专题二代数式与整式-2025届中考数学一轮复习收官测试卷
【满分120分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图,圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表,一枚圆形方孔钱的外半径为r,中间方孔边长为a,则方孔钱的面积可表示( )
A. B. C. D.
2.若单项式与的和仍为单项式，则的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列结论中正确的是( )
A.单项式的系数是2,次数是4
B.单项式m的系数是1,次数是0
C.多项式是二次三项式
D.多项式的常数项是
5.已知与一个多项式的积是，则这个多项式是( )
A. B. C. D.
6.若代数式的值为2,则代数式的值为( )
A.30 B. C. D.26
7.若代数式的值与x的取值无关，则的值为( )
A. B. C. D.3
8.赵爽是我国著名的数学家,“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果.古人有记载“勾三,股四,则弦五”的定理.图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于“弦图”,.若图1中大正方形的面积为,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为( )
A. B. C. D.
9.若m为任意整数,的值总能被3整除,则整数k不能取( )
A. B.0 C.1 D.4
10.当,时,的值为( )
A.1 B. C. D.4
11.已知，，，则代数式的值是( )
A.0 B. C.2 D.3
12.多项式,多项式(其中a,b,c,d,e均为常数),下列说法中正确的个数是( )
①若多项式M与N的乘积中不含项,则；
②；
③若,则当时,.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中横线上）
13.多项式分解因式的结果为______.
14.若,,则的值为______.
15.若，则______________.
16.如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为___________（用含a，b的代数式表示）.
17.如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1.现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（6分）先化简再求值：.其中..
19.（6分）按要求解答下面各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求a的值.
20.（8分）如图,某学校的广场上有一块长为米,宽为米的长方形地块.中间有一块边长为米的正方形雕像,周围剩余部分(阴影部分)种植了绿化,请回答以下问题：
(1)绿化的面积S是多少？
(2)若a,b使代数式的值与x的取值无关,求绿化面积S的值.
21.（10分）甲、乙两人做数字游戏,甲每次选择一个正整数n,然后乙根据n的值计算代数式的值.
(1)填空：
①_________；
②_________；
③_________.
(2)求证：总能被6整除.
22.（10分）【观察思考】
观察下列各式.
…
【规律发现】
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得________(其中n为正整数)；
【规律应用】
(2)计算：；
(3)①计算：；
②计算：.
23.（12分）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
答案以及解析
1.答案：D
解析：圆的面积为,中间小正方形的面积为,
因此方孔钱的面积可表示,
故选：D.
2.答案：D
解析：∵单项式与的和仍为单项式，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：D.
3.答案：C
解析：,A选项运算错误；
,B选项运算错误；
,C选项运算正确；
,D选项运算错误.
故答案为：C.
4.答案：D
解析：A、单项式的系数是,次数是3,故此选项不符合题意；
B、单项式m的次数是1,系数是1,故此选项不符合题意；
C、多项式是三次三项式,故此选项不符合题意；
D、多项式的常数项是,故此选项符合题意.
故选：D.
5.答案：D
解析：与一个多项式的积是，
这个多项式是.
6.答案：D
解析：,
故选：D.
7.答案：A
解析：
由结果与x的取值无关，得到，，
解得：，，
∴，
故选：A.
8.答案：A
解析：如图,直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,
∵图1中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为,
∴,
∵小正方形的面积为4,
∴,
∴,
∵将这四个直角三角形拼成图,
∴图2中最大的正方形的面积为：.
故选：A.
9.答案：B
解析：
,
∵的值总能被3整除,
∴总能被3整数,
∴整数k为,1,4均满足条件,当时,,不能被3整除,
故选：B.
10.答案：C
解析：
,
,
当,时,
,,,
原式,
故选；C.
11.答案：D
解析：，，，
，，，
.
故选：D.
12.答案：D
解析：
,
多项式M与N的乘积中不含项,
,
解得,说法①正确；
当时,,即
当时,,
则,说法②正确；
若,则当时,,
当时,,
∴,
等式两边同时除以x得,,即,
∴,即,
∵,
∴,说法③正确；
故选：D.
13.答案：
解析：原式
,
故答案为：.
14.答案：
解析：∵,,
∴,
∴
,
,
,
,
,
故答案为：.
15.答案：2
解析：，
，
故答案为：2.
16.答案：
解析：这个舞台的面积为，
故答案为：.
17.答案：10
解析：设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒
这些礼盒的面积为，
阴影部分的面积为：，
留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
正方形的边长为.
故答案为：10.
18.答案：；
解析：
,
把,代入得：原式.
19.答案：（1）
（2）2
解析：（1）因为，所以，
所以.
（2）由题意知，，
因为，所以，
即，解得，
所以a的值为2.
20.答案：(1)(平方米)
(2)
解析：(1)
(平方米)；
(2)原式
,
代数式的值与的取值无关,
,,
,
(平方米),
绿化面积S值为.
21.答案：(1)6,24,120
(2)详见解析
解析：(1)①；
②；
③.
故答案为：6,24,120.
(2)证明：,
是正整数,且,n,是三个连续整数,
其中至少存在一个偶数,能被2整除,一个能被3整除的数,
能被6整除.
即总能被6整除.
22.答案：(1)
(2)
(3)①；②
解析：(1)；
故答案为：；
(2)；
(3)①由可得：
,
∴；
②由可得：
原式
.
23.答案：分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
解析：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
每行铲的路径长为，
每列有k个籽，呈交错规律排列，
相当于有行，
铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
每列铲的路径长为，
每行有n个籽，呈交错规律排列，
相当于有列，
铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
，
当时，
，
，
方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.
