广东省广州市广雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；2、被开方数不含分母，据此逐项分析即可.
2．（2024八下·广州期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、最大的角的度数为，则不是直角三角形，故本选项符合题意，A正确；
B、，则是直角三角形，故本选项不符合题意，B错误；
C、因为，所以，则是直角三角形，故本选项不符合题意，C错误；
D、因为，所以，则是直角三角形，故本选项不符合题意，D错误；
故选：A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．利用比例的性质可求出最大的角的度数为，据此可判断A选项；通过计算可得，利用勾股定理的逆定理可判断B选项；根据，利用三角形的内角和定理计算可得：，据此可判断C选项；根据，利用平方差公式进行计算可得：，据此可判断D选项.
3．（2024八下·广州期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、，∴B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，∴C不符合题意；
D、，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的减法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2024八下·广州期中）已知点、在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点、在直线上，且，
∴．
故选：B
【分析】本题考查正比例函数的性质．根据，可得y随x的增大而减小，再根据，利用正比例函数的性质可比较出与的大小 ．
5．（2024八下·广州期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
6．（2024八下·广州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点F，
∴米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴木马上升的高度为1米，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再利用线段的和差求出BF的长，从而可得答案.
7．（2024八下·广州期中）如图平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为20，
∴2(BC+CD)=20，
∴BC+CD=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，
∴OD=OB=BD=3．
∵点E是CD的中点，点O是BD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+ (BC+CD)=5+3=8，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质求出BC+CD=10，再证出OE是△BCD的中位线，DE=CD，利用等量代换可得OE=BC，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+ (BC+CD)=5+3=8即可.
8．（2024八下·广州期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴BD=cm，
再根据平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质求出BD的长，再利用平移的性质求出BB'的长，最后利用线段的和差求出点D，之间的距离即可.
9．（2024八下·广州期中）如图，菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，若，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得cm，
∵E为的中点，
∴cm；
故答案为：D.
【分析】先利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形斜边上中线的性质可得cm.
10．（2024八下·广州期中）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点；①正确；
③.过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，③正确；
④.在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴；④正确；
⑤.在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，⑤错误，
②.没有理由证明②；②错误，
综上，①④⑤正确，
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；利用正方形的性质可得：，， 再结合，， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，据此可判断说法①；过点作于点，利用正方形的性质可得，根据等角对等边可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，同理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得：，根据等角对等边可得：AH=HF，利用等腰直角三角形的判定定理可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：CE=BC=4，利用勾股定理可求出AE，进而可得， 据此可求出，据此可判断说法③；利用角的运算可得：， 再根据AH=HF，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再根据，， 利用角平分线的定义可判断是的平分线，据此可得；据此可判断说法④；利用等腰直角三角形的性质和线段的运算可得：
，再由，根据四边形是正方形，，，利用正方形的性质和全等三角形的性质可得：，，据此可得，据此可求出DH，可判断说法⑤.
11．（2024八下·广州期中）函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．（2024八下·广州期中）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正比例函数的性质．将点，代入解析式，可列出方程，解方程可求出m的值．
13．（2024八下·广州期中）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．
【答案】70°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
【分析】先利用平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=110°，再利用邻补角的性质求出∠1的度数即可.
14．（2024八下·广州期中）如图，矩形的对角线，的交点为O，点E为边的中点，，如果，那么对角线的长为 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，对角线，的交点为，
，，．
又∵点为边的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题考查对矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用矩形的性质可得：，，．根据点为边的中点，利用等腰直角三角形的性质可得：，利用角直角三角形的性质可得，再根据矩形的两条对角线相等且平分可求出的长度．
15．（2024八下·广州期中）如图，菱形ABCD中， E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，点A的对应点F恰好落在边CD上，则 ．
【答案】35°
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠A＝∠C＝70°
∴∠BFC＝∠ABF
由翻折的性质可得：BF＝AB，∠ABE＝∠EBF＝∠ABF
∴BC＝BF
∴∠BFC＝∠ABF＝∠C＝70°
∴∠ABE＝∠ABF＝35°
故答案为：35°．
【分析】本题考查菱形的性质和翻折的性质.利用菱形的性质可得AB∥CD，AB＝BC，∠A＝∠C＝70°，由平行线的性质可得∠BFC＝∠ABF，由翻折的性质可得：BF＝AB，∠ABE＝∠EBF＝∠ABF，进而可得BC＝BF，根据等边对等角可得：∠BFC＝∠ABF＝∠C＝70°，据此可求出∠ABE.
