广东省惠州市惠城区中建麦绍棠学校等七校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·惠城期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式．
故选：D．
【分析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．逐个判断所给二次根式否同时满足两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2．（2024八下·惠城期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，不能构成直角三角形，A选项不符合题意．
，不能构成直角三角形，B选项不符合题意．
，不能构成直角三角形，C选项不符合题意．
，能构成直角三角形，D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
3．（2024八下·惠城期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故A符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据二次根式的乘法规则判断A，根据二次根式的加法规则判断B，根据二次根式的性质， 判断C，根据二次根式的加法规则判断D，即可得出答案。
4．（2024八下·惠城期中）若直角三角形的两直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边，
∴斜边上的中线长为，
故选：．
【分析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解．
5．（2024八下·惠城期中）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④平行四边形的对角线互相平分
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；有理数的乘方法则；真命题与假命题；逆命题
6．（2024八下·惠城期中）如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质可得，再证出是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得.
7．（2024八下·惠城期中）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】由题意可得，BD=6，AB=10，
则在直角三角形ABC中，AD=8，
则以AD为直径的半圆的面积为：.
故选：B
【分析】
先根据两个正方形的面积求得边长AB与BD的长度，然后根据勾股定理求得直角三角形中AD的长度，最后根据圆的面积公式求得半圆的面积.
8．（2024八下·惠城期中）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作，
∴，
矩形中，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解．
9．（2024八下·惠城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【分析】
设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
10．（2024八下·惠城期中）如图，在正方形中，，为对角线上与点，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①连接，交于点O，如图，
∵，
∴．
∵在正方形中，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②延长，交于M，交于点，
∵，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．故②正确；
③由②知：．
即：．故③正确；
④∵点E为上一动点，
∴根据垂线段最短，当时，最小．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴的最小值为，故④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【分析】
①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为．
11．（2024八下·惠城期中）要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为式子 有意义，
∴
解得：x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．（2024八下·惠城期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ．
【答案】7；2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
，，
解得，，
故答案为：7；2．
【分析】
根据同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式），可得y=2，2x-3=11，解含x的方程求出x即可。
13．（2024八下·惠城期中）已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是 ．
【答案】7.5
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是4，5，6，
∴它的三条中位线围成的三角形的三边长为2、2.5、3，
∴对应的周长为2+2.5+3=7.5.
故答案为：7.5.
【分析】根据中位线的性质可得新三角形的三边长，进而可得周长.
14．（2024八下·惠城期中）若的两边长，满足，则第三边的长是 ．
【答案】5或
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是，
当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是，
综上所述，第三边的长是5或，
故答案为：5或．
【分析】
先根据非负数的性质求出，再分两种情况：当a是直角边时，当a是斜边时，根据勾股定理求解即可．
15．（2024八下·惠城期中）如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，
∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出∠ACB=90°，再结合E是BC的中点，证出直线DE是线段BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得DC=BD，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18.
16．（2024八下·惠城期中）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠矩形纸片，使点B落在点D处，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：5．
【分析】
根据矩形的性质可得∠A=90°，进而得出△ADM是直角三角形，由折叠的性质可得，在中，设，则，进而利用勾股定理可求的长．
17．（2024八下·惠城期中）如图，矩形中，，，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形各边中点得到四边形…，依此类推，则四边形的周长为 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：连接、，
由题意得，，，
由勾股定理得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，，，
∴，，，
∴四边形是菱形，且菱形的周长，
同理，四边形是菱形，且菱形的周长，
……
四边形是菱形，且菱形的周长，
四边形是菱形，且菱形的周长，
故答案为：．
【分析】
连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形是菱形，且菱形的周长，总结规律，根据规律解答．
18．（2024八下·惠城期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则，进行计算即可．
19．（2024八下·惠城期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段___________，___________，___________；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1），，AC＝5．
故答案为：，2，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
20．（2024八下·惠城期中）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴.
