专题03 因式分解
一、单选题
1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x B．（x+5）（x-2）=x2+3x-10
C．x2-8x+16=（x-4）2 D．x2＋1＝x（x＋）
6．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．以下从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
13．下列算式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．6 C． D．
15．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
17．因式分解x3－9x= ．
18．把分解因式得，则的值为 ．
19．因式分解： ．
20．因式分解： ．
21．已知，，则多项式的值为 ．
22．分解因式：x2-16= ________________．
23．分解因式：= ．
三、解答题
24．因式分解：
(1)； (2)．
25．已知整式，整式．
(1)若，求的值；
(2)若可以分解为，求的值．
26．分解因式：
(1) (2)
27. 分解因式：
(1) 4x3y+4x2y2+xy3． (2) -(m-n)2-6(n-m)-9
28．因式分解：
(1) (2)
29．因式分解：
(1) (2)
30．因式分解：
(1) (2)
31．因式分解：
32．阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则_______， _______；
(2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长．
(3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
33．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
(1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为______；
(2)因式分解：______；
(3)用配方法求代数式的最小值；
拓展应用：
(4)若实数a，b满足，则的最小值为______．
34．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：因式分解：；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
35．阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，
则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，原式＝（x+y+1）2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9；
(2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B C B B D B B
题号 11 12 13 14 15 16
答案 B C D B D A
1．C
【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可.
【详解】，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项错误；
，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项错误；
此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项正确；
此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项错误；
故本题选项为：C.
【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同.
2．A
【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解，
本题考查因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义．
【详解】解：、是分解因式，符合题意，
、是整式的乘法运算，不符合题意，
、是整式的乘法运算，不符合题意，
、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意，
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、是因式分解，符合题意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是乘法交换律，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】此题考查平方差公式分解因式．根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】因式分解是将多项式写成整式的乘积形式，左边是多项式，右边是整式的乘积。符合这个定义的便是因式分解．
【详解】解：A、 x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x 右边不是乘积形式，故错误．
B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10 右边不是乘积形式，故错误．
C. x2-8x+16=（x-4）2 符合因式分解定义，故正确．
D. x2＋1＝x（x＋）因式分解要写成整式的乘积形式，而 是分式，故错误．
综上，本题应该选择C．
【点睛】本题考查因式分解的定义，关键在于正确理解因式分解。
6．B
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【详解】解：A、，含，故此选项不合题意；
B、，不含，故此选项符合题意；
C、，含，故此选项不合题意；
D、，含，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
7．B
【分析】根据提公因式法、公式法因式分解即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，分解不彻底，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查因式分解的定义．将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：是乘法运算，不是因式分解，则选项A不符合题意；
符合因式分解的定义，则选项B符合题意；
中左右不相等，则选项C不符合题意；
中等号右边不是整式积的形式，则选项D不符合题意；
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴ ，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了利用公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．根据完全平方公式和平方差公式逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
．
故选：．
13．D
【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项错误，符合题意．
故选：D．
14．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可.
【详解】解：∵，，
∴
.
故选：B.
15．D
【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解判断并选择，解题的关键是掌握因式分解的方法．
【详解】解：，因式分解不彻底，A选项不符合题意；
，B选项因式分解错误，B选项不符合题意；
错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意；
，D选项符合题意；
故选：D．
16．A
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】A、 是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、 中含有分式，此选项不符合题意；
C、 不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．
17．x（x+3）（x－3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】解：x3－9x，
=x（x2－9），
=x（x+3）（x－3）．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
18．
【分析】根据整式的运算，将展开，再与比较，即可求解．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则即可求解．
19．
【分析】先提出公因式，之后利用完全平方公式即可分解因式．
【详解】解： ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．
【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
21．
【分析】本题考查整式、因式分解的知识，解题的关键是对多项式变形为，再把、的值，代入，即可．
【详解】∵，
∴当，时，，
故答案为：．
22．（x-4）（x+4）
【分析】利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
23．a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
25．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；
（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
26．(1)；
(2)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解一元一次不等式组，解（1）的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．解（2）的关键是熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
（1）①先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
②先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：①
；
②
．
（2）解：
由①得，
由②得，
不等式组的解集为：．
27．（1）xy(2x+y)2；（2）-(m-n-3)2
【分析】（1）先提公因式，再把其余部分根据完全平方公式分解因式；
（2）原式先提出负号，再把其余部分利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）4x3y+4x2y2+xy3=xy(4x2+4xy+y2)=xy(2x+y)2；
（2）-(m-n)2-6(n-m)-9=-[(m-n)2-6(m-n)+9]=-(m-n-3)2
【点睛】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、公式分解因式，注意分解要彻底．
28．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解—提公因式法，
（1）直接提取公因式即可，
（2）将原式转化为，然后再提取公因式即可；
解题的关键是掌握提公因式的一般步骤，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练掌握解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集；
（2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集；
（3）综合提公因式法和公式法进行因式分解；
（4）综合提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：；
（3）解：；
（4）解：．
30．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解
（1）先提公因数，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）利用提公因式进行因式分解.
【详解】（1）
；
（2）
.
31．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解以及解分式方程．熟练掌握因式分解与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
（1）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
32．(1)，1；
(2)9；
(3)三角形为等边三角形，理由见解析．
【分析】本题考查配方法的应用，解题关键是掌握完全平放式的非负性，熟练掌握配方法．
(1)(2)(3)都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为0的数只有0，从而分别得解.
【详解】（1）解：由：，得：
，
， ，
， ，
，．
故答案为：； 1．
（2）解：由得：
，
， ，
，；
已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解： 由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
33．(1)25
(2)
(3)4
(4)3
【分析】（1）利用完全平方公式即可得；
（2）利用配方法把配凑成，由此即可得；
（3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得；
（4）根据配方可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式，
，
，
，
故答案为：25．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）解：
，
，
，
，
的最小值为3．
【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键．
34．(1)
(2)
(3)这个三角形为等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键．
（1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案；
（2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案；
（3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下：
，
，
，
，，
，，
，
这个三角形为等边三角形．
35．(1)
(2)①；②1
【分析】（1）仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；
（2）①仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；②根据M=0，可得（a-b-1）2=0，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：令m+n＝A，
原式＝A2﹣6A+9＝（A﹣3）2，
再将A还原，
原式＝（m+n﹣3）2；
（2）解∶①M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1
=（a﹣b）[（a﹣b）﹣2]+1，
令a﹣b＝C，
则M＝C（C﹣2）+1
＝C2﹣2C+1
＝（C﹣1）2
＝（a﹣b﹣1）2；
②∵M＝0，
∴（a﹣b﹣1）2＝0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴a﹣b的值为1．
【点睛】本题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
