第六章平行四边形同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小聪同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点分别为点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ）
A．50m B．40m C．20m D．10m
3．如图，在中，，，，点，在上，且，则的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
4．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．平行四边形和平行四边形
B．平行四边形和平行四边形
C．平行四边形和平行四边形
D．平行四边形和平行四边形
5．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则点的坐标为 ．
8．如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为 ．
9．如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
10．如图，在中，对角线与相交于点E，，将沿所在直线翻折，若点B的落点记为点，则的长为 ．
11．如图，在中，D、E、F分别是的中点．
（1）若，则的周长为 ．
（2）若的周长为，则的周长为 ；若的面积为，则的面积为 ．
12．如图，以等边的边为斜边在外作，，，将绕着点逆时针旋转得线段，平移线段使得点与重合，得到线段，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则线段的长为 ．
三、解答题
13．如图，在中，作的平分线交于点E．
(1)请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(2)若，，求出线段的长度．
14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(3)如图3，点是小正方形的顶点，求的度数．
15．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点
(1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积；
(2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标；
16．已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接．
(1)如图 1 ，求证：；
(2)如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形．
17．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，将对角线 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，，，求 的长；
(3)在（）的条件下，，求四边形 的面积．
18．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积．
(2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：；
(3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积．
《第六章平行四边形同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B B B A A
1．D
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可知，再结合题中即可求出的度数，进而求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
；
故选：D
2．B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线，
∴
∵，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即．其中可以是平行四边形的任何一边，必须是边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
平行四边形的面积为，
的面积为
的面积
故选：B．
4．B
【分析】主要考查了平行四边形的性质和面积的求法．解题的关键是得到对角线把平行四边形分得的两个三角形全等，面积相等．根据平行四边形的面积=底×高，可知，当两个平行四边形的底与高相等时，面积相等．得出平行四边形和平行四边形相等．
【详解】解：A、观察图形，很明显的面积小于的面积，错误．
B、由于分别是的对角线，根据“对角线把平行四边形分得的两个三角形全等”，可推出和面积相等，正确．
C、观察图形，很明显和的底与高都不相等，错误
D、观察图形，和高相等，底不相等，面积不相等，错误．
故选：B．
5．A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，设的中点为，连接、，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，为的中位线，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
7．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可知，，则、有相同的纵坐标进而可得点坐标．
【详解】解：∵、、的坐标分别是，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，则、有相同的纵坐标，
∴点的坐标为，
故答案为：．
8．15
【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：15．
9．秒或8秒
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
10．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
则在中，，
故答案为：．
11． 11 5 1
【分析】本题主要查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理，可得，即可求解；
（2）根据三角形中位线定理，可得，即可求出的周长；再证明四边形均为平行四边形，可得，可求出的面积．
【详解】解：（1）∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为；
故答案为：11
（2）∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为；
∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∴四边形均为平行四边形，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴．
故答案为：5；1
12．
【分析】连接，先证出四边形是平行四边形，根据三角形的中位线定理可得，再利用勾股定理求出，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，最后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
由平移的性质得：，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分，，，
∵点是的中点，
∴点也是的中点，
又∵点是的中点，，
∴（三角形的中位线定理），
由旋转的性质得：，，
在，，，
∴，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、二次根式的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，熟练的作图是解本题的关键；
（1）利用尺规作角平分线的方法求解即可；
（2）首先由角平分线得到，然后结合平行四边形的性质得到，推出，进而求解即可．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）∵平分，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
14．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用数形结合的思想画出边长为的正方形即可；
（3）如图3中，连接，证明是等腰直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图1中，平行四边形即为所求．
（2）如图2，满足条件的正方形如图所示．
（3）解：连接，
∵正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，由勾股定理得，
，
为直角三角形，，
又
为等腰直角三角形
．
15．(1)，平行四边形面积8；
(2)或．
【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键．
（1）过，分别作于，于，由四边形是平行四边形，得到，，，证得，推出即可得到结果；
（2）分多种情况讨论，即当点在线段上时，；当点在线段上时，，逐一计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当时，
，
；
如图，当点在线段上时，过点作于，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，可得，
解得
，
综上所述，或．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据平行四边形的性质和三角形全等的证明方法求解即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，再三角形中线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，F 分别是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理，与面积相等的钝角等腰三角形还有
综上所述，所有与面积相等的钝角等腰三角形有．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，，又，得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形对角线互相平分得到，，由勾股定理求出的长，进而得到的长，再由勾股定理求出的长，即可求出的长；
（3）先求出的长，再求出的面积，进而可由平行四边形的性质求出四边形 的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，即：．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可；
（2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明；
（3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，取中点，连接，，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点、点分别为、的中点，为中点，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵， ，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，，
如图，过点作于点，连接，
由旋转知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，，共线，
∴点的轨迹为直线，
如图，过点作直线的对称点，连接，
则，当且仅当，，依次共线时取最小值，
此时如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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