第三节 图形的对称、平移与旋转
A 级 基础巩固
1.冀八上P110，练习T1改编 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是 （ ）
2.新考法2024·石家庄裕华区模拟 如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 （ ）
A.点A
B.点B
C.线段AB的中点
D.无法确定
3.冀七上P87，习题T2改编 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 （ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
4.人八上P65，T4改编 如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6 cm，则P1P2的长为（ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm
5.冀八上P136，T4改编 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为cm2，FH=2HD，则折痕EF的长为（ ）
A. cm B. 2 cm
C. cm D. 4 cm
6.冀七下P57，T2改编 如图，在三角形ABC中，BC=8 cm.将三角形ABC沿BC所在直线向右平移，所得图形为三角形DEF，若要使AD=3CE成立，则平移的距离是
_________ cm.
7.重点冀八上P136，T2改编 如图，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE=AB=12，点A关于射线BN的对称点为D，连接AC，BD，CD，DE．
（1）求证：∠BAC=∠BDC；
（2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值．
B 级 能力过关
8.2024·秦皇岛山海关区一模 如图，在正六边形P1P2P3P4P5P6中，连接P1P5和P3P5，若要使得到的图形不是轴对称图形，那么可以连接下列选项中的线段 （ ）
A.P1P3 B.P2P5 C.P1P4 D.P4P6
9.易错2024·唐山丰南区二模 如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH平分∠BEF；②EG=HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH=90°．其中正确的结论有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.难点2024·石家庄新华区模拟 如图，在ABCD中，已知∠B=30°，AB= ，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．当BC长为多少时，△B′AD是直角三角形？
对于其答案，甲答：BC=2；乙答：BC=3；丙答：BC=6．则下列结论正确的是（ ）
A.甲、丙答案合在一起才完整
B.甲、乙答案合在一起才完整
C.甲、乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起也不完整
11.高频考点2024·石家庄裕华区模拟 将两个等腰直角三角形纸片△OAB和△OCD放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（-5，0），B（0，5），OC=OD=4，∠COD=90°，并将△OCD绕点O顺时针旋转．
（1）当旋转至如图1的位置时，∠AOC=30°，求此时点C的坐标；
（2）如图2，连接AC，当△OCD旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，
①求证：△AOC≌△BOD；
②求AC的长；
（3）当旋转到使得∠OBC的度数最大时，求此时△OAD的面积（直接写出结果即可）．
C 级 中考新考法
12.抽象能力2024·邯郸模拟 如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形ABCDEFGH，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形JKMN，放在正八边形内部，MN与BA重合，L为EF的中点，连接LK．
（1）图1中的正方形纸片的边长为____；
（2）将正方形JKMN绕点A顺时针旋转________度，JN与HA重合，此时LK长为_______.
第三节 图形的对称、平移与旋转
A 级 基础巩固
1.D 2.C 3.C
4.A 提示：∵点P关于OA的对称点是P1，∴P1M=PM．∵点P关于OB的对称点是P2，∴PN=P2N．
∵△PMN的周长为6 cm，P1M=PM，PN=P2N，∴P1P2=P1M+MN+P2N=PM+PN+MN=6 cm.
5.D
6.6或12 提示：由平移的性质可知，AD=BE，当点E在BC上时，此时AD=BE=BC-CE，∵AD=3CE，BC=8 cm，∴3CE=8-CE，∴CE=2 cm，
∴AD=6 cm，即平移的距离为6 cm；当点E在BC的延长线上时，此时AD=BE =BC +CE，∵AD=3CE，BC=8 cm，∴3CE=8+CE，∴CE=4 cm，
∴AD=12 cm，即平移的距离为12 cm.
综上可知，平移的距离为6cm或12cm.
