机密★启用前
2025 年 广 东 省 深 圳 市 中 考 模 拟 卷
数 学
说明：1 ．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定 的位置上，并将条形码粘贴好。
2 ．全卷共 6 页。
3 ．作答选择题 1－8，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题 9 -
20 ，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内。写在 本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4 ．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果，下列是与中国航天事业相关的图标、其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
4．在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个、白球7个，且从袋中随机摸出1个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．13
5．如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到的距离等于P到的距离．下列尺规作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x，y，那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
9．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
10． 如图，A，B， C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1. 则B的边长可以是 .（写出一个答案即可）
11． 矩形纸片 中， ， 将纸片对折， 使顶点 与顶点 重合， 得折痕 ， 将纸片展开铺平后再进行折叠， 使顶点 与顶点 重合，得折痕 ， 展开铺平后如图所示． 若折痕 与 较小的夹角记为 ， 则
12．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为3，则的值为 ．
13．如图，在Rt和Rt中，，连结BD，CE，延长CE交BD于点．
（1）若，则CE的长为 .
（2） ．
三、解答题（本题共 7 小题, 其中第 14 题 5 分, 第 15 题 7 分, 第 16 题 8 分, 第 17 题 8 分, 第 18 题 9 分, 第 19 题 12 分, 第 20 题 12 分, 共 61 分)
14．计算：．
15．（1） 先化简， 再求值： ， 其中 ．
（2） 先化简 ， 然后从 中选一个合适的 值代入求解．
16． 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动。同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：，宽（单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.95 0.0669
【问题解决】
（1）m= ，n= ，并求荔枝树叶的长宽比的平均数．
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
17．教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校为了让学生体验农耕劳动，计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．
已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具的单价少5元，且用元购买甲型劳动工具的数量与用元购买乙型劳动工具的数量相等．
（1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共个，且甲型劳动工具的数量不超过乙型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用．
18．在中，以为直径作，与交于点，连接，点为半圆中点，连接，与交于，连接，若，．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的半径长．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计抛物线型拱桥的广告牌？
素材1 某文化园搭建一座抛物线型拱桥．如图①，桥在路面的跨度的宽为，桥拱最高处距离路面的距离． 图①
素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 图②
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，现要在桥拱下方，横杆的上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
图③
问题解决
任务1 确定桥拱形状 如图①，以A的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；
任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求出矩形广告牌右上方顶点的坐标．
20．（1）问题提出
在平面内，已知线段，，则线段的最小值为 ．
（2）问题探究
如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
（3）问题解决
如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
答案解析部分
1．B
解：A、 ∵该图是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，是中心对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．D
3．C
4．D
解：设黑球的个数为x，由题意得，
解得x=13，
经检验x=13为原方程的解，
∴袋中黑球的个数为13，
故答案为：D
设黑球的个数为x，根据“袋中有红球5个、白球7个，且从袋中随机摸出1个红球的概率是”结合简单事件的概率即可列出分式方程，从而即可求解。
5．B
6．D
7．B
8．A
9．
10．2（答案不唯一）
解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜正方形B的边长＜，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
先利用正方形的面积求出其边长，再求出1＜正方形B的边长＜，最后求出正方形B的边长即可.
11．
12．-10
解：由题意AB//y轴，
可设A点坐标为， B点坐标为 ，
∴，AB到y轴的距离为|a|，
∵△ABC的面积为3，
∴
解得：k=-10，
故答案为：-10.
设A点坐标为，B点坐标为，则可得出AB长度和AB到y轴的距离，从而可根据面积公式列方程，求解即可求出k的值.
13．（1）4
（2）
解：（1） 在Rt和Rt中，
∴，
∴，
∴
∴
∴△DAB∽△EAC
∴
∴
∴CE=4
故答案为：4.
（2）如图：CF与AB交于点G
由（1）知 ：△DAB∽△EAC
∴∠ABD=∠ACE
∵∠BGF=∠AGC
∴∠BFC=∠CAB
在Rt 中，
故答案为 .