16．（2024八下·广州期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在的延长线上截取点，使，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当共线时，取得最小值，最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．在的延长线上截取点，使，利用矩形的性质可得，再根据，，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得，当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理可求出AE，据此可求出答案．
17．（2024八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先利用根式的性质进行化简可得：原式，再合并同类二次根式可求出答案；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的除法运算法则计算可得：原式，再进行计算可得：原式，再合并同类项可求出答案．
（1）解：；
（2）解：
．
18．（2024八下·广州期中）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E，求证：四边形BOCE是矩形．
【答案】证明：∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC = 90°，
∴BOCE是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质.根据BE∥AC，EC∥BD，利用平行四边形的判定定理可证明四边形BOCE是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC = 90°，利用矩形的判定定理可证结论.
19．（2024八下·广州期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的余油量随行驶路程的增加而减少，平均耗油量为．
（1）求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？
（3）油箱中剩余汽油时，汽车行驶了多少千米？
【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
解得，，
所以，y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：当时，
．
所以，汽车行驶时，油桶中还有汽油．
（3）解：当时，，得，
故箱中还有汽油时，汽车行驶．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）每行程，耗油，即总油量减少，则油箱中的油剩下；从实际出发，x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数，又行驶中的耗油量为，不能超过油箱中的汽油量，据此可得，解不等式可求出x的取值范围，据此可求出答案；
（2）将时，代入（1）中求出的函数关系式进行计算可求出y值，据此可求出答案．
（3）分别代入y与x的函数关系式可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案．
（1）解：由题意可得，，
∴，
解得，，
所以，y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：当时，
．
所以，汽车行驶时，油桶中还有汽油．
（3）解：当时，，得，
故箱中还有汽油时，汽车行驶．
20．（2024八下·广州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求点C到边AB的距离．
【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形
（2）解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离．
（1）由图利用勾股定理可以求出，，，据此可得，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形．
（2）由（1）知是直角三角形，利用直角三角形的等面积法可求出的面积，据此可得点到的距离为：，代入数据进行计算可求出答案．
（1）解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是．
21．（2024八下·广州期中）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的任意点，于点E，于点F．
（1）求证：．
（2）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴CE=CF；
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°， 而
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得AC=CB，根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，则∠ACD=∠BCD，再根据角之间的关系可得∠EDC=∠FDC，再根据全等三角形判定定理可得△DEC≌△DFC（ASA），则CE=CF，即可求出答案.
（2）根据根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴CE=CF；
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°， 而
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
22．（2024八下·广州期中）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵将、、、的中点分别为、、、，∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于，如图：
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定，含角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明，据此可证明结论；
（2）过点作于，由含的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质可得，据此可求出BC，利用三角形的面积计算公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
（1）证明：∵将、、、的中点分别为、、、，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于，如图：
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
23．（2024八下·广州期中）已知，如图1，在平行四边形中，，，的垂直平分线分别交于点E、F．垂足为O，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当四边形为平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，），已知以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的数量关系式．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵的垂直平分线，
∴四边形为菱形；
（2）解：①如图，
当四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
∴，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为2；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上．
∵四边形为菱形，
∴．
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，即，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴，
综上所述，x与y满足的数量关系为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解一元一次方程．
（1）利用平行四边形的性质可得：，利用平行线的性质可得：，，根据中点的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，据此可证明四边形是平行四边形，再根据，利用菱形的判定定理可证明结论；
（2）①利用平行四边形的性质可得：，设点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，利用线段的运算可列出方程，解方程可求出t的值，据此可求出答案；
②由题意得：四边形是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，利用菱形的性质可得：，分三种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别画出图形，据此可列出方程，，再进行化简可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵的垂直平分线，
∴四边形为菱形；
（2）解：①如图，