7.解：（1）证明：如图，连接AD，
∵点A关于射线BN的对称点为D，∴BN垂直平分AD，∴BA =BD，CA=CD，在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC（SSS），∴∠BAC=∠BDC；
（2）如图，连接PA.∵△BAC≌△BDC，∴∠DBN=∠ABN=60°，∴∠ABD=120°，∵BE=BA，BA=BD，∴BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠ABD=∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠BDE=60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE=BE=12，
∵BN垂直平分AD，∴PA=PD，∴PE+PD=PE+PA，∵PE+PA≥AE（当且仅当P，A，E三点共线时取等号），
∴点P运动到点B时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36．
B 级 能力过关
8.C
9.D 提示：∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠GEF=∠AEF，
∵HE⊥GE，∴∠GEH=90°，∴∠GEF+∠HEF=90°，
∴∠AEG+∠BEH=90°，
∴∠BEH=∠FEH，
∴EH平分∠BEF，故①正确，∵平移EH恰好到GF，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG∥FH，EG=HF，故②正确；∵EG∥FH，∴∠GEF=∠EFH，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠DFE，
∵∠GEF=∠AEF，
∴∠EFH=∠EFD，
∴FH平分∠EFD，故③正确；∵四边形EGFH是平行四边形，∠GEH=90°，∴四边形EGFH是矩形，
∴∠GFH=90°，故④正确，
∴正确的结论有4个.
10.D
11.解：（1）在题图1中，过点C作CE⊥OA于点E．
∵∠COE=30°，
∴EC= OC=2，∴OE=
∴C（-2 ，2）；
（2）①证明：∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOD，∵OA =OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS）；
②如图，过点O作OF⊥BD于点F．∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD，
在Rt△COD中，CD=OC=4，
∵OF⊥CD，OC=OD，∴CF=DF=CD=2，∴OF=CD=2，
∴BF=
∴BD=BF+DF=+2∴AC=BD=+2；
（3）S△OAD=6．
C 级 中考新考法
12.（1）4+2（2）45
提示：（1）设正方形JKMN的中心为O，由题意得OA=OB=2，∴正方形JKMN的边长MN=
∴大正方形的边长为2 +2+2=4+2；
（2）∵∠HAB==135°，
∠JAB=90°，∴∠HAJ=135°-90°=45°，∴将正方形JKMN绕点A顺时针旋转45°，JN与HA重合；如图，连接KF，∴∠KHG=45°，∠G=135°，∴∠KHG+∠G=180°，∴HK∥GF，
又∵HK=AH=GF，∴四边形KHGF是平行四边形，又∵HG=GF，∴四边形KHGF是菱形，∴KF=GF，设正方形JKMN的中心为O，由题意得OA=OM=2，
∴正方形JKMN的边长为2 ，
∴KF =GF =FE=2，∵∠KFG=∠KHG=45°，∠GFE=135°，∴∠KFL=∠GFE-∠KFG=135°-45°=90°，
∵L为EF的中点，∴FL=EF=∴LK=第四节 图形的相似及位似
A 级 基础巩固
1.人九下P25，T2高仿 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是 （ ）
2.冀九上P67，练习T1变式 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是 （ ）
A. B.
C. D.
3.人九下P43，T10变式 如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A处，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李眼睛与地面的距离CA=1.6 m，OA=2.4 m，OB=6 m，则树高为（ ）
A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m
4.人九下P43，T12变式 如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D′E′CB，若DE∥BC，四边形D′E′CB各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（ ）
5.新考法人九下P57，T7变式 凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3∶2，则物体被缩小到原来的 （ ）
A. B. C. D.
6.新考法人九下P51，T3变式 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为________.
B 级 能力过关
7.2024·张家口万全区一模 如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为 （ ）A.点M B.点N C.点P D.点Q
8.2024·衡水一模 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别延长BD，CD到点E，F，连接EF．若EF∥BC，且△DEF与△DAO的相似比为，则以点D为位似中心，△DEF和它的位似三角形的位似比为 （ ）
A. B. C. D.
9.2024·石家庄新华区一模 如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，已知直尺宽为3，则△ABC中BC边上的高为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
10.2024·张家口二模 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D是AB边的中点，分别过点A，B作直线 l1，l2，l1∥l2，过点D作直线EF，分别交 l1，l2于点E，F，则 l1与 l2之间的距离最大为________；当以A，D，E为顶点的三角 l1形与△ABC相似时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC的相似比k的值为_______.
