广东省深圳市明德实验学校（集团）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·深圳期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
2．（2024八下·深圳期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x B．（x+5）（x-2）=x2+3x-10
C．x2-8x+16=（x-4）2 D．x2＋1＝x（x＋ ）
3．（2024八下·深圳期中）下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024八下·深圳期中）如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024八下·深圳期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
6．（2024八下·深圳期中）已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·深圳期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段的垂直平分线
8．（2024八下·深圳期中）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·深圳期中）若关于的不等式组，恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·深圳期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
11．（2024八下·深圳期中）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2024八下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是 ．
13．（2024八下·深圳期中）如图，函数函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
14．（2024八下·深圳期中）如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，将绕点A逆时针旋转得到，点D是边的中点，连接，则的最小值是 ．
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为 ．
16．（2024八下·深圳期中）计算：
（1）因式分解：；
（2）解分式方程：．
17．（2024八下·深圳期中）解不等式组并求出它的整数解．
18．（2024八下·深圳期中）先化简，并在，，0，1中选取合适的a代入求值
19．（2024八下·深圳期中）如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ；
（2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并计算出在旋转过程中，点C运动到的运动轨迹长度 ；
（3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
20．（2024八下·深圳期中）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
21．（2024八下·深圳期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
22．（2024八下·深圳期中）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．
（1）如图1，当时，求BP的长；
（2）如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x 右边不是乘积形式，故错误.
B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10 右边不是乘积形式，故错误.
C. x2-8x+16=（x-4）2 符合因式分解定义，故正确.
D. x2＋1＝x（x＋ ）因式分解要写成整式的乘积形式，而 是分式，故错误.
综上，本题应该选择C.
【分析】因式分解是将多项式写成整式的乘积形式，左边是多项式，右边是整式的乘积。符合这个定义的便是因式分解.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，则，∴A项错误，不符合题意；
B、若，则，∴B项错误，不符合题意；
C、若，则，∴C项正确，符合题意；
D、若，则，∴D项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵B
∴
∵
∴
∴将沿x轴正方向平移1个单位得到
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是，即．
故答案为：A．
【分析】先利用点坐标的定义求出OB的长，再利用线段的和差求出BE的长，可得将沿x轴正方向平移1个单位得到，再利用点平移的特征求出点C的坐标即可.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定方法（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在数轴上表示为：
，
故答案为：A．
【分析】先利用第二象限点坐标的特征可得，再利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平移的性质；线段垂直平分线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故此选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故此选项是真命题，符合题意；
C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一定相等，三角形中线将三角形分成的两部分面积相等，故此选项是假命题，不符合题意；
D、点到线段的两端点距离相等，过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故此选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
【分析】
本题考查命题真假的判定，掌握平移的性质，三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定等知识是解题关键．
对于选项A：由平移的性质：一个图形经过平移后，对应点所在的线段存在两种位置关系：平移或者在同一条直线上，而该选项只提及平形，未提及在同一直线上的情况，故该选项错误；
对于选项B：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，在三角形中，三条角平分线相交于一点，该点称为内心，内心到三角形三边的距离相等，故该选项正确；
对于选项C：三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，由于等底等高的三角形面积相等，
所以三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分，而三角形的高线是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的高，它并不一定能保证将三角形分成等底等高的两部分，也就不一定能把三角形分成面积相等的两部分，所以该选项错误；
对于选项D：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，但只知道点P到线段AB两个端点距离相等，只能确定点P在垂直平分线上，而过点P的直线有无数条，只有过点P且垂直于线段AB的直线才是线段AB的垂直平分线，所以该选项错误，
由此可判断出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∵，
∴，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：D
【分析】
本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题关键．
根据题中的尺规作法可知： AD平分∠BAC，DE⊥AB ，再根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等可得：，再结合直角三角形全等的判定方法HL可证明：，由全等三角形的性质：对应边相等可知：，由线段的和差运算可得：，再根据勾股定理：在中，，求出的长，设，则，在中，利用勾股定理：在中，，代入数据列出关于x的方程，解出x的值即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞m-1，
∴不等式组的解集为：m-1＜x＜1，
∵ 不等式组恰有两个整数解 ，
∴-2≤m-1＜-1，
解得： ；
故答案为：B.
