2024-2025 学年四川省德阳市天立高级中学高一下学期第一次教学质
量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法不正确的是( )
A.向量是既有大小又有方向的量 B.单位向量的模长为 1，无方向
C.零向量的模长为 0，方向任意 D.互为相反的两个向量之和等于0
2.关于函数 ( ) = sin 的图象与性质的描述正确的是( )
A. π最小正周期是 2π B.图象的对称轴为 = 2 ∈ Z
C. π+ 2 π, π单调增区间是 2 2 + 2 π D.图象的对称中心为 2 π, 0 ∈ Z
3.下列等式恒成立的是( )
A. sin( + ) = sin cos cos sin B. sin( ) = sin cos + cos sin
C. cos( + ) = cos cos sin sin D. cos( ) = cos cos sin sin
4.函数 ( ) = tan 的图象与性质的描述正确的是( )
A. 定义域是 2 + 2 ,
2 + 2 ∈ Z
B.是定义域上的增函数
C.图象的对称轴是 = 2 + ∈ Z
D.是奇函数
5.下列等式成立的是( )
A. tan15 = 1+tan30 31 tan30 B. tan120 = 2
C. 1 tan15
1+tan15 = 3 D. tan75 = 2 + 3
6.已知 cos = 35， ∈ (0, )，sin =
12
13， ∈ 2 , 2 ，则 cos( ) =( )
A. 63 B. 3365 65 C.
16 63
65 D. 65
7 3.要得到函数 ( ) = sin 4 6 的图象，只需将函数 ( ) = sin cos 3cos
2 + 2 的图象作如下变换
( )
A.先将 ( ) π 1的图象向左平移6单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的2倍而得
( )的图象
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B.先将 ( ) π 1的图象向左平移12单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的2倍而得
( )的图象
C. 1 π先将 ( )的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的2倍，再将所得的图象向左平移6个单位而得
( )的图象
D.先将 ( ) 1 π的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的2倍，再将所得的图象向左平移12个单位而得
( )的图象
8.如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练．已知点 到墙面的距离为 ，某目标
点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小(仰角 为直
线 与平面 所成角).若 = 15m， = 25m，∠ = 30°，则 tan 的最大值( )
A. 30 B. 305 10 C.
4 3
9 D.
5 3
9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的加、减运算的结果为0的是( )
A. + B. +
C. D. +
10.已知函数 ( ) = 2sin 2 + π π π3 + | | < 2 的图象的一条对称轴是 = 6，则( )
A. = π6 B. =
π
6
C. + π6 是偶函数 D. ( )值域为[ 2,2]
11.下列关于三角恒等变换正确的有( )
A. 1 3sin10 cos10 = 4
B. sin220 + cos250 + sin20 cos50 = 34
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C. cos cos = 2sin + 2 sin
2
D. tan π3 tan tan
π
4 + = tan3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点 是正方形 内一定点，记 = , = , = .试用 , , 表示 = ．
13.已知 ， 都是锐角且 cos( + ) = 1010 ，tan( ) = 2，则 2 = ．
14.函数 = 3 8 + 2 2的值域为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)小明从 地出发沿北偏西60 方向前行了 40m，到达 地，再从 地出发沿正北方向前行 40m 到达 地，
求整个运动过程中小明的位移．
(2)已知 中， = ， = ，且 = 2 2， = = 2，求 + ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2sin 2 π6 ．
(1)写出函数 ( )的最小正周期；
(2)若 ( ) = ( + ) 0 < < π2 是偶函数，求 ( )的减区间；
(3)求 ( ) π在区间 0, 2 上的值域．
17.(本小题 15 分)
π 4若 是锐角，且 cos + 3 = 5．
(1) sin + π求 3 的值；
(2)求 cos 的值；
(3) π求 tan 2 12 的值；
18.(本小题 17 分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船
在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值(单位：
m)记录表
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时刻 0: 003: 006: 009: 0012: 0015: 0018: 0021: 0024: 00
水深值5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
已知港口的水的深度随时间变化符合函数 ( ) = sin( + ) + ，( > 0, > 0, | | < π2 )，现有一条货船
的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 m，安全条例规定至少要有 2 m 的安全间隙(船底与海底的距离)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求该船一天内能够进入港口的时刻；
(3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时 0.25 m 的速度减小，若货物 4 小时可
卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长．
19.(本小题 17 分)
π
有一块地皮形状是扇形 是半径为 500m，圆心角为3，一房产开发商通过竞拍取得这块地皮的开发权，
该开发商要在这块地皮上设计建造一个平面图为矩形的大厦，为了提高地皮的利用率，初步设想如图(1)、(2)