11.重点2024·海南 正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），∠1 =∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
（1）如图1，求证：△ABE≌△EGF；
（2）如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当=m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN，HE，当MN∥HE时，若AB=6，求BE的长．
C 级 中考新考法
12.推理能力2024·武汉 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是_________.
第四节 图形的相似及位似
A 级 基础巩固
1.A 2.C 3.A 4.C
5.D 提示：由题意得OB=CG，AH⊥HO，BO⊥HO，∴∠AHO =∠BOH=90°，∵∠AF1H=∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴ ，
∴BO= AH，∴CG= AH，
2∴物体被缩小到原来的.
6.（3，2）提示：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
而BE=EF=6，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
B 级 能力过关
7.D 8.D
9.D 提示：在题图上过A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，
∵点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，
∴BC=16 -8 =8，DE=14.5 -10.5 =4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，∵直尺宽为3，
∴FH=3，
∴∴AH=6，
∴△ABC中BC边上的高为6.
10. 或
提示：过点A作AG⊥l2于点G，如图1所示，∴AG≤AB，当AB⊥l2，即点G与点B重合时，l1与 l2之间的距离最大，为AB的长，
∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB=
∴l1与 l2之间的距离最大为；
当∠EAD=90°时，△EDA∽△ABC，如图2所示，∵点D是AB边的中
点，∴AD=AB=，∴相似比
k=；当∠AED=90°时，△ADE∽△ABC，如图3所示，相似比k=
当∠ADE′=90°时，△AE′D∽△ABC，
相似比k=
综上所述，k的值为
11.解：（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，∵FG⊥BC，∴∠G=90°，
∵由∠B=∠G，又∵∠1=∠2，AE=EF，∴△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）①证明：在题图2上连接BP．
∵∠AEB+∠2=∠AEB+∠1=90°，
∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∵EM⊥AF，∴∠APE=90°，∠AEP=∠FEP=45°，∵∠ABE=90°，∠APE=90°，∴A，B，E，P四点共圆，∴∠ABP=∠AEP=45°，∴∠CBP=45°=∠ABP，∴点P在∠ABC的平分线上；
②=m+1．理由如下：
由①得点P在∠ABC的平分线上，即点P在正方形的对角线上，在题图2上连接BD.
在正方形ABCD中，AB∥HD，
AP AB∴△ABP∽△HDP，∴
∵ =m，∴HC=mHD，
∴DC=DH+HC=（m+1）HD，
∴=m+1；
③如图，作HN⊥AE于点N，连接MN，HE，PD.由①得点P在正方形的对角线上，∴∠PDH=45°，易知M，D，H，P四点共圆，∴∠PMH=∠PDH=45°，∵∠AEP=∠NEM=45°，∴∠EMH=∠NEM=45°，∴MH∥EN，∵MN∥HE，∴四边形MNEH是平行四边形，设平行四边形MNEH的对角线的交点为Q，∵△AEF是等腰直角三角形，∴△PHQ和△PHM都是等腰直角三角形，设PM=PH=a，则MQ=2a，ME=2MQ=4a，∵PM =PH，PA =PE，∴AH=ME=4a，∴AP=3a，则AE=3 a，
∴BE=
∵∠APM=∠ADH，∠PAM=∠DAH，∴△APM∽△ADH，
∴
∴DH=AD=2，
∴AH=
∵AH=4a，∴4a=2，
∴a= ，∴BE==3．
C 级 中考新考法
12. 提示：如图，过A作AG∥BP交FE的延长线于点G，
∵AG∥BP，∴∠GAE=∠PBE，
∠AGE=∠BPE，∴△AGE∽△BPE，
∴
设AG=1，则BP=k，
∵∠NMP=45°，∴∠AMG=45°，AM=AG=1，∵DM=AN=BP=k，∴MN=k-1，∵S1=AD2=AM2+MD2=k2+1，
∵S2=MN2=（k-1）2，第七章综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
题 号 一 二 三 总分
得 分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1.图中所有的小正方形都全等，拿走图中①②③④的某一个，使剩下的6个小正方形组成的图形是轴对称图形，这个小正方形是 （ ）
A.① B.②
C.③ D.④
2.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则从正面，左面，上面看到的形状图没有发生变化的是 （ ）
A.正面 B.左面和上面
C.正面和上面 D.正面和左面
3.如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA，OB，OA=4，OB=6，EF为过点O的一条直线，点E，F分别在AD，BC上，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A. 24
B. 16
C. 18
D. 12
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
5.如图，在等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°，E是三角形内一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，连接BF，AE．若∠OBF=20°，则∠EAB的度数为 （ ）
A. 45° B. 15° C. 20° D. 25°
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（-1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，-3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A的坐标为 （ ）
A.（-3，-2） B.