当四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
∴，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为2；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上．
∵四边形为菱形，
∴．
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，即，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴，
综上所述，x与y满足的数量关系为．
24．（2024八下·广州期中）菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接．
（1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由．
（2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：如下图，延长，交于点，
∵为线段的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）（1）中结论仍成立，证明如下：如下图，延长至，使得，连接、，连接交于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质.（1）延长，交于点，利用等边三角形的性质可得，利用菱形的性质可得：，根据，利用平行线的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，由全等三角形的性质可得，，易得，利用线段的运算可得，可知平分，，可求得，据此可证明结论；
（2）延长至，使得，连接、，连接交于，根据题意条件可证明，利用全等三角形的性质可得，，利用平行线的性质可得，利用等边三角形的性质可得：，根据四边形为菱形，利用菱形的性质可得，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用角的运算可得：，利用等边三角形的判定定理可证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，据此可证明结论．
（1）解：如下图，延长，交于点，
∵为线段的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）（1）中结论仍成立，证明如下：
如下图，延长至，使得，连接、，连接交于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
25．（2024八下·广州期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作：
（1）如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长；
（2）如图2，矩形中，，，若点P、O分别为是边的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿PH折叠，得到四边形，连接，求长度的最小值．（直接写出结果）
（3）如图3，当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，在P点移动的过程中，
①当时，求的长；
②当为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段的长．
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
由折叠得：，，
在中：
，
，
在中：
，
即：，
解得：，
；
故：，；
（2）解：连接、，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
由折叠性质得，，，
∴，
∵，
当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是；
（3）解：①如图，过作交于，交于，取的中点，连接，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
设，则有，
，
在中：
即：，
解得：，
，，
设，则，
在中：
，
在中：
解得：，
，，
，
，
，
设，则，，
在中：
即：，
解得：；
故的长为；
②当时，
在的垂直平分线上，
如图，过作交于，交于，
，
由（2）同理可证：
四边形是矩形，
，，，
，
在中：，
，
，
设，则，
，
在中：，
即：，
解得：，
故；
当时，
如图，如图，过作交于，交于，
，
，
，
在中：，
，
设，则，
，
同理可得：，
解得：，
故；
当时，
与重合，不符合题意；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或时
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】 本题考查折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质.（1）设，则，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出AP，进而可求出答案.
（2）连接、，根据矩形和折叠性质可得：，，利用中点的性质可得：，，利用勾股定理可求出，，再根据三角形的三边关系可得：，当点O、P、E共线时取等号，据此可求出长度的最小值；
（3）①过作交于，交于，取的中点，连接，根据题意可得：，利用正方形的性质可得：，，据此可证明四边形是矩形，，利用矩形的性质可得：，，利用折叠的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证，利用全等三角形的性质可得，，设，则有，设，则，设，则，由勾股定理可得，，，据此可列出方程，解方程可求出y的值，同理可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出线段AP的长度.
②分三种情况讨论，当时，在的垂直平分线上，过作交于，交于，由勾股定理可得，设，则，再由，即可求解；当时，过作交于，交于，同理可求解，当时，与重合，根据题意可列出方程，，解方程可求出a的值，据此可求出线段AP的长度．
（1）解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
由折叠得：，，
在中：
，
，
在中：
，
即：，
解得：，
；
故：，；
（2）解：连接、，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
由折叠性质得，，，
∴，
∵，
当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是；
（3）解：①如图，过作交于，交于，取的中点，连接，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
设，则有，
，
在中：
即：，
解得：，
，，
设，则，
在中：
，
在中：
解得：，
，，
，
，
，
设，则，，
在中：
即：，
解得：；
故的长为；
②当时，
在的垂直平分线上，
如图，过作交于，交于，
，
由（2）同理可证：
四边形是矩形，
，，，
，
在中：，
，
，
设，则，
，
在中：，
即：，
解得：，
故；
当时，
如图，如图，过作交于，交于，
，
，
，
在中：，
，
设，则，
，
同理可得：，
解得：，
故；
当时，
与重合，不符合题意；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或时．
广东省广州市广雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·广州期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
3．（2024八下·广州期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·广州期中）已知点、在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2024八下·广州期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
6．（2024八下·广州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
7．（2024八下·广州期中）如图平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．（2024八下·广州期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
9．（2024八下·广州期中）如图，菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，若，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．cm
10．（2024八下·广州期中）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①③④ D．①④⑤
11．（2024八下·广州期中）函数 中自变量x的取值范围是 ．
12．（2024八下·广州期中）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 ．
13．（2024八下·广州期中）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．
14．（2024八下·广州期中）如图，矩形的对角线，的交点为O，点E为边的中点，，如果，那么对角线的长为 ．
