值最小，最小值为EM的长，过点E作EN∥AB交MF的延长线于点N，利用勾股定理分别求出EM的长，再比较即可.
21．(1012，0)
解： 观察图形，除A1、A2、A3外，每隔4次则循环出现在正方形的四个顶点处，
而(2024-3)÷4=505……1，
∴A2024位于正方形的左下角处；
由图可知，点A4(2，0)，点A8(4，0)，点A12(6，0)，
∴A4n的坐标为(2n，0)，
所以，点A2024的坐标为(1012，0).
故答案为：(1012，0).
观察图形，除A1、A2、A3外，每隔4次则循环出现在正方形的四个顶点处，而(2024-3)÷4=505……1，故A2024位于正方形的左下角处；再观察点A4，A8，A12的坐标，可得出点A4n（n为自然数）的坐标为(2n，0)，依此规律即可得出结论即可．
22．或
23．（1）
（2）
（1）过两中线的交点作AC的平行线即可；
（2）作出AB边的中线与BC边的中线，它们的交点E为重心.
24．（1）解：调查的学生总人数为30÷30%=100人，
被调查的人中选D的学生人数为：100×25%=25人，
被调查的人中选A的学生人数为：100-10-20-25-30=15人，
将条形统计图补充完整如下图：
补充条形统计图略；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72°；
（2）解：1800名学生中，估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数1800×30%=540人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两位同学选择相同课程的占2种，
甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．
解：（1）“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；
（1）先用最喜欢E的人数除以所占百分比得出调查总人数，用调查的总人数乘以最喜欢D的人数所占的百分比可得选D的学生人数，用本次调查的总人数分别减去最喜欢B、C、D、E四类的人数即可求出最喜欢A类的人数，据此可补全条形统计图；用360°×最喜欢“手工制作”人数所占的百分比即可求出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）用全校学生人数乘以样本中最喜欢“绿植栽培”的学生人数所占百分比即可解答；
（3）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数和两位同学选择相同课程的结果数，再根据概率公式计算即可.
25．（1）A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元．
（2）该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元．
26．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
（2）解：①作于，如图1所示：
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形．
解：②设，
∵，
∴，
由①知四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴≌（），
∴，
同理，，
在中，，
即，解得：，
∴的长为；
（3）
解：（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，如图所示：
由（1）（2）得：四边形 是正方形，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ，
∴ ．
（1）先根据题意得到即可得到，进而根据角平分线的性质得到，，从而结合题意即可求解；
（2）①作于，先根据矩形的判定得到四边形是矩形，进而根据角平分线的性质得到，，再结合正方形的判定即可求解。
②设，根据正方形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明≌（）即可得到，同理，，再根据勾股定理即可求解；
（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，先根据正方形的性质、折叠的性质结合题意得到 ， ， ，进而得到 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理即可求解。
27．（1），；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∴，，
∴，
∴，，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）
（1）解：∵，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵∠，
∴，
故答案为：，；
（3）解：由三角形三边关系可知：，即，
∴的最大值为，
由()知，是等腰直角三角形，，
∴时，最大，．
（）根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，再根据直线平行性质即可求出答案.
（）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形中位线定理可得，，，，再根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等腰直角三角形，，则最大值为，再根据三角形面积即可求出答案.
28．（1）解：，图象如图2所示．
（2）解：如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）解：①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m﹣16或＝﹣2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形二，如图7（局部，变形处理），
点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
（1）根据“升幂函数”的定义结合题意即可得到，进而即可求解；
（2）设，先根据“升幂点”的定义得到，进而根据，在点上方即可得到，从而结合题意即可求解，
（3）①根据，，点与点重合即可得到，进而即可求解；
②先根据结合二次函数的图象与性质得到对称轴为，进而根据、关于对称轴对称结合得到，从而即可得到，，再根据点在点的上方，得到点在点的上方，进而分类讨论：当，当， 再结合题意即可求解；
③根据题意分两种情形讨论：情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度；情形二：如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点，进而结合题意即可求出t2﹣t1.