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得BF=AF，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得AD=DC，再利用全等三角形的性质可得，，利用等量代换可得，，从而可证出四边形BCDE是平行四边形．
21．（2024八下·惠城期中）已知：，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，∴，
，
∴
（2）解：∵，，∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可；
（2）将变形为，然后把，，代入求值即可．
22．（2024八下·惠城期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上．
（1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由．
（2）求点与小岛的距离．
【答案】（1）解：过点P作于点Q，如图所示：
则，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴没有触礁危险．
（2）解：根据解析（1）可知，海里，海里，
∴（海里），
根据勾股定理得：（海里），
点与小岛的距离为海里．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里；
（2）根据MQ=MN+NQ求出MQ的值，然后在Rt△MPQ中，根据勾股定理求出结果即可．
23．（2024八下·惠城期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴，
∵，点O为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，从而可得，进而得到，结合AB=BC，可得AD=BC，结合AD∥BC，可证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
24．（2024八下·惠城期中）如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示线段的长度：______cm，
（2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）2
（3）解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，∴，
∴或，
解得或，
∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）解；由题意得，∴，
故答案为；；
（2）解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：2；
【分析】
（1）先题意得AP=t（cm），再由即可求出答案；
（2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可；
（3）假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，那么PD=QB，由此可建立方程或，解方程即．
25．（2024八下·惠城期中）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形
；
（2）解：，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
，
，
，
；
∵，
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，由同角的余角相等推出∠DAE=∠BAF，从而由ASA证明△ADE≌△ABF，由全等三角形的对应边相等得AF=AE，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）取CE的中点M，连接GM，GC，由等腰直角三角形的性质得AG=EF，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CG=GE=GF=EF，则AG=CG，从而用SSS判断出△ADG≌△CDG，由全等三角形的对应角相等得∠ADG=∠CDG=45°；由三角形的中位线定理得出GM∥CF，GM=CF，由二直线平行，同位角相等得∠DMG=∠DCB=90°，然后易得△DMG是等腰直角三角形，则DM=GM，由勾股定理即可得出结论．
广东省惠州市惠城区中建麦绍棠学校等七校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·惠城期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·惠城期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·惠城期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·惠城期中）若直角三角形的两直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·惠城期中）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④平行四边形的对角线互相平分
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024八下·惠城期中）如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
7．（2024八下·惠城期中）如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·惠城期中）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·惠城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．（2024八下·惠城期中）如图，在正方形中，，为对角线上与点，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
11．（2024八下·惠城期中）要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2024八下·惠城期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ．
13．（2024八下·惠城期中）已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是 ．
14．（2024八下·惠城期中）若的两边长，满足，则第三边的长是 ．
15．（2024八下·惠城期中）如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
16．（2024八下·惠城期中）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长为 ．
17．（2024八下·惠城期中）如图，矩形中，，，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形各边中点得到四边形…，依此类推，则四边形的周长为 ．
18．（2024八下·惠城期中）计算：．
19．（2024八下·惠城期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段___________，___________，___________；
（2）判断的形状，并说明理由．
20．（2024八下·惠城期中）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
21．（2024八下·惠城期中）已知：，，求：
（1）；
（2）．
22．（2024八下·惠城期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上．
（1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由．
（2）求点与小岛的距离．
23．（2024八下·惠城期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．（2024八下·惠城期中）如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示线段的长度：______cm，
（2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
25．（2024八下·惠城期中）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式．
故选：D．
【分析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．逐个判断所给二次根式否同时满足两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，不能构成直角三角形，A选项不符合题意．
，不能构成直角三角形，B选项不符合题意．
，不能构成直角三角形，C选项不符合题意．
，能构成直角三角形，D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故A符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据二次根式的乘法规则判断A，根据二次根式的加法规则判断B，根据二次根式的性质， 判断C，根据二次根式的加法规则判断D，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边，
∴斜边上的中线长为，
故选：．
【分析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解．
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；有理数的乘方法则；真命题与假命题；逆命题
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质可得，再证出是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】由题意可得，BD=6，AB=10，
则在直角三角形ABC中，AD=8，
则以AD为直径的半圆的面积为：.
