2024-2025学年山东省淄博实验中学创新班高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知函数满足，当时，，当时，( )
A. B.
C. D.
3.“”是“函数在上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设函数在区间上的最大值是，最小值为，则等于( )
A. B. C. D.
6.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设函数，，若对任意，恒有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. B. 的最小值为
C. 的定义域为 D. 的值域为
10.若正实数满足，则下列结论中正确的有( )
A. 的最小值为． B. 的最小值为
C. 的最大值为． D. 的最小值为．
11.对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
，
，
，若且，则，
，若且，则，
就称集合为集合的一个“偏序关系”，以下说法正确的是( )
A. 设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有个
B. 设，则集合是集合的一个“偏序关系”
C. 设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有个
D. 是实数集的一个“偏序关系”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若是函数的最小值，则实数的最大值为 ．
13.已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则的取值范围为 ．
14.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点在幂函数的图像上．
求的解析式；
若函数，是否存在实数，使得最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
16.本小题分
已知是定义在上的单调递增函数，且．
解不等式；
若对和恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
求函数图象的对称中心；
判断在区间上的单调性并证明．
18.本小题分
某企业为进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本万元，每生产千部手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为元，且生产的手机当年全部销售完．
求年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
19.本小题分
设，其中，记．
若，求的值域；
若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.【详解】设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，
解得，
所以．
函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是．
当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；
当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；
综上知，存在实数，使得有最小值为．
16.【详解】是定义在上的单调递增函数，且，
则，即．
有，解得，
故所求解集为．
在上单调递增，
当时，．
问题转化为，
即，对成立．
接下来求的取值范围．
设，
若，则，对成立；
若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，
或．
或或，即的取值范围是．
17.【详解】设函数的图象的对称中心为，为奇函数，
则，即，
整理得，
可得，解得，所以的对称中心为．
函数在上单调递增；
证明如下：任取，且，
则
因为，且，
可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
18.【详解】当时，，
当时，，
所以．
当时，，
当时，，
当时，
，
当且仅当，即时，，
因此当年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
19.【详解】当时，在直角坐标系中，分别作出的图象左图，进而可得的图象右图，
令，解得，故
由图可知：的值域为
函数，
由于，，所以，故，
当时，，
在单调递减，在单调递增，
且，故在取最大值，在取最小值
故，
当时，，在单调递增，
若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集，
故，解得，或者，解得
综上，所求的范围为．
令，解得或，
故的图象如下：
，即
当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去，
当时，，此时在上的最大值为，最小为
只需要，，解得，
当时，，此时在上的最大值为，
只需要，且且，无解，
综上可得：
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