【分析】先解出不等式组的解集为m-1＜x＜1，由不等式组恰有两个整数解 ，可得-2≤m-1＜-1，解出m的范围即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据角之间的关系可得∠ABD＝∠H，根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAD，则∠CDH＝∠H，即CD＝CH＝AC，再根据两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
12．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①8为腰，4为底，此时周长为8+8+4=20；
②8为底，4为腰，
∵4+4=8，
∴两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故它的周长是20．
故答案为：20．
【分析】分两种情况：①8为腰，4为底，②8为底，4为腰，再利用三角形的周长公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数与的图象相交于点，
关于的不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】
本题考查根据函数图象的交点求一元一次不等式组解集，掌握数形结合思想，利用图象法解题是解题关键．
根据两个函数的交点坐标点A（-1，2）和观察图像可知：函数，即ax+3=-2x时，x=-1，即利用数形结合方法可得出不等式的解集为：-1＜x＜0，即可得出答案即可．
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点M，连接MP，过点M作MN⊥BC于点N
∵是等边三角形，
∴，，
∵点M是AB的中点
∴，
∵△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ
∴AD=AM=4，，，
∴在△MAP和△DAQ中
∴
∴，
∴当重合时，最小，即最小，
∵∠ABP=60°
∴，
∴，
∴在Rt△BMN中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，判断出线段最小的情况是解题关键．
如图，取AB的中点M，连接MP，过点M作MN⊥BC于点N，根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：AB=AC，∠B=∠ACB=60°，再根据旋转的性质：旋转前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：AD=AM=4，，，则，再结合全等三角形的判定方法SAS可证得：，由全等三角形的性质：对应边相等可知：，由MN⊥BC可知：当P、N重合时，MN最小，即DQ最小，根据直角三角形两锐角互余可知：，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边=斜边的一半可知：，最后由勾股定理：在Rt△BMN中，，再结合DQ=MN，等量代换即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
，
∵DF⊥BC，AG⊥BC
∴，
，
，
∴∠B=∠BDF，∠B=∠BAG
∴DF=BF，AG=BG
，
，
，
∴，
又，
∴在△CAG和△DCF中
，
，
，，
，
，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．熟知等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键.
过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，根据垂直的定义可知：∠AGC=∠CFD=90°，再根据三角形内角和定理可知：，由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DF=BF，AG=BG，由等腰三角形的性质：等边对等角可知：，再结合角的和差运算可知：，再根据全等三角形的判定定理：AAS可证得：，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：，再根据等腰直角三角形的性质推论；三线合一可知：，最后由勾股定理可得：在中， ，由此即可得出答案．
16．【答案】（1）解：
原式
；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：2x=-2
系数化为1得：x=-1
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即该分式方程的解为．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解分式方程
【解析】【分析】本题考查了因式分解以及解分式方程．熟知因式分解与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
（1）根据因式分解的方法：提公因式法和公式法中的平方差公式，观察多项式可知：公因式为（a-b），再利用平方差公式：将再次因式分解即可得出答案；
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，、检验，根据解分式方程的步骤：先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：，
方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
17．【答案】解：
解不等式①得：4x-2≤3x+3
4x-3x≤3+2
x≤5，
解不等式②得：4-2（x-1）＜x
4-2x+2＜x
-2x-x＜-4-2
-3x＜-6
x＞2，
∴该不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为3、4、5．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法和求不等式组的整数解，熟知一元一次不等式的解法是集体关键。解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；根据解一元一次不等式的步骤先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大去中间，大大小小解不了（无解）”求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集确定符合条件的整数解，即可得出答案．
18．【答案】解：
，
，，，
，2，0，
，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法，取值时注意分母≠0是解题关键．
分式除法的计算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；异分母分式加减法计算法则：先通分，再分母不变，分子相加减；先对每个分式进行因式分解，再根据分式的加法和除法计算法则，化简题目中的式子，根据分式有意义的条件：分母≠0，然后从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的值代入化简后的式子即可求出答案．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】点的坐标；弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求．
观察平面直角坐标系可知：点的坐标为．
故答案为：．
（2）如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
故答案为：；
（3）如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
【分析】
本题考查作图旋转变换、平移变换，点的坐标，弧长公式，求旋转中心，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平面直角坐标系中图形的平移，遵循“左加右碱，上加下碱”的原则，根据题意：△ABC先向右平移2个单位，可知每个点的横坐标都要加2；再向下平移6个单位，可知每个点的纵坐标都要减去6；根据此规律可得出：点A（-3，3）点B（-2，4）点C（-1，1）的对应点的坐标：，再平面直角坐标系中描出点，顺次连接即可得出答案；
（2）根据点绕原点顺时针旋转90°，点坐标规律为：点（x，y）变为（y，-x)；根据这个规律，分别写出点A（-3，3）点B（-2，4）点C（-1，1）的对应点的坐标：；再平面直角坐标系中描出点，顺次连接即可得到；点C运动到的轨迹是一段圆弧，因为是绕原点O顺时针旋转90°，所以这段圆弧所对应的圆心角是90°；再根据勾股定理求出AC的长度，代入弧长计算公式：，代入数据即可得出答案；
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案.