C. D.
7.如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB为 （ ）
A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 11 cm
8.如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E，若BD=，DE=2，EC=，则AC的长为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在矩形ABCD中，边AB，DC上分别有两个动点E，F，连接EF，ED，BF，若EF∥BC，AB=6，AD=4，则四边形BFDE的周长的最小值是 （ ）
A. 23 B. 16 C. 22 D. 15
10.一种液面微变监视器的基本原理图如图所示，光束发射器从点P处始终以一定角度α向被监视的液面发射一束细光，光束在液面 l1的O1处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点S1，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至 l2时，入射点就沿着入射光线的
方向平移至O处，反射光线也跟着向左平移至S2处，O1S1交 l2于点Q，在O1处的法线交 l2于点N，O2处的法线为O2M．若S1S2=5.2 cm，α=45°，则液面从 l1上升至l2的高度为 （ ）
A. 5.2 cm B. 2.6 cm
C.cm D.cm
11.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将△DAE沿DE翻折得△DFE，点A的对应点是点F，直线AF与DE交于点H，与∠CDF的平分线交于点G，连接BG，下列说法：
①DH=GH；②∠AGB=45°；③若连接CG，则CG⊥AG；④若正方形边长为2，E为AB的中点，则HG=．其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
12.2024·秦皇岛山海关区一模 如图，在等边三角形ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形；
淇淇：当AM=2时，AN=7；
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．下列说法正确的是（ ）
A.只有嘉嘉正确
B.嘉嘉和淇淇正确
C.淇淇和珍珍正确
D.三人都正确
二、填空题（本大题共3个小题，每空3分，共12分）
13.如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则x-2y=_______．
14.如图，在ABCD中，AD=5，E是BC上的一点，且，过点E作EF∥CD，交BD于点F，射线AF交CD于点N，交BC的延长线于点M，则=________.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（-5，2），N（-1，2），已知点M在反比例函数y=的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1）．
（1）k的值为_______；
（2）若在线段M′N′上总有在反比例函数y=图象上的点，则n的最大值为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共60分）
16.（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AC于点D，E为BC边上一点，AE，BD交于点F，EG∥BD．
（1）求证：AB=AG；
（2）当∠BAE=30°，BE=2时，在EG上有一动点P，求AP+BP的最小值．
17.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC，点E，F分别在AD，BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A，C重合，点B落在点G的位置．
（1）求证：△CED≌△CFG；
（2）若∠BCD=130°，求∠AEF的度数．
18.（12分）数学课上，小明将一张等腰三角形的纸片沿底边上的高剪成两个直角三角形，如图1，由等腰三角形的轴对称性可知，△ABC≌△DEF，∠ACB=∠DFE=90°，再用这两个三角形的直角边AC，DF按照图2所示的方式重合，拼成一个四边形ABCE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若这张等腰三角形纸片的腰长为13，底边长为10，求图2中四边形ABCE的对角线BE的长．
19.（13分）在△ABC中，∠ACB=45°，点D为射线BC上一动点（与点B，C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图1，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果AB＞AC，如图2，且点D在线段BC上运,（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，若AC=，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
20.（15分）如图1，在菱形ABCD中，AB= cm，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H，且CH=OC，点E为BC的中点，过点E作EF⊥BC交BD于点F．
（1）求证：△DOC≌△DHC；
（2）如图2，将△BEF沿BD方向以每秒1个单位长度的速度平移到△B′E′F′，当点F′与点D重合后，如图3，立即绕点D以每秒3°的速度逆时针方向旋转120°停止运动．
①线段EF从平移开始，到绕点D旋转结束，求边EF扫过的面积；
②求在旋转过程中，B′C的最大值与最小值的差；
③若点M在CD上，且DM=cm，
求点M在△B′E′F′内部（包括边界）时的时长.