15．（2024八下·广州期中）如图，菱形ABCD中， E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，点A的对应点F恰好落在边CD上，则 ．
16．（2024八下·广州期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ．
17．（2024八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）
18．（2024八下·广州期中）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E，求证：四边形BOCE是矩形．
19．（2024八下·广州期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的余油量随行驶路程的增加而减少，平均耗油量为．
（1）求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？
（3）油箱中剩余汽油时，汽车行驶了多少千米？
20．（2024八下·广州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求点C到边AB的距离．
21．（2024八下·广州期中）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的任意点，于点E，于点F．
（1）求证：．
（2）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
22．（2024八下·广州期中）如图，点是内一点，连结、，并将、、、的中点、、、依次连结，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，，，求的面积．
23．（2024八下·广州期中）已知，如图1，在平行四边形中，，，的垂直平分线分别交于点E、F．垂足为O，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当四边形为平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，），已知以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的数量关系式．
24．（2024八下·广州期中）菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接．
（1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由．
（2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
25．（2024八下·广州期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作：
（1）如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长；
（2）如图2，矩形中，，，若点P、O分别为是边的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿PH折叠，得到四边形，连接，求长度的最小值．（直接写出结果）
（3）如图3，当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，在P点移动的过程中，
①当时，求的长；
②当为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；2、被开方数不含分母，据此逐项分析即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、最大的角的度数为，则不是直角三角形，故本选项符合题意，A正确；
B、，则是直角三角形，故本选项不符合题意，B错误；
C、因为，所以，则是直角三角形，故本选项不符合题意，C错误；
D、因为，所以，则是直角三角形，故本选项不符合题意，D错误；
故选：A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．利用比例的性质可求出最大的角的度数为，据此可判断A选项；通过计算可得，利用勾股定理的逆定理可判断B选项；根据，利用三角形的内角和定理计算可得：，据此可判断C选项；根据，利用平方差公式进行计算可得：，据此可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、，∴B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，∴C不符合题意；
D、，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的减法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点、在直线上，且，
∴．
故选：B
【分析】本题考查正比例函数的性质．根据，可得y随x的增大而减小，再根据，利用正比例函数的性质可比较出与的大小 ．
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点F，
∴米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴木马上升的高度为1米，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再利用线段的和差求出BF的长，从而可得答案.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为20，
∴2(BC+CD)=20，
∴BC+CD=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，
∴OD=OB=BD=3．
∵点E是CD的中点，点O是BD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+ (BC+CD)=5+3=8，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质求出BC+CD=10，再证出OE是△BCD的中位线，DE=CD，利用等量代换可得OE=BC，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+ (BC+CD)=5+3=8即可.
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴BD=cm，
再根据平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质求出BD的长，再利用平移的性质求出BB'的长，最后利用线段的和差求出点D，之间的距离即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得cm，
∵E为的中点，
∴cm；
故答案为：D.
【分析】先利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形斜边上中线的性质可得cm.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点；①正确；
③.过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，③正确；
④.在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴；④正确；
⑤.在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，⑤错误，
②.没有理由证明②；②错误，
综上，①④⑤正确，
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；利用正方形的性质可得：，， 再结合，， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，据此可判断说法①；过点作于点，利用正方形的性质可得，根据等角对等边可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，同理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得：，根据等角对等边可得：AH=HF，利用等腰直角三角形的判定定理可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：CE=BC=4，利用勾股定理可求出AE，进而可得， 据此可求出，据此可判断说法③；利用角的运算可得：， 再根据AH=HF，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再根据，， 利用角平分线的定义可判断是的平分线，据此可得；据此可判断说法④；利用等腰直角三角形的性质和线段的运算可得：
，再由，根据四边形是正方形，，，利用正方形的性质和全等三角形的性质可得：，，据此可得，据此可求出DH，可判断说法⑤.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正比例函数的性质．将点，代入解析式，可列出方程，解方程可求出m的值．
13．【答案】70°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
【分析】先利用平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=110°，再利用邻补角的性质求出∠1的度数即可.
