第一章三角形的证明同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点，，表示三个车间，现要建一个仓库，使它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（ ）
A．三边的中线的交点上 B．三内角平分线的交点上
C．三内高线的交点上 D．三边垂直平分线的交点上
2．已知的三边分别为，且，则的面积为（ ）
A．9 B． C． D．无法计算
3．的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ）
A．20 B．21 C．25 D．30
5．已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．①②③
6．如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ．
8．已知等腰三角形的两边分别为6和4，则这个等腰三角形的面积为 ．
9．已知，中，若 ，高 ，则的度数为
10．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ．
11．如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于 ．
12．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ．
三、解答题
13．在中，．
(1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若，求的度数．
14．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
(1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形；
(2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形．
15．小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示，具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
(1)求线段的长；
(2)求四边形的面积；
(3)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
16．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图1，一张长方形纸片，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G．
(1)求的面积；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M，求的长．
18．如图，已知中，，，，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿方向远动，且速度为，点M从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为ts．
(1)出发2s后，求的长．
(2)当点M在边上运动时，________，________；当点M在边上运动时，________，________．
(3)当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？
(4)当点在边上运动时，直接写出能使成为直角三角形的t的值．
19．已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点．
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分．
《第一章三角形的证明同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A C A D
1．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵仓库到三个车间的距离相等，
∴仓库应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性，
根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
∵，
∴是直角三角形，
∴．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形．
【详解】解：A选项：，
设，则，，
，
解得:，
∴最大角：，
不是直角三角形，
故A选项符合题意；
B选项：，
，
，
，
，
是直角三角形，
故B选项不符合题意；
C选项：，
设，则，，
，
是直角三角形，
故C选项不符合题意；
D选项：，
是直角三角形，
故D选项不符合题意．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，即：，
∴的周长．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立．
【详解】∵于M， ，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．，，．
在中，，
∴，结论②正确．
∵，
∴．
，
但无法判定，进而不能确定．结论③错误；
综上，正确的结论是①②，
故选A．
6．D
【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．由翻折得，，推出是等腰直角三角形，求得，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由翻折得，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴，
故选：D．
7．5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先作，根据角平分线的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E，
∵平分，，，
∴，
所以点D到的距离是5．
故答案为：5．
8．或
【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，在等腰中，，过点A作于D，分腰长为6和4两种情况，由三线合一定理求出，进而由勾股定理求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，在等腰中，，过点A作于D，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
综上所述，等腰的面积为或，
故答案为：或．
9．或
【分析】本题主要考查了用勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理的内容，根据题意进行分类讨论是解题的关键．根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高在内部和外部的两种情况，先用勾股定理求出边长进而求出内角，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
如图：当高在内部时，取中点E，连接，
∵，，
∴，
，
，
在中，
是等边三角形，
，
，
；
如图：当在外部时，
同理，，，
；
故答案为：或
10．6
【分析】此题考查了角平分线的性质，由角平分线的性质可知，根据线段的和差得出，熟记“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：平分，，，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
11．/110度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：中，， 是的中线，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．9
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则．
【详解】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
13．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可；
（）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：，为的平分线，
，
∴，
∴，，
点在的垂直平分线上，
，
．
14．(1)是；
(2)是可爱三角形．
【分析】本题考查了等边三角形的定义，二次根式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题中所给的可爱三角形的定义、等边三角形的定义判断即可；
（）根据可爱三角形的定义和二次根式的性质化简即可判断．
【详解】（1）解：设等边三角形的边长为，
∴，
∴等边三角形一定是可爱三角形，
故答案为：是；
（2）解：∵，，，
∴，
∴这个三角形是可爱三角形．
15．(1)5米；
(2)平方米；
(3)360元．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题；
（3）利用面积乘以10即可得解。
【详解】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（3）解：（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
16．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用即可证明；
（2）由角平分线的性质定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，，则，然后根据等腰三角形的判定可得，最后设，在中，利用勾股定理可得的长，利用三角形的面积公式计算即可得；
（2）先求出，，再利用勾股定理可得，然后根据平行线的性质、折叠的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴的长为．
18．(1)；
(2)；；；；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度.
（2）根据题意，用代数式表示即可；
（3）用分别表示出和长度，利用是等腰三角形，可得到，从而得到关于的方程，即可求出答案.
（4）用表示出长度，分两种情况讨论即可求出答案.
【详解】（1）解：当时，，.
，
，
在中，由勾股定理可得，.
故答案为：；
（2）解：当点M在边上运动时，，；
当点M在边上运动时，，；
（3）解：由题意可知设出发秒，是等腰三角形，则，，
又，
，
当为等腰三角形时，则有，
，
解得；
（4）解：在中，由勾股定理可求得，
当点在上运动时，，
过作于点，
在中，，求得.
当点与点重合时，为直角三角形，
在中，
由勾股定理可得，即，
解得（负值已舍）；
当点与点重合时，为直角三角形，
∴，
解得，
综上，能使成为直角三角形的t的值为或．
【点睛】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论.
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线．
（1）证明，即可解决问题；
（2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可；
【详解】（1）解：
，
在与中，
，
；
（2）解：过作，垂足分别为、
为的中点，，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
又，
∴ 平分．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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