（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
故答案为：；
（3）如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
20．【答案】解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得：
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
由题意得：
解得：
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
∴当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低为6550元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，准确找到等量关系是解题关键.（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据“3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等”这一关键条件，再结合“数量=总价÷单价”的关系列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据“购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的 ”这一关键条件，列出不等式组，分别求解这两个不等式，得到a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据一次函数的性质：k=-9＜0，W随a的增大而减小，所以在a的取值范围内，当时，W能取得最小值，将a=50代入费用表达式求出最低费用，同时得出此时B型芯片的购买数量，即可得出答案．
21．【答案】（1）解：
．
（2）解：
将，，代入．
（3）解：是等腰三角形，
理由如下：
，即，
，
或，
或，
是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用（1）的计算方法将原式进行因式分解，再将，代入计算即可；
（3）先将代数式变形为，求出或，即可证出是等腰三角形.
22．【答案】（1）解：时，点P落在上，等腰直角中，
∴，
∴.
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：分两种情况：
①当点P在内部如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，
∵
∴，
中，
∴
由（2）推证知
∴
又，
∴
∴
又
∴中 ，
∴
②当点P在外部
如图，延长，交于点I，过点A作，垂足为点H
∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
综上，或.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，再利用线段的和差求出BP的长即可；
（2）延长到点F，使得，连接，先利用角的运算和等量代换可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点P在内部如图 ，②当点P在外部，再分别画出图形并利用全等三角形的性质分析求解即可.
广东省深圳市明德实验学校（集团）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·深圳期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·深圳期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x B．（x+5）（x-2）=x2+3x-10
C．x2-8x+16=（x-4）2 D．x2＋1＝x（x＋ ）
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x 右边不是乘积形式，故错误.
B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10 右边不是乘积形式，故错误.
C. x2-8x+16=（x-4）2 符合因式分解定义，故正确.
D. x2＋1＝x（x＋ ）因式分解要写成整式的乘积形式，而 是分式，故错误.
综上，本题应该选择C.
【分析】因式分解是将多项式写成整式的乘积形式，左边是多项式，右边是整式的乘积。符合这个定义的便是因式分解.
3．（2024八下·深圳期中）下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，则，∴A项错误，不符合题意；
B、若，则，∴B项错误，不符合题意；
C、若，则，∴C项正确，符合题意；
D、若，则，∴D项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．（2024八下·深圳期中）如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵B
∴
∵
∴
∴将沿x轴正方向平移1个单位得到
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是，即．
故答案为：A．
【分析】先利用点坐标的定义求出OB的长，再利用线段的和差求出BE的长，可得将沿x轴正方向平移1个单位得到，再利用点平移的特征求出点C的坐标即可.
5．（2024八下·深圳期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定方法（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）分析求解即可.
6．（2024八下·深圳期中）已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在数轴上表示为：
，
故答案为：A．
【分析】先利用第二象限点坐标的特征可得，再利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．（2024八下·深圳期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段的垂直平分线
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平移的性质；线段垂直平分线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故此选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故此选项是真命题，符合题意；
C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一定相等，三角形中线将三角形分成的两部分面积相等，故此选项是假命题，不符合题意；
D、点到线段的两端点距离相等，过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故此选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
【分析】
本题考查命题真假的判定，掌握平移的性质，三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定等知识是解题关键．
对于选项A：由平移的性质：一个图形经过平移后，对应点所在的线段存在两种位置关系：平移或者在同一条直线上，而该选项只提及平形，未提及在同一直线上的情况，故该选项错误；
对于选项B：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，在三角形中，三条角平分线相交于一点，该点称为内心，内心到三角形三边的距离相等，故该选项正确；
对于选项C：三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，由于等底等高的三角形面积相等，
所以三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分，而三角形的高线是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的高，它并不一定能保证将三角形分成等底等高的两部分，也就不一定能把三角形分成面积相等的两部分，所以该选项错误；
对于选项D：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，但只知道点P到线段AB两个端点距离相等，只能确定点P在垂直平分线上，而过点P的直线有无数条，只有过点P且垂直于线段AB的直线才是线段AB的垂直平分线，所以该选项错误，
由此可判断出答案.
