九年级数学人教版上册第二十二章《二次函数》单元测试题
一、单选题
1．将抛物线沿x轴向右平移3个单位得到一条新抛物线，若点均在新抛物线上，则a与b的大小关系为（ ）
A． B． C． D．与m的取值有关
2．已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，
AI
①水面宽度为
②抛物线的解析式为
③最大水深为
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：
①；
②；
③抛物线另一个交点在到之间；
④当时，；
⑤一元二次方程有两个不相等的实数根
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知二次函数
（1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是 ．
（2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ．
10．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是 ．
11．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m．
12．如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则的长是 ．
三、解答题
13．已知函数．
(1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______．
(2)当______时，随的增大而减小．
(3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？
(4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？
14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
15．土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元．
(1)若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？
(2)当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？
16．已知抛物线过点和点，且，直线过点，交线段于点．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)已知的周长为，的周长为，且．
①求点的坐标；
②过点作直线，交抛物线于，两点，求面积的最小值及此时抛物线的解析式．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，点是轴上一定点．
(1)求的值；
(2)若点在抛物线上，，当时，始终存在，求的取值范围；
(3)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到新抛物线，点为平移后新抛物线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
①求证：；
②若，求点的坐标．
18．一次足球训练中，小星从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，
(2)通过计算判断球能否射进球门（其他因素忽略）．
(3)为了提高射门的命中率，小星重新设计足球运动的抛物线为，当小星在的范围踢足球时，足球运动的函数值的最大值为5（其他因素忽略），求n的值．
19．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点A，B（点在点的左侧），点为抛物线的顶点．
(1)求点和点的坐标；
(2)若在上的最大值为9，求此时△ABC的面积；
(3)已知点为抛物线上点，之间的动点（点不与点，重合），点为线段上一定点（点不与点A，B重合），过点作轴的垂线，直线分别交射线，于点，若时，在点运动的过程中，的值始终为8，求点的坐标及的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《九年级数学人教版上册第二十二章《二次函数》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A B A A D
9． 或或
10．3
11．6．
12．4
13．（1）解：∵函数，
∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为．
故答案为：向下，，．
（2）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
故答案为：．
（3）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为，
∴当时，函数能取到最大值，最大值为．
（4）解：抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线．
14．（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下：
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
当时，得，
解得：或，
当时，得，
，，，
抛物线，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
（2）解：设轴于点E，设，如图1，
设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点M作x轴的垂线，交直线于点N，
，
，
，
当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
①如图2，
，
∴，
设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
②如图3，设交于点G，作射线交于点F，
，
，
，，
，
垂直平分，
点F是的中点，
点F的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
，
，
直线的解析式为，
直线：与直线：交于点G，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
15．（1）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米），
∵该矩形作品的面积为，
∴，
整理得：，
解得或，
当时，，
当时，，
答：该作品的两边长分别是1米和3米．
（2）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米），
则，
∵，
∴，
又∵二次函数中的，
∴在内，当时，取得最大值，最大值为8000，
答：当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元．
16．（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：①抛物线过点，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，且直线为，
，即，
点在线段上，
设点的坐标为，其中，
∴，
，
点在抛物线的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
即：，
∴，解得，
∴，
②令，则，
解得：，，
，
，
∵，点到直线的距离为，
，
当时，有最小值15，此时有最小值，
此时抛物线的解析式为，
综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为．
17．（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴
解得
∴，．
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
∴
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
当M，N都在对称轴左侧时，若，则，不符合题意；
当M，N都在对称轴右侧时，若，则，符合题意，
此时，即；
当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，若，则点与对称轴的水平距离小于点与对称轴的水平距离，
即，化简后可得，即．
综上所述，的取值范围为．
（3）①证明：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度
∴平移后抛物线的解析式为即．
设点坐标为，则，
，
，
．
②解：若，由①可知，，
．
当在轴右侧时，设点横坐标为，过点作于点，则，
，
点纵坐标为．
点在抛物线上，
，
解得，（舍去），
此时点坐标为．
同理，当点在轴左侧时，由对称性可知，点坐标为．
综上所述，当时，点的坐标为或
18．（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）解：当时，，
∴球不能射进球门．
（3）解：
当时，取得最大值为，顶点为
设小星在的范围踢足球时的解析式为，
∵在的范围踢足球时，足球运动的函数值的最大值为5
则当时，
∴
解得：或（舍去）
∴
当时，
解得：或（舍去）
∴
19．（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
20．（1）∵抛物线的对称轴为直线
∴，
∴，
∴抛物线，
令可得，
解得，，
∴，；
（2）由（1）得，
∵，
∴
当时，开口向上，
∴时，y取最大值，
∴，
解得，
∴
此时顶点
∴△ABC的面积为；
当时，开口向下，
∴时，y取最大值，
此时点，△ABC的面积为；
综上，△ABC的面积为或27．
（3）设点，点，
∵，
∴设直线的解析式为
∴
解得
∴直线的解析式；
同理直线的解析式为
当时，，
∴
∴
∵点P运动的过程中的值始终为定值8，即不受t的影响，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
