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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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(
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列数字中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知是整数，则满足条件的最小正整数是( )
A. B. C. D.
4.如图，矩形的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.已知：在中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：，，；：：：：；：：：：；，其中能判断是直角三角形的条件有个．
A. B. C. D.
6.如图，在菱形中，与交于点，点为中点，连接，若菱形的周长为，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是尺．
A.
B.
C.
D.
9.如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形的边长为，其面积记作，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记作，，按照此规律继续下去，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.当 ______时，在实数范围内有意义．
12.已知、是实数，并且，则的值是______．
13.如图所示，已知，那么线段的长度是______．
14.如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则的长度为______．
15.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则的度数______度．
16.如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 ．
17.如图，一架梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面米，底端距墙面米，当梯子滑动到与地面成角时，梯子的顶端向下水平滑动了______米．
18.根据如图所示的程序，计算的值，若输入的值是时，则输出的值等于______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
解答下列各题．
计算：；
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点都在小正方形的顶点上．
求四边形的面积与周长；
是直角吗？请你说明理由．
22.本小题分
已知：如图，在中，，，．
求：的长；
．
23.本小题分
如图，点，在平行四边形的边，上，，连接，．
求证：≌；
四边形是平行四边形．
24.本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
25.本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
26.本小题分
【问题情境】
矩形的两条对角线相等；
如图，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；
请你完成问题情境中的证明．
【拓广探究】
如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、被开方数中含开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数中含有字母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、被开方数不含开的尽方的因数，是最简二次根式，故本选项正确；
D、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法、乘除法运算法则，二次根式的性质与化简逐项计算判断即可．
本题考查了二次根式的加减法，乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
是整数，
是一个平方数，
最小正整数是．
故选：．
化简根式，根据是整数求解即可得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，延长交直线于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
延长交直线于点，利用平行的性质可求出的度数，再利用矩形的性质即可求出的度数．
本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，，
，
此时不是直角三角形；
：：：：，
，
此时不是直角三角形；
：：：：，，
最大角，
此时不是直角三角形；
，，，
，
，
，
此时是直角三角形；
能判断是直角三角形的条件为，有个．
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断，根据三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：菱形的周长为，
，，
为的中点，
．
故选：．
先根据菱形的性质得，，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故选：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设水深尺，则芦苇长尺，
由勾股定理得：，
解得：，
答：水的深度是尺，
故选：．
找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理列方程可解答．
本题考查正确运用勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接交于点，如图，
四边形为正方形，
点与点关于对称，，，
，
，
此时的值最小，
在中，，
的最小值为．
故选：．
连接交于点，如图，根据正方形的性质得到点与点关于对称，则，再根据两点之间线段最短可判断此时此时的值最小，然后利用勾股定理计算出的长，从而得到的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题：根据两点之间线段最短，利用对称性把转化为一条线段解决问题．也考查了勾股定理和正方形的性质．
10.【答案】
【解析】解：正方形的面积为：为边长，等腰直角三角形的面积为：为斜边长，
，
，
，
，
当时，
故选：．
根据题意可将前面几种情况列出后，然后找出其中的规律即可求出的值．
本题考查数字规律问题，解题的关键是将的表达式求出，本题属于中等题型．
11.【答案】
【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故答案为．
根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：有意义的条件为．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
则，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质列出算式，求出、的值，计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
；
同理，；
，
．
故答案为：．
直接根据勾股定理解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
在 中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
又垂直平分，垂直平分
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质求出，再根据垂直平分线的性质得出，从而计算出的值．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质．
16.【答案】
【解析】解：把圆柱体沿展开，得到矩形，如下图所示，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线．
圆柱体的底面圆周长为，
，
，，
．
故答案为：．
把圆柱体沿展开，则的长是圆柱体底面圆周长的一半，在中利用勾股定理即可求出的长，的长就是蚂蚁在圆柱体的侧面爬行的最短路程．
本题考查了圆柱体的侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理的应用，熟练掌握圆柱体的侧面展开的特征是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，
，米，米，
米，
在中，，
米，
米，
梯子的顶端向下水平滑动了米．
故答案为．
首先利用勾股定理求出，在中求出即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用、解直角三角形、直角三角形的度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：当时，，
，
故答案为：．
由题意输入然后平方得，然后再小于，乘以，可得的值．
此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】；
，．
【解析】解：原式
；
原式
，
当时，
原式．
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值；
原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：由图可得，
，
，，，，
四边形的周长是：，
即四边形的面积是，周长是；
是直角，
理由：由知：，，，
，
是直角三角形，
是直角．
【解析】根据题意和图形，可知四边形的面积的面积的面积，然后代入数据计算即可；再根据勾股定理可以求得、、、的长，即可得到四边形的周长；
先判断是直角，然后根据勾股定理的逆定理说明即可．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】；
．
【解析】解：过点作于点，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
即，
，
在中，，
，
由勾股定理得，
；
由得，，，，
．
过点作于点，先利用勾股定理求出、的长，再根据直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半得出的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长；
根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了求三角形的边长和面积，一般的三角形的计算可以通过作高线，转化为直角三角形的问题求解．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】由平行四边形的在得，，再由证明≌即可；
由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
．
【解析】根据矩形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定定理得出即可；
由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】证明：，，
四边形是矩形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
根据勾股定理得：，
四边形是矩形，
．
【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形；
根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，根据矩形的性质可得的长．
本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．
26.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
猜想：，
证明：连接如图，
由可知：，
，，垂足分别为、，
四边形是矩形，
，
．
【解析】利用正方形的性质，证明≌求解；
根据矩形的性质，证明，再利用的结论，进而得证．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形和长方形的性质，解题关键是利用正方形的性质，证明≌从而求解．
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