九年级数学上册人教版第二十四章第4节《弧长和扇形面积》课时练习
一、单选题
1．如图，等边三角形和正方形 均内接于，若，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积与重叠部分（阴影部分）围成圆锥的高分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点，以点为圆心，为半径的圆交直线于点，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点，分别是的内接△ABC的、边上的中点，若，，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留）
10．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为4，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
11．如图，一个圆锥形烟囱帽的底面圆半径为，母线长为．若将这个烟囱帽的外侧面用油漆涂成红色，则需要涂成红色部分的面积为 ．(结果保留)
12．如图，从直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形和一个最大的圆形材料，刚好能围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的周长是 ．
13．如图，在△ABC中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ．
三、解答题
14．如图，是的直径，和是弦，且弦交直径于点，（点不与点A，重合），连接，，垂足为，．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径是6，当于点，且时，求阴影部分的面积．
15．如图，在△ABC中，，，以为直径作，与交于点，点在上，且．
(1)求劣弧的长度；
(2)当与相切时，求的长度．
16．如图，△ABC内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为3，求的长．
17．如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接．
(1)若的半径为2，，求劣弧的长；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：．
18．追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）．
如图1，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
(1)求证：．
(2)结论应用：
如图2，外接圆的圆心是BC的中点，．
①求的长；
②若，求点E到的距离．
19．如图，在扇形中，，，为的中点，为半径上一动点（不与重合），将扇形沿折叠，点落在点处．
(1)当点在上时，
求的长；
求与围成的图形的面积．
(2)若点在扇形内（不含边界），求的长的取值范围．
20．如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．
(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．
① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长；
② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第二十四章第4节《弧长和扇形面积》课时练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B A A D A
9．
10．
11．
12．
13．
14．（1）证明：如图：连接，
∵和都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵是的半径
∴与切线．
（2）解：如图：连接、，
∵于点，，
∴是的垂直平分线，
∴；
∵，
∵，
∴；
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴的面积等于的面积，
∴阴影部分的面积等于扇形的面积，
∵扇形的面积是，
∴阴影部分的面积等于．
15．（1）解：连接，如图，
是狐AE所对的圆心角，是所对的圆周角，且，
，
又，
，
，以为直径作，
劣弧的长度为；
（2）解：连接，，，作交于点，
是直径，，
，，
，
，
，
与相切时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不妨设，，
那么，
，
，
，
．
16．（1）证明：如图，连接，延长交于点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，点在上，
直线是的切线；
（2）解：如图，连接，，
由（1）可得：，
，
的长为：
．
17．（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴劣弧的长；
（2）证明：如图1中，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图3中，连接．
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）证明：连接，
∵点是△ABC的内心，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的中点，
∴，
∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长；
②∵，，
∴△BDE为等边三角形，
∴，，
由（）①可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设△ABC的内切圆半径为，
则，
即，
解得，
即点到的距离为．
19．（1）解：如图所示，连接，
，
当点落在上时，，
，
，
，
，
；
由，得，
，
所求面积为；
（2）解：由（1）知，当点落在上时，，
当点落在上时，如图所示，连接，过点作于点，于点，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，
当时，点落在扇形内（不含边界）．
20．（1）解：连接，由翻折得
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴弧长为：；
②过O作，垂足为点，则（垂径定理），
∴，
∵翻折，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，，即，
∴，
∴；
（2）如图所示，将沿着翻折得
过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D
∵
∴四边形是矩形
由折叠和 (1) 可知，
∵，
∴
∴，
中，
∴的长为．
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