（第 20 题图）
第七章综合达标检测卷
1.C 2.B 3.D
4.B 提示：A．由作法知，AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知，DE是线段BC的垂直平分线，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；C．由作法知，DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴△ABE是等腰三角形，故选项C不符合题意；D.由作法知，DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴△BCE是
等腰三角形，故选项D不符合题意.
5.D
6.C 提示：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F．∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3），∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，
A′F=3，∴BC=1，CB′=2，CF=3，
∵△ABC∽△A′B′C，
∴AE=A′F=
∵∠ACE=∠A′CF，
∠AEC=∠A′FC=90°，∴△AEC∽△A′FC，
∴∴EC=CF=
∴OE=EC+OC=，
7.B 提示：如图，过点B作BE⊥DE于点E，由题意可知AC∥BD，AB∥DE，∠ACB=90°，BD=15 cm，BC=6 cm，BE=10 cm，∴∠CAB=∠ABD=∠BDE，∠ACB=∠BED=90°，
∴△ACB∽△DEB，∴，即，解得AB=9 cm.
8.A
9.B 提示：如图，延长AD到点M，使得AD=DM，连接MF．
易知四边形AEFD和四边形EBCF是矩形．∴AE=DF，∠EAD=∠FDM=90°，又∵AD=DM，
∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE=MF，∴BF+DE=BF+FM．
∵E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，此时BF+DE的值等于BM的值．在Rt△BAM中，BM==10，∴四边形BFDE
的周长的最小值是=BM+BE+DF=BM+BE+AE=BM+AB=10+6=16.
10.B 提示：由题意得O1S1∥O2S2，S1S2∥O2Q，∴四边形S1S2O2Q是平行四边形，∴O2Q=S1S2=5.2 cm,
∵α=45°，∴∠O2O1Q=90°，∠O1O2Q=α=45°=∠O1QO2，
∴O1O2=O1Q，∵O1N⊥O2Q，
∴O1N=O2Q=2.6 cm.
11.D 提示：根据翻折可知∠ADE=∠EDF，点A和点F关于DE对称，∴∠AHD=90°．∵DG是∠CDF的平分线，∴∠FDG=∠CDG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠DAE=∠ABC=90°，AB=AD，∴易得∠HDG=
∠ADC=45°，
∴∠DGH=∠HDG=45°，∴DH=GH．
故①正确；如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠AGD=∠ADB=45°，∴易得A，D，G，B四点共圆，∴∠AGB=∠ADB=45°，故②正确；如图，连接AC，CG，∵∠ACB=∠AGB=∠CAB=45°，∴易得A，B，G，C四点共圆，∴∠AGC=∠ABC=90°，∴CG⊥AG，故③正确；∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，∴AD=AB=2，AE= AB=1，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=
∵S△ADE=AD·AE=DE·AH=×2×1=×AH，
∴AH=，∴DH=，∴HG=DH=
，故④正确.∴正确的有4个.
12.B 提示：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵PM⊥BC，
∴∠CPN=90°-∠MPN=30°，
∴∠CPN+∠C=90°，∴△PNC是直角三角形，故嘉嘉正确；
当AM=2时，BM=10-2=8，
∴BP=BM=4，∴CP=10-4=6，
∴CN=CP=3，
∴AN=10-3=7，故淇淇正确；当BM=4时，AM=10 -4 =6，BP=BM =2，∴CP=10-2=8，∴CN=CP=4，∴AN=10-4=6=AM，
∵∠A=60°，∴∠AMN=60°=∠B，∴MN∥BC，故珍珍错误，
综上所述，嘉嘉和淇淇正确.