故选：B
【分析】
先根据两个正方形的面积求得边长AB与BD的长度，然后根据勾股定理求得直角三角形中AD的长度，最后根据圆的面积公式求得半圆的面积.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作，
∴，
矩形中，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【分析】
设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①连接，交于点O，如图，
∵，
∴．
∵在正方形中，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②延长，交于M，交于点，
∵，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．故②正确；
③由②知：．
即：．故③正确；
④∵点E为上一动点，
∴根据垂线段最短，当时，最小．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴的最小值为，故④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【分析】
①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为．
11．【答案】x≥﹣5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：因为式子 有意义，
∴
解得：x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】7；2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
，，
解得，，
故答案为：7；2．
【分析】
根据同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式），可得y=2，2x-3=11，解含x的方程求出x即可。
13．【答案】7.5
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是4，5，6，
∴它的三条中位线围成的三角形的三边长为2、2.5、3，
∴对应的周长为2+2.5+3=7.5.
故答案为：7.5.
【分析】根据中位线的性质可得新三角形的三边长，进而可得周长.
14．【答案】5或
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是，
当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是，
综上所述，第三边的长是5或，
故答案为：5或．
【分析】
先根据非负数的性质求出，再分两种情况：当a是直角边时，当a是斜边时，根据勾股定理求解即可．
15．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，
∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出∠ACB=90°，再结合E是BC的中点，证出直线DE是线段BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得DC=BD，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18.
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠矩形纸片，使点B落在点D处，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：5．
【分析】
根据矩形的性质可得∠A=90°，进而得出△ADM是直角三角形，由折叠的性质可得，在中，设，则，进而利用勾股定理可求的长．
17．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：连接、，
由题意得，，，
由勾股定理得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，，，
∴，，，
∴四边形是菱形，且菱形的周长，
同理，四边形是菱形，且菱形的周长，
……
四边形是菱形，且菱形的周长，
四边形是菱形，且菱形的周长，
故答案为：．
【分析】
连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形是菱形，且菱形的周长，总结规律，根据规律解答．
18．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则，进行计算即可．
19．【答案】（1），，；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1），，AC＝5．
故答案为：，2，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
20．【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴.
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得BF=AF，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得AD=DC，再利用全等三角形的性质可得，，利用等量代换可得，，从而可证出四边形BCDE是平行四边形．
21．【答案】（1）解：∵，，∴，
，
∴
（2）解：∵，，∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可；
（2）将变形为，然后把，，代入求值即可．
22．【答案】（1）解：过点P作于点Q，如图所示：
则，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴没有触礁危险．
（2）解：根据解析（1）可知，海里，海里，
∴（海里），
根据勾股定理得：（海里），
点与小岛的距离为海里．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里；
（2）根据MQ=MN+NQ求出MQ的值，然后在Rt△MPQ中，根据勾股定理求出结果即可．
23．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴，
∵，点O为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，从而可得，进而得到，结合AB=BC，可得AD=BC，结合AD∥BC，可证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
24．【答案】（1）
（2）2
（3）解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，∴，
∴或，
解得或，
∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）解；由题意得，∴，
故答案为；；
（2）解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：2；
【分析】
（1）先题意得AP=t（cm），再由即可求出答案；
（2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可；
（3）假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，那么PD=QB，由此可建立方程或，解方程即．
25．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形
；
（2）解：，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
，
，
，
；
∵，
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，由同角的余角相等推出∠DAE=∠BAF，从而由ASA证明△ADE≌△ABF，由全等三角形的对应边相等得AF=AE，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）取CE的中点M，连接GM，GC，由等腰直角三角形的性质得AG=EF，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CG=GE=GF=EF，则AG=CG，从而用SSS判断出△ADG≌△CDG，由全等三角形的对应角相等得∠ADG=∠CDG=45°；由三角形的中位线定理得出GM∥CF，GM=CF，由二直线平行，同位角相等得∠DMG=∠DCB=90°，然后易得△DMG是等腰直角三角形，则DM=GM，由勾股定理即可得出结论．
