(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷6
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.要使代数式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. C. D.
4.正整数，满足，且和是可以合并的二次根式，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，两平行线和的距离是，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，中，，，，于点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.如图，在 中，，，，则点到对角线所在直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接，若，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在菱形中，，交于点，若，，则菱形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.与最简二次根式是同类二次根式，则 ______．
12.如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ______．
13.我国古代数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图，在中，，四边形为正方形，≌，≌，，，则 ______．
14.在中，，，于点，若，则的长为______．
15.如图，在 中，平分，，，则的长为______．
16.如图，在矩形中，，分别为，的中点，则的值为______．
17.如图，在中，，，，点是边上一点，于点，于点，则线段的最小值为 ．
18.任意一个二次根式为正整数，都可以进行这样的分解：都是正整数，且，在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：例如可以分解成，或，显然是的最佳分解，此时若正整数，满足，，且，则的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
；
；
．
20.本小题分
若实数、满足等式，求的值；
已知，求的平方根．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，点为边的中点，于点，为的中点，分别延长，交于点，求证：．
22.本小题分
如图，四边形中，，过点作于点，恰好是的中点，若，，．
直接写出四边形的周长；
求四边形的面积．
23.本小题分
在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
求证：．
已知，，求的长．
24.本小题分
如图，某港口位于东西方向的海岸线上“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行海里，“中山”号每小时航行海里它们离开港口后相距海里如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
25.本小题分
如图， 中，、为对角线上的两点，且，连接，．
求证：．
连接、，求证：四边形是平行四边形．
26.本小题分
如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
求证：≌．
判断的形状，并说明理由．
作的中点，连接，若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，均为整数，是二次根式．
故选：．
形如的式子叫做二次根式，由此判断即可．
本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，
，
则
，
故选：．
利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
，，
则，
故选：．
根据题意列出方程组，解方程组求出、，进而求出、，再根据二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，根据题意可得：，再利用平角定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
于点，
的面积，
，
．
故选：．
由勾股定理求出，由三角形面积公式得到的面积，即可求出．
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由勾股定理求出的长，由三角形面积公式得到．
7.【答案】
【解析】解：、，，
，
不能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、，，
，
能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设交于点，作于点，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
解得，
点到对角线所在直线的距离为，
故选：．
设交于点，作于点，由，，，求得，，则，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线并且求出的长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形的周长，
故选：．
由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求，，，的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
，
菱形的周长，
故选：．
由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质对角线垂直是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义进行解题即可．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由数轴可知：，，
，
，
故答案为：．
先观察数轴，判断，的大小，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
13.【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理得，
，
，
≌，≌，
，，
，
又，，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，再根据全等三角形的性质得出，，得出，从而推出结果．
本题考查了勾股定理的证明，由勾股定理得出的长是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：如图，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
分两种情况：
是锐角三角形时，；
是钝角三角形时，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
由勾股定理得，再证明是等腰直角三角形，得，然后分两种情况，是锐角三角形时，；是钝角三角形时，；即可得出结论．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，．
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．
16.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，
，分别为，的中点，
是是中位线，
，
，
故答案为：．
连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的对角线相等解答．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
且，，
四边形是矩形，
，
当值最小时，的值最小，
根据垂线段最短则当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：．
根据题意可证是直角三角形，且，，可得是矩形，则，根据垂线段最短，可求的最小值，即的最小值．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，本题的关键是证明四边形是矩形．
18.【答案】或
【解析】解：，
可设，其中为正整数，
则，
，
，
，
为一个正整数的平方数，
，
，
或，
，
或．
故答案为：或．
可设，其中为正整数，由可得，由可得，代入即可求出答案．
本题考查了二次根式的乘除法，理解新定义是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式
．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
先把除法运算化为乘法运算，然后根据二次根式的除法法则运算；
先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算；
先根据绝对值的意义和完全平方公式计算，然后去括号后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：，，，
，，
解得，，
，
的立方根为；
，
，
，，
．
．
【解析】先由非负数的性质求出，，再把、的值代入，然后根据立方根的定义求解即可；
根据二次根式的被开方数为非负数可得，据此可得，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可．
本题主要考查了平方根、立方根以及绝对值与算术平方根的非负性，熟知两个非负数的和等于，则每个加数必须等于是解答的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为边的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
．
【解析】根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
22.【答案】解：在中，，
，
，
恰好是的中点，
，
四边形的周长；
解：连接．
，为的中点，
．
又，，
，．
在中，
，，，
，
．
，，
．
【解析】根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出即可推出结果；
连接，根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形即可推出结果．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
23.【答案】证明：矩形，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌
．
解：由≌，得出，
，
，
在中，
，
．
【解析】根据矩形的性质，得出，，又因为为中点，得出，利用证明≌，得出结论；
由≌，得出，因为，得出，利用勾股定理求出，则进一步可推理出答案．
本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】解：能，
理由：海里，海里，
海里，
，即，
．
，
，
答：“中山”号沿西北方向航行．
【解析】根据路程速度时间求出、的长度，由可得出，结合“惠州”号航行的方向即可求出的度数，由此即可得出“中山”号航行方向．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在与中
，
≌，
．
证明：连接交于点，连接、．
由得，≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】由“”可证≌，即可推出；
由平行四边形的判定可证四边形为平行四边形．
本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
解：是等腰三角形，理由如下：
≌，
，
又，，
，
又，
，
，
，
是等腰三角形；
解：如图，连接，
，
，
，
，
又点是的中点，
，
．
【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，可得结论；
由三角形中位线定理可求，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页