8．（2024八下·深圳期中）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∵，
∴，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：D
【分析】
本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题关键．
根据题中的尺规作法可知： AD平分∠BAC，DE⊥AB ，再根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等可得：，再结合直角三角形全等的判定方法HL可证明：，由全等三角形的性质：对应边相等可知：，由线段的和差运算可得：，再根据勾股定理：在中，，求出的长，设，则，在中，利用勾股定理：在中，，代入数据列出关于x的方程，解出x的值即可得出答案．
9．（2024八下·深圳期中）若关于的不等式组，恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞m-1，
∴不等式组的解集为：m-1＜x＜1，
∵ 不等式组恰有两个整数解 ，
∴-2≤m-1＜-1，
解得： ；
故答案为：B.
【分析】先解出不等式组的解集为m-1＜x＜1，由不等式组恰有两个整数解 ，可得-2≤m-1＜-1，解出m的范围即可.
10．（2024八下·深圳期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据角之间的关系可得∠ABD＝∠H，根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAD，则∠CDH＝∠H，即CD＝CH＝AC，再根据两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大，即可求出答案.
11．（2024八下·深圳期中）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
12．（2024八下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是 ．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①8为腰，4为底，此时周长为8+8+4=20；
②8为底，4为腰，
∵4+4=8，
∴两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故它的周长是20．
故答案为：20．
【分析】分两种情况：①8为腰，4为底，②8为底，4为腰，再利用三角形的周长公式求解即可。
13．（2024八下·深圳期中）如图，函数函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数与的图象相交于点，
关于的不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】
本题考查根据函数图象的交点求一元一次不等式组解集，掌握数形结合思想，利用图象法解题是解题关键．
根据两个函数的交点坐标点A（-1，2）和观察图像可知：函数，即ax+3=-2x时，x=-1，即利用数形结合方法可得出不等式的解集为：-1＜x＜0，即可得出答案即可．
14．（2024八下·深圳期中）如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，将绕点A逆时针旋转得到，点D是边的中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点M，连接MP，过点M作MN⊥BC于点N
∵是等边三角形，
∴，，
∵点M是AB的中点
∴，
∵△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ
∴AD=AM=4，，，
∴在△MAP和△DAQ中
∴
∴，
∴当重合时，最小，即最小，
∵∠ABP=60°
∴，
∴，
∴在Rt△BMN中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，判断出线段最小的情况是解题关键．
如图，取AB的中点M，连接MP，过点M作MN⊥BC于点N，根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：AB=AC，∠B=∠ACB=60°，再根据旋转的性质：旋转前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：AD=AM=4，，，则，再结合全等三角形的判定方法SAS可证得：，由全等三角形的性质：对应边相等可知：，由MN⊥BC可知：当P、N重合时，MN最小，即DQ最小，根据直角三角形两锐角互余可知：，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边=斜边的一半可知：，最后由勾股定理：在Rt△BMN中，，再结合DQ=MN，等量代换即可得出答案．
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
，
∵DF⊥BC，AG⊥BC
∴，
，
，
∴∠B=∠BDF，∠B=∠BAG
∴DF=BF，AG=BG
，
，
，
∴，
又，
∴在△CAG和△DCF中
，
，
，，
，
，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．熟知等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键.
