圆专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的弦，连接，，点是优弧上一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长（ ）
A．14寸 B．28寸 C．13寸 D．26寸
3．如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，，则的半径长是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在中，，以A，C为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，点C是以为直径的半上的一个动点（点C不与A，B重合），连接，点D与点C分别位于的两侧，且，，若，，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，在平面中和分别与直线相切，的直径为4，的直径为6，做直线与相切于点A且平行于直线l，直线与相切于点B且平行于直线l，若线段与直线的夹角恰为，则两圆心的距离是（ ）
A．9 B． C． D．10
7．如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则平移前点E的纵坐标的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
9．如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点；若时，的长为 （结果保留）．
10．如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为
11．如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ．
12．如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ．
13．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ．
14．如图，正六边形内接于，以点A为圆心，的长为半径作弧，得，连接，．已知的半径为2，若任意在内取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ．
三、解答题
15．如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边上的中线．
(2)在图2中作出等腰三角形，使得．
16．已知：如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与边相切于点D，连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的半径．
17．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，点P表示筒车的一个盛水桶，如图1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图2．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的变为，求此时盛水桶中有水部分弓形的面积．
18．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角．
(1)求的度数；
(2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）．
19．如图，在中，弦垂直于直径，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接且，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若的半径长为1，当时，求的长．
20．如图，是半圆O的直径，动点C在半圆上，平分与圆O交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)过点B作，交的延长线于点E，设的面积为的面积为．
①若，求；
②若，则___________（直接写出答案）
21．问题提出
（1）如图1，四边形为圆的内接四边形．已知，，则的弧长为________
问题解决
（2）如图2，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板的长为10米，宽为6米．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边，相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板材料还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的小部件．已知该直线交于点M，与圆E交于点P，Q，且点P位于点Q的左侧，求的长．
《圆专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A D C A C
1．C
【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，最后由圆周角定理即可得到答案，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，则，
，
，
，
，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到E为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长．
【详解】解：如图所示，连接．
∵弦，为的直径，
∴E为的中点，
又∵寸，
∴寸，
设寸，则寸，寸，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴寸，即直径的长为寸，
故选：D．
3．C
【分析】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连结，，由是的半径，弦，根据垂径定理得，则，而，可证明，得，由，，得，则，求得，进而根据，得出则是等边三角形，于是得到问题的答案．
【详解】解：连结，，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，即的半径长是．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据列式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的应用等知识，证明是解题的关键．连接，证明，得到，则，即可求出函数解析式，再求出自变量取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵点C是以为直径的半上的一个动点（点C不与A，B重合），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C不与A，B重合
∴，
只有选项D符合题意，
故选：D
6．C
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，则有、是矩形，先根据正切的定义求出长，然后利用勾股定理求出PQ长解题．
【详解】解：连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，
根据题意可得，，，
∴、是矩形，
∴，
∴，
又∵线段与直线的夹角恰为，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆的切线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等．过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴平移前点E的纵坐标的值为．
故选：C．
9．
【分析】该题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质三角形内角和定理，弧长的计算公式，解题的关键是掌握以上知识点．
由，， 则， 再通过圆周角定理得， 最后由弧长公式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
10．/度
【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了切线的性质，角的正切等知识．连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，即，
∴
∴．
故答案为：．
12． /度 /
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设相交于点，先证明，得到，求出，即可得到；设到的距离为，，以为底边，当最大时，面积的最大，四点共圆，当垂直且通过圆心时，的值最大，求出面积的最大值为，即可得到答案．
【详解】解：如图，设相交于点，
在中，，，
绕点沿顺时针方向旋转后得到，
，，，
，，
，
，
，
；
设到的距离为，
，以为底边，当最大时，面积的最大，
，
四点共圆，
，
为此圆直径，
当垂直且通过圆心时，的值最大，
此时，
面积的最大值为；
故答案为：，．
13．6
【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值．
【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，
设D的坐标是，P的坐标是，
∵，
∴由圆的对称性得到C的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6，
故答案为：6．
14．/0.5
【分析】本题考查几何概率，正六边形的性质和扇形面积的计算、等边三角形的性质，掌握几何概率的计算方法，扇形面积公式是解题的关键．分别求出的面积和扇形的面积，再利用几何概率公式求出概率即可．
【详解】解：连接，，作于点H，设交于点G，如图，
∵的半径为2，六边形是正六边形，
∴，，
∴，
由题意，知，分别为等边三角形，边上的高，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴这个点取在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，，相交于点，连接并延长，交于点，利用重心可知即为所求．
（2）在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知，即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接，，相交于点，连接并延长，交于点，
∵是的中点，是的中点，
∴点是的重心，
∴为的边上的中线，
即为所求作；
（2）解：如图，在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，
可知为的边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
即等腰三角形为所求．
16．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
（1）连接．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明；最后由角平分线的性质证明结论；
（2）在 中，由“”求得；然后在中，利用的正切值求得；设一份为，则，则．列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵为的切线，
，
∵，
，
，
，
，
∴是的平分线．
（2）解：在中，，
，
在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
∴的半径是．
17．(1)
(2)
【分析】（1）过点O作于点C，交于点D，由垂径定理得，设该圆的半径为，则，利用勾股定理求解即可．
（2）连接，则是等边三角形，根据求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点O作于点C，交于点D，
依题意得，，
由垂径定理得，
设该圆的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得．
该圆的半径是；
（2）解：连接，
由（1）知，，
当时，
则是等边三角形，
则，
，
即此时盛水桶中有水部分弓形AB的面积为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解直角三角形的计算，扇形的面积计算等知识，掌握垂径定理以及扇形的面积计算是解题的关键．
18．(1)53°
(2)粒子到的最远距离是
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）延长交于，根据切线长定理可得答案；
（2）如图，过点作于点，延长交于点，连接，则此时当粒子运动到点时，离的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案．
【详解】（1）解：延长交于，
由题意得：是的切线，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
如图，当粒子运动到点时，离的距离最远，
，即粒子到的最远距离是
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接、，先由证明为等边三角形，再证明，则，即可得证；
（2）延长交于，连接，由得出，结合，得出，由圆周角定理可得，，最后解直角三角形即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵的半径长为1，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)①②1
【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形：
（1）圆周角定理结合角平分线的定义，得到，即可得证；
（2）①如图，过作于，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案；②同①进行求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①过作于，如图所示：
，即，
，
，
，
，即，
设，则，
，
，
，
，
，
；
②同①可知：当时，则：，
∴，
∴点与点重合，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：1．
21．（1）；（2）
【分析】（1）设圆心为O，连接和，过点O作，则求得，和，进一步可求得，结合垂径定理得，可得，利用弧长公式即可求得答案；
（2）连接，交于点O，连接，交于点M，结合矩形的性质可知直线平分剩余木板面积．过点E作于点F，作于点H．则，，根据题意得．延长交于点G，则，那么，四边形为矩形，求得，，和．过点O作，交于点N，则，．在中，，利用勾股定理求得，证明，则即可．
【详解】解：（1）设圆心为O，连接和，过点O作，如图，
∵，四边形为圆的内接四边形．
∴，解得，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的弧长为，
故答案为：；
（2）如图，连接，交于点O，连接，交于点M，直线平分剩余木板面积．
过点E作于点F，作于点H．
则，，
∵圆E与，相切，矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形部件，
∴．
延长交于点G，则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴．
过点O作，交于点N，
∵四边形为矩形，
∴点N为的中点，
∴，
∴．
在中，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质，并做出辅助线．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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