（1）先根据已知条件得出，则△DAB∽△EAC，再根据对应边成比例，列出比例式，求出CE即可
（2）先根据△DAB∽△EAC得出∠ABD=∠ACE，从而推出∠BFC=∠CAB，因此得出即可.
14．解：
=1
根据特殊角的三角函数值以及绝对值的性质进行计算，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可得到答案.
15．（1）解：原式
当 时，原式 ．
（2）解：原式 ．
当 时分式无意义，
．
当 时，原式 ．
（1） 先对括号内部分通分，作减法运算，再把除法运算变形成乘法，再约分化简，最后代入求值即可.
（2）按照分式的混合运算法则，先算除法，再算加法，最后择值代入求值即可.
16．（1）3.75；2.0
（2）B
（3）解：树叶来自荔枝树；理由：根据长与宽的比值大约为2可得
解：（1）10个数按从小到大的顺序排列后，3.7和3.8处于中间位置，即中位数为（3.7+3.8）÷2=3.75，
在荔枝树叶的长宽比中，2.0出现次数最多，
故答案为：3.75，2.0.
(2)∵0.0424 < 0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0.
∴B同学说法合理
故答案为B.
（1）先把10个数据按从小到大的顺序依次排列，中间两个数的平均数就是中位数；
众数是出现次数最多的数
(2) 芒果树叶的长宽比 的方差小于荔枝树叶的长宽比的方差，故芒果树叶的形状差别小，方差越大，数据越不稳定，荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数，众数都接近于2，说明长约是宽的2倍
（3）算出树叶的长款比即可.
17．（1）甲型劳动工具的单价为元，乙型劳动工具的单价为元
（2）元
18．（1）解：∵点 为半圆中点
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
为 直径
∴ 为 切线
（2）解：连接
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵ ，
∴在 △ 中
∴
半径为2
（1）利用切线的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ADF=∠AFD，再利用勾股定理计算求解即可。
19．解：任务1：如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系，
则桥拱最高点的坐标为，
∵，
∴，
∴．
设抛物线的解析式为，
则，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：令，则，解得，．
∴两个桥墩之间的距离是．
任务3：∵矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：
①；②；③；④；⑤；⑥．
∵拱桥的最高点到的距离，
∴方案①，②，③不符合题意．
∵，
∴方案⑥不符合题意．
方案④：当时，．
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为．
∵，
∴方案④可以满足要求．
此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是．
方案⑤：
当时，．
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为．
∵，
∴方案⑤可以满足要求．
此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是．
综上所述，共有两种设计方案：
方案一：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是；
方案二：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是．
任务1：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
任务2：将y=4代入函数解析式，再求出x的值即可；
任务3： 根据矩形的长、宽均为整数，矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：①；②；③；④；⑤；⑥，逐个分析得出方案④⑤可以满足要求，进而得出矩形广告牌右上方顶点的坐标，再求解即可.
20．（1）2
（2）解：如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵P是AD的中点，AD=4，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点E在线段PB上时，BE取最小值，
即BE的最小值为；
（3）解：如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当P在线段BF上时，PE取最小值．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形APCD面积的最小值为．
解：（1）∵（当且仅当点C在线段AB上时，等号成立）
∴BC ≥5-3，
即BC ≥2，
∴BC的最小值为2；
故答案为：2；
（1）根据三角形三边关系即可得答案；
（2）如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP，根据含30°角直角三角形的性质及平行四边形的性质可求出AF、PF的长度，进而确定BF的长度，再根据勾股定理得到PB的长度，再由（1）同理可知， 即可确定BE的最小值；
（3）如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，由题图可知，，且为定值，当PE最小时，最小，即最小，意味着本题只需求出PE的最小值，问题就迎刃而解；由（1）同理可知，，根据勾股定理建立方程求出FB、BP的长度即可.