过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，根据垂直的定义可知：∠AGC=∠CFD=90°，再根据三角形内角和定理可知：，由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DF=BF，AG=BG，由等腰三角形的性质：等边对等角可知：，再结合角的和差运算可知：，再根据全等三角形的判定定理：AAS可证得：，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：，再根据等腰直角三角形的性质推论；三线合一可知：，最后由勾股定理可得：在中， ，由此即可得出答案．
16．（2024八下·深圳期中）计算：
（1）因式分解：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：
原式
；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：2x=-2
系数化为1得：x=-1
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即该分式方程的解为．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解分式方程
【解析】【分析】本题考查了因式分解以及解分式方程．熟知因式分解与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
（1）根据因式分解的方法：提公因式法和公式法中的平方差公式，观察多项式可知：公因式为（a-b），再利用平方差公式：将再次因式分解即可得出答案；
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，、检验，根据解分式方程的步骤：先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：，
方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
17．（2024八下·深圳期中）解不等式组并求出它的整数解．
【答案】解：
解不等式①得：4x-2≤3x+3
4x-3x≤3+2
x≤5，
解不等式②得：4-2（x-1）＜x
4-2x+2＜x
-2x-x＜-4-2
-3x＜-6
x＞2，
∴该不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为3、4、5．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法和求不等式组的整数解，熟知一元一次不等式的解法是集体关键。解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；根据解一元一次不等式的步骤先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大去中间，大大小小解不了（无解）”求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集确定符合条件的整数解，即可得出答案．
18．（2024八下·深圳期中）先化简，并在，，0，1中选取合适的a代入求值
【答案】解：
，
，，，
，2，0，
，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法，取值时注意分母≠0是解题关键．
分式除法的计算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；异分母分式加减法计算法则：先通分，再分母不变，分子相加减；先对每个分式进行因式分解，再根据分式的加法和除法计算法则，化简题目中的式子，根据分式有意义的条件：分母≠0，然后从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的值代入化简后的式子即可求出答案．
19．（2024八下·深圳期中）如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ；
（2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并计算出在旋转过程中，点C运动到的运动轨迹长度 ；
（3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】点的坐标；弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求．
观察平面直角坐标系可知：点的坐标为．
故答案为：．
（2）如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
故答案为：；
（3）如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
【分析】
本题考查作图旋转变换、平移变换，点的坐标，弧长公式，求旋转中心，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平面直角坐标系中图形的平移，遵循“左加右碱，上加下碱”的原则，根据题意：△ABC先向右平移2个单位，可知每个点的横坐标都要加2；再向下平移6个单位，可知每个点的纵坐标都要减去6；根据此规律可得出：点A（-3，3）点B（-2，4）点C（-1，1）的对应点的坐标：，再平面直角坐标系中描出点，顺次连接即可得出答案；
（2）根据点绕原点顺时针旋转90°，点坐标规律为：点（x，y）变为（y，-x)；根据这个规律，分别写出点A（-3，3）点B（-2，4）点C（-1，1）的对应点的坐标：；再平面直角坐标系中描出点，顺次连接即可得到；点C运动到的轨迹是一段圆弧，因为是绕原点O顺时针旋转90°，所以这段圆弧所对应的圆心角是90°；再根据勾股定理求出AC的长度，代入弧长计算公式：，代入数据即可得出答案；
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案.
（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
故答案为：；
（3）如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
20．（2024八下·深圳期中）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
【答案】解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得：
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
由题意得：
解得：
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
∴当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低为6550元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，准确找到等量关系是解题关键.（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据“3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等”这一关键条件，再结合“数量=总价÷单价”的关系列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据“购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的 ”这一关键条件，列出不等式组，分别求解这两个不等式，得到a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据一次函数的性质：k=-9＜0，W随a的增大而减小，所以在a的取值范围内，当时，W能取得最小值，将a=50代入费用表达式求出最低费用，同时得出此时B型芯片的购买数量，即可得出答案．
21．（2024八下·深圳期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
将，，代入．
（3）解：是等腰三角形，
理由如下：
，即，
，
或，
或，
是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用（1）的计算方法将原式进行因式分解，再将，代入计算即可；
（3）先将代数式变形为，求出或，即可证出是等腰三角形.
22．（2024八下·深圳期中）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．
（1）如图1，当时，求BP的长；
（2）如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，求旋转角的度数．
【答案】（1）解：时，点P落在上，等腰直角中，
∴，
∴.
（2）解：如图，延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
中，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）解：分两种情况：
①当点P在内部如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，
∵
∴，
中，
∴
由（2）推证知
∴
又，
∴
∴
又
∴中 ，
∴
②当点P在外部
如图，延长，交于点I，过点A作，垂足为点H
∵
∴，
∵，，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
综上，或.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，再利用线段的和差求出BP的长即可；
（2）延长到点F，使得，连接，先利用角的运算和等量代换可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）分类讨论：①当点P在内部如图 ，②当点P在外部，再分别画出图形并利用全等三角形的性质分析求解即可.
