云南省怒江州民族中学2023-2024学年下学期期末考试
高二数学试卷
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则 U(A∪B)等于( )
A. {2,6} B. {3,6} C. {1,3,4,5} D. {1,2,4,6}
2.已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点( )
A. 有1个 B. 有2个 C. 有无数个 D. 至多有1个
3.（2023·广东省实验中学期中）已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
5.在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机变量ξ满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0
C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)
7.已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.函数f(x)＝x2＋1－lnx的值域为()
A. (0，＋∞) B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最大值是-1
B. 若x∈R，则的最小值为2
C. 已知a>0，b>0，且，则最小值是
D. 已知x>y≥0，则的最小值为
10.下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．
11.已知函数，直线，则（ ）
A. 直线与函数的图像至少有2个公共点
B. 直线与函数的图像至多有3个公共点
C. 与函数相切的直线恰有1条
D. 若直线为函数的切线，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若数列{Sn－2a1}也为等比数列，则＝________.
13.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.
14.方程2sin＋a－1＝0在[0，π]上有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知函数的最小值为．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)英国数学家泰勒(B．Taylor，1685-1731)发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：(结果精确到小数点后4位，参考数据：，)
16.已知函数f(x)是偶函数，定义x≥0时，f(x)＝
(1)求f(－2)；
(2)当x<－3时，求f(x)的解析式；
(3)设函数f(x)在区间[－5,5]上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式．
17.我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：
(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）
(2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
(3)已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
18.如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面.
19.对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：
如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点.
（1）求抛物线的解析式和点A坐标；
（2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切.
一、单选题
1.【答案】A
【解析】由题知A∪B＝{1,3,5}∪{3,4,5}={1,3,4,5}，
所以 U(A∪B)＝{2,6}．
2.【答案】D
【解析】根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，即函数图象与直线x＝a的交点至多有1个，故选D.
3.【答案】B
【解析】依题意，所以，则，
则椭圆的上顶点到右焦点的距离为.
故选：B.
4.【答案】D
【解析】由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列．
5.【答案】A
【解析】作出下图的平行六面体，因为，分别是，的中点，所以，，，
所以.
故选：A.
6.【答案】A
【解析】根据题意，得E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2.
∵0
所以f(p1)
【解析】设关于直线的对称点为，所以，
解得:，所以：，
当三点共线时有最小值：，
所以：的最小值等于.故D项正确.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】因为f(x)＝x2＋1－lnx，
所以f′(x)＝2x－＝(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝.
在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在区间上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)min＝f ＝＋1－ln＝＋.
又当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，
所以函数的值域为.
二、多选题
9.【答案】AC
【解析】对于A，，，
当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，令，而函数在上单调递增，即，
则的最小值为，B不正确；
对于C，a>0，b>0，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此最小值是，C正确；
对于D，x>y≥0，令，则，D不正确.
故选：AC.
10.【答案】AD
【解析】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确.
对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，
故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.
对于C：直线过原点时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
直线不过原点时，设直线方程为，又直线过点，所以，
解得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程有两条，故C错误；
.对于D：经过平面内任意相异两点的直线：
当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程表示，故D正确.
故选：AD.
11.【答案】BD
【解析】因为直线与函数的图像交点个数与方程的解的个数相同，又方程可化为，所以直线与函数的图像交点个数即方程的解的个数，设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
当时， ，函数在上单调递增，
又，，当时，
当时，，由此可得函数的图像如下：
观察图像可得当或时，函数的图像与函数的图像有一个交点，当或或时，函数的图像与函数的图像有两个交点，当或时，函数的图像与函数的图像有三个交点，所以函数的图像与函数的图像至多有三个交点，
所以方程至多有三个解，即直线与函数的图像至多有3个公共点，A错，B对，设直线与函数的图像相切与点，则
且，，又，所以，，所以，解方程可得，当时，，切线方程为，当时，，切线方程为，
所以与函数相切的直线有两条，C错误，当直线为函数的切线时，则，D正确，
故选：BD.
三、填空题
12.【答案】
【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
对于等比数列{Sn－2a1}，
其前三项为－a1，a2－a1，a3＋a2－a1，
则有(－a1)(a3＋a2－a1)＝(a2－a1)2，
变形可得－(q2＋q－1)＝(q－1)2，
解得q＝或0(舍)，
则＝＝＝.
13.【答案】
【解析】由，解得,
根据二次函数的性质得出，即,
将可化为，即，,
所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆，图象如下图所示
因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示,
当直线运动到时，过，代入得：,
当直线运动到时，此时与曲线相切,
则圆心到的距离，即，
解得或（舍）,
要使得直线与曲线有公共点，的取值范围是.
14.【答案】(－1,1－]
【解析】由题意可知，y＝2sin的图象与直线y＝1－a在[0，π]上有两个不同的交点，设t＝x＋，∵x∈[0，π]，
∴t∈.
∴函数y＝2sin t的图象和直线y＝1－a在上有两个不同的交点，如图所示，
结合图象可知≤1－a<2，即－1
15.【答案】解：(1)
，
所以，即，
所以，
令，，
即，，
所以函数的单调递减区间，．
(2)由(1)知，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
16.【答案】解 (1)由题意，得f(－2)＝f(2)＝2×(3－2)＝2.
(2)当x<－3时，－x>3，所以f(－x)＝(－x－3)(a＋x)＝－(x＋3)(a＋x)，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以当x<－3时，f(x)的解析式为f(x)＝－(x＋3)(a＋x)．
(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值等于它在区间[0,5]上的最大值，当x≥0时，f(x)＝
①当a≤3时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(a)＝＝.
②当3
17.【答案】解：（1）因从题干频率分布直方图不可以看到，不同成绩层次的同学近视率的情况，故不能据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；
（2）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，因此第85百分位数一定位于 内，
由，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为；
（3）设“该地区近视学生”，“该地区优秀学生”，
由频率分布直方图可得,
,，
所以.
即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.
18.【答案】解：（1）方法一，由题意，∵，
（1）方法二，∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（2）由（1）得：，,
令，即，解得
∴.
故C，E，F，G四点共面.
19.【答案】解：（1）把代入得: ，解得，
所以抛物线C的解析式为；在中，令得，或，所以.
（2）①根据题意，抛物线解析式，
所以抛物线的焦点为，准线为，
设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图:
由抛物线焦点和准线的性质可得，，
因为，所以，因为，
所以点与点重合时的值最小，此时的值最小，
因为，，，，，
所以的最小值为.
②设直线的解析式为，
由，得，
不妨设 ，，
以为直径的圆，圆心为的中点即，，抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