14．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，对角线，的交点为，
，，．
又∵点为边的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题考查对矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用矩形的性质可得：，，．根据点为边的中点，利用等腰直角三角形的性质可得：，利用角直角三角形的性质可得，再根据矩形的两条对角线相等且平分可求出的长度．
15．【答案】35°
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠A＝∠C＝70°
∴∠BFC＝∠ABF
由翻折的性质可得：BF＝AB，∠ABE＝∠EBF＝∠ABF
∴BC＝BF
∴∠BFC＝∠ABF＝∠C＝70°
∴∠ABE＝∠ABF＝35°
故答案为：35°．
【分析】本题考查菱形的性质和翻折的性质.利用菱形的性质可得AB∥CD，AB＝BC，∠A＝∠C＝70°，由平行线的性质可得∠BFC＝∠ABF，由翻折的性质可得：BF＝AB，∠ABE＝∠EBF＝∠ABF，进而可得BC＝BF，根据等边对等角可得：∠BFC＝∠ABF＝∠C＝70°，据此可求出∠ABE.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在的延长线上截取点，使，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当共线时，取得最小值，最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．在的延长线上截取点，使，利用矩形的性质可得，再根据，，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得，当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理可求出AE，据此可求出答案．
17．【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先利用根式的性质进行化简可得：原式，再合并同类二次根式可求出答案；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的除法运算法则计算可得：原式，再进行计算可得：原式，再合并同类项可求出答案．
（1）解：；
（2）解：
．
18．【答案】证明：∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC = 90°，
∴BOCE是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质.根据BE∥AC，EC∥BD，利用平行四边形的判定定理可证明四边形BOCE是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC = 90°，利用矩形的判定定理可证结论.
19．【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
解得，，
所以，y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：当时，
．
所以，汽车行驶时，油桶中还有汽油．
（3）解：当时，，得，
故箱中还有汽油时，汽车行驶．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）每行程，耗油，即总油量减少，则油箱中的油剩下；从实际出发，x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数，又行驶中的耗油量为，不能超过油箱中的汽油量，据此可得，解不等式可求出x的取值范围，据此可求出答案；
（2）将时，代入（1）中求出的函数关系式进行计算可求出y值，据此可求出答案．
（3）分别代入y与x的函数关系式可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案．
（1）解：由题意可得，，
∴，
解得，，
所以，y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：当时，
．
所以，汽车行驶时，油桶中还有汽油．
（3）解：当时，，得，
故箱中还有汽油时，汽车行驶．
20．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形
（2）解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离．
（1）由图利用勾股定理可以求出，，，据此可得，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形．
（2）由（1）知是直角三角形，利用直角三角形的等面积法可求出的面积，据此可得点到的距离为：，代入数据进行计算可求出答案．
（1）解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是．
21．【答案】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴CE=CF；
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°， 而
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得AC=CB，根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，则∠ACD=∠BCD，再根据角之间的关系可得∠EDC=∠FDC，再根据全等三角形判定定理可得△DEC≌△DFC（ASA），则CE=CF，即可求出答案.