两种设计方案，请你通过计算，给开发商提供决策依据．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.3π4
14. 3 6,4 3
15.(1)如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，由已知有 = = 40m，∠ = 30 ，
在 Rt 中，得 = sin30° = 20m， = cos30° = 20 3m，
∴ = + = 60m
在 Rt 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = 40 3m，
则 tan∠ = = 3，则∠ = 60
，
所以位移 的大小为 40 3 m，方向是北偏西30 ．
(2)
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因 = ， = ，则 = ，
又 = 2 2， = = 2，
则 是等腰直角三角形，且 = = 2，∠ = 90 ，
以 , 为邻边作平行四边形 ，且两对角线 , 交于点 ，则 + = ，
由平行四边形的性质知 = 2 ， = 12 = 1
所以在 Rt 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = 5，则 = 2 5，所以 + = 2 5．
16.(1)函数 ( )的最小正周期为 = π；
(2)因 ( ) = 2sin 2 π6 ，
则 ( ) = ( + ) = 2sin 2 + 2 π6 0 < <
π
2 ，
因 ( ) π π是偶函数，则 2 6 = 2 + π ∈ Z ，
∵ 0 < < π π2，∴ = 3，
所以 ( ) = 2sin 2 + 2 = 2cos2 ，
由 2 π ≤ 2 ≤ π + 2 π π， ∈ Z 得 π ≤ ≤ 2 + π， ∈ Z，
所以 ( )的减区间是 π, π2 + π ∈ Z ；
(3) π π当 ∈ 0, 2 ，则 2 6 ∈
π , 5π6 6 ，∴ sin 2
π 1
6 ∈ 2 , 1
所以 ( ) π在区间 0, 2 上的值域为( 1,2]．
17.(1) π 4因 是锐角，且 cos + 3 = 5 < 0，
π
所以 + 3是钝角，且 sin +
π
3 = 1 cos
2 + π3 =
3
5．
π π π π π π
(2)cos = cos + 3 3 = cos + 3 cos 3 + sin + 3 sin 3
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= 4 × 1 + 3 × 3 = 3 3 25 2 5 2 10 5．
sin π 2sin2 π 1 cos π π π π 3
(3)tan π = 2 12 = 2 12 6
1 cos +3 2 1 sin +3 1 5 1
2 12 cos π 2sin π cos π
= π = = = = ．
2 12 2 12 2 12 sin 6 sin +
π
3
π
2 cos +
π 4 2
3 5
18.(1) 7 3 7+3 2π根据表中数据得 = 2 = 2， = 2 = 5，且最小正周期 = 12 = =
π
6，
( ) = 2sin π + + 5 π π所以 6 ，又当 = 3 时取得最大值，则2 + = 2 + 2 π， ∈ Z，
π
因| | < 2，则 = 0．
π
所以函数 ( ) = 2sin 6 + 5，( ∈ [0,24]).
(2) π π 1根据题意，货船能够安全进港必需港口水深 2sin 6 + 5 ≥ 6，即 sin 6 ≥ 2
∈ [0,24] π而 ，则6 ∈ 0,4π
π π 5π
，所以6 ≤ 6 ≤ 6或 2π +
π ≤ π ≤ 2π + 5π6 6 6，
解得 1 ≤ ≤ 5 或 13 ≤ ≤ 17
所以货船能够安全进港的时刻是凌晨 1 时至 5 时和下午 13 时至 17 时期间的任意时刻进港都安全．
(3)由(2)知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留 4 小时，若货船进港后马上卸货且在港口内停
留时间要最长，则只能是凌晨 1 时或下午 13 时进港，由于货物 4 小时可卸完，根据题意 4 小时卸完货物
后的吃水深度为 4 0.25 × 4 = 3m，此时货船能安全在港的水深为 5m，
由 2sin π6 + 5 = 5
π π
，则 sin 6 = 0，而 ∈ [0,24]，则6 ∈ 0,4π
π
，所以6 = 0，π，3π，4π．
即 = 0,6,18,24，因为货船只能在凌晨 1 时或下午 13 时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货
后，货船最多只能再停留 1 小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为 5 小时．
19. π按图(1)的方案设计，连接 ，设∠ = ， ∈ 0, 3 ，
在 Rt 中有 = = 500sin ， = 500cos ，
又∠ = π3，在 Rt 中有 =
500 3
3 sin ，
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= = 500cos 500 33 sin ，
500 3
矩形 的面积 1 = = 500cos 3 sin 500sin
= 250000 sin cos 33 sin
2 = 250000 12 sin2 +
3 3
6 cos2 6 = 250000
3
3 sin 2 +
π 36 6 ，
π π π 5π π π π 3
因 ∈ 0, 23 ，则 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，所以当 2 + 6 = 2，即 = 6时， 1取得最大值为 250000 × 6 m ，
按图(2)，取弧 的中点为 ，连接 ，交 ， 分别于点 ， ，
∠ = π ∠ = ∈ 0, π则 6，设 ， 6 ，
在 Rt 中，有 = = 500sin ， = 500cos ，
在 Rt 中，有 = 3 = 500 3sin ，
所以 = = 500cos 500 3sin ，
矩形 的面积 2 = 2 = 2 × 500sin 500cos 500 3sin ，
= 250000 2sin cos 2 3sin2 = 250000 sin2 + 3cos2 3
π
= 250000 2sin 2 + 3 3
因 ∈ 0, π π π 2π π6 ，则 2 + 3 ∈ 3 , 3 ，所以当 2 + 3 =
π π
2，即 = 12时， 2取得最大值为 250000 2 3 m
2 ，
又 250000 × 3 26 > 250000 2 3 m
2 ，
按图(1)的方案设计矩形 的面积的最大值大于按图(2)的方案设计矩形 面积的最大值．
所以给开发商提供决策：选择图(1)的设计方案．
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