（2）根据根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴CE=CF；
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°， 而
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
22．【答案】（1）证明：∵将、、、的中点分别为、、、，∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于，如图：
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定，含角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明，据此可证明结论；
（2）过点作于，由含的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质可得，据此可求出BC，利用三角形的面积计算公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
（1）证明：∵将、、、的中点分别为、、、，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于，如图：
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵的垂直平分线，
∴四边形为菱形；
（2）解：①如图，
当四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
∴，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为2；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上．
∵四边形为菱形，
∴．
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，即，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴，
综上所述，x与y满足的数量关系为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解一元一次方程．
（1）利用平行四边形的性质可得：，利用平行线的性质可得：，，根据中点的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，据此可证明四边形是平行四边形，再根据，利用菱形的判定定理可证明结论；
（2）①利用平行四边形的性质可得：，设点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，利用线段的运算可列出方程，解方程可求出t的值，据此可求出答案；
②由题意得：四边形是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，利用菱形的性质可得：，分三种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别画出图形，据此可列出方程，，再进行化简可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵的垂直平分线，
∴四边形为菱形；
（2）解：①如图，
当四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
∴，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为2；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上．
∵四边形为菱形，
∴．
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，即，
∴；
如图，当P点在上，Q点在上时，
∵，
∴，
∴，
综上所述，x与y满足的数量关系为．
24．【答案】（1）解：如下图，延长，交于点，
∵为线段的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）（1）中结论仍成立，证明如下：如下图，延长至，使得，连接、，连接交于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质.（1）延长，交于点，利用等边三角形的性质可得，利用菱形的性质可得：，根据，利用平行线的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，由全等三角形的性质可得，，易得，利用线段的运算可得，可知平分，，可求得，据此可证明结论；
（2）延长至，使得，连接、，连接交于，根据题意条件可证明，利用全等三角形的性质可得，，利用平行线的性质可得，利用等边三角形的性质可得：，根据四边形为菱形，利用菱形的性质可得，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用角的运算可得：，利用等边三角形的判定定理可证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，据此可证明结论．
（1）解：如下图，延长，交于点，
∵为线段的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）（1）中结论仍成立，证明如下：
如下图，延长至，使得，连接、，连接交于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
25．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
由折叠得：，，
在中：
，
，
在中：
，
即：，
解得：，
；
故：，；
（2）解：连接、，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
由折叠性质得，，，
∴，
∵，
当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是；
（3）解：①如图，过作交于，交于，取的中点，连接，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
设，则有，
，
在中：
即：，
解得：，
，，
设，则，
在中：
，
在中：
解得：，
，，
，
，
，
设，则，，
在中：
即：，
解得：；
故的长为；
②当时，
在的垂直平分线上，
如图，过作交于，交于，
，
由（2）同理可证：
四边形是矩形，
，，，
，
在中：，
，
，
设，则，
，
在中：，
即：，
解得：，
故；
当时，
如图，如图，过作交于，交于，
，
，
，
在中：，
，
设，则，
，
同理可得：，
解得：，
故；
当时，
与重合，不符合题意；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或时
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】 本题考查折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质.（1）设，则，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出AP，进而可求出答案.
（2）连接、，根据矩形和折叠性质可得：，，利用中点的性质可得：，，利用勾股定理可求出，，再根据三角形的三边关系可得：，当点O、P、E共线时取等号，据此可求出长度的最小值；
（3）①过作交于，交于，取的中点，连接，根据题意可得：，利用正方形的性质可得：，，据此可证明四边形是矩形，，利用矩形的性质可得：，，利用折叠的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证，利用全等三角形的性质可得，，设，则有，设，则，设，则，由勾股定理可得，，，据此可列出方程，解方程可求出y的值，同理可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出线段AP的长度.
②分三种情况讨论，当时，在的垂直平分线上，过作交于，交于，由勾股定理可得，设，则，再由，即可求解；当时，过作交于，交于，同理可求解，当时，与重合，根据题意可列出方程，，解方程可求出a的值，据此可求出线段AP的长度．
（1）解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
由折叠得：，，
在中：
，
，
在中：
，
即：，
解得：，
；
故：，；
（2）解：连接、，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
由折叠性质得，，，
∴，
∵，
当点O、P、E共线时取等号，长度的最小值是；
（3）解：①如图，过作交于，交于，取的中点，连接，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
设，则有，
，
在中：
即：，
解得：，
，，
设，则，
在中：
，
在中：
解得：，
，，
，
，
，
设，则，，
在中：
即：，
解得：；
故的长为；
②当时，
在的垂直平分线上，
如图，过作交于，交于，
，
由（2）同理可证：
四边形是矩形，
，，，
，
在中：，
，
，
设，则，
，
在中：，
即：，
解得：，
故；
当时，
如图，如图，过作交于，交于，
，
，
，
在中：，
，
设，则，
，
同理可得：，
解得：，
故；
当时，
与重合，不符合题意；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或时．