13.6
14. 提示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5，AD∥BC，AB∥CD，∴△MBF∽△ADF，
∵EF∥CD，
15.（1）-10 （2）
提示：（2）∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1），
∴N′（-n，2n），当点N′落在反比例函数y=-
图象上时，n的值最大，
∴-n·2n=-10，解得n1= ，n2=-
（舍去），∴n的最大值为 ．
16.解：（1）证明：∵BD⊥AC于点D，EG∥BD，∴EG⊥AC，∵AE平分∠BAC，
∠ABC=90°，∴BE=EG，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，BE=GE，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB=AG；
（2）∵∠BAE=30°，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=60°，∠CAE=30°，
∵∠ABC=90°，∴∠C=30°=∠CAE，∴AE=EC，∵EG⊥AC，∴AG=CG，
∴A与C关于EG对称，∴点P与点E重合时，PA+PB的值最小，最小为BC的长，
∵BE=2，∠BAE=30°，
∴AB=BE=2，在Rt△ABC中，
∠C=30°，∴BC=AB=×2 =6，
∴AP+BP的最小值为6．
17.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，由折叠的性质可得，AB=CG，∠B=∠G，∠BAD=∠GCE，∴∠BCD=∠GCE，CD=CG，∠D=∠G，∵∠ECD+∠BCE=∠BCD，∠BCE+∠FCG=∠GCE，∴∠ECD=∠FCG，
∴△CED≌△CFG（ASA）；
（2）∵∠BCD=130°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=50°，AD∥BC，∵AB =AC，∴∠ACB =∠B=50° ，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=50°，∵EF为折痕，点A与点C重合，
∴AC⊥EF，∴∠AOE=90°，∴∠AEF=
180°-∠DAC-∠AOE=40°．
18.解：（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BC=EA，∵∠ACB=∠DFE=90°，∴BC∥EA，∴四边形ABCE为平行四边形；
（2）如图，连接BE，过点B作BH⊥EA交EA的延长线于点H，∴∠H=90°，
又∵∠ACB=∠EAC=90°，∴∠HAC=180°-∠EAC=180°-90°=90°，
∴∠H=∠ACB=∠HAC=90°，∴四边形HACB为矩形，∴AC =HB，AH=BC，∵等腰三角形纸片的腰长为
13，底边长为10，∴AB=13，BC=×10 =5，∴AH =BC =AE=5，∴HE =AH+AE=10，在Rt△ABC中，由勾股定理
得AC==12，
∴HB=AC=12，在Rt△HBE中，HB=12，HE=10，
由勾股定理得BE=
19.解：（1）CF⊥BD，证明：∵AB=AC，∠ACB=45°，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠BAC=90°，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．∴CF⊥BD；
（2）仍然成立．理由：在题图2上过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=45°，∴∠AGD=45°，∴AC=AG，同理可证△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴CF⊥BD；
（3）如图，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q.①点D在线段BC
上运动时，如图1，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易证得
△AQD∽△DCP，∴，
②点D在线段BC延长线上运动时，如图2，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x.∵CF⊥BD，∴∠P+∠PDC=90°，
∵∠PDC+∠ADQ=90°，
∴∠ADQ=∠P，∵∠Q=∠PCD=90°，
∴△AQD∽△DCP，∴
20.解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．在Rt△DOC和Rt△DHC中，
∴Rt△DOC≌Rt△DHC（HL）；
（2）①如图1，线段EF在平移过程扫过的面积为平行四边形FEE′D．
过点F作FN⊥EE′于点N．
∵BE= BC= AB= cm，∠DBC=∠ABC=30°，∴BF=2 cm，∴EF=BF=1 cm．∵EE′∥BD，
∴∠E′EH=∠DBC=30°，在Rt△EFN中，∵EF=1 cm，∠FEN=90°-∠E′EH=60°，∴FN=EF·sin60°=cm，
∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=2 cm，
∴OC=CH=AC=cm，∴BH=3 cm，在Rt△BHD中，∵∠DBH=30°，BH=3 cm，∴BD= =6 cm，
∴DF=BD-BF=4 cm，S平行四边形FEE′D=FN·EE′=×4=2（cm2），∵线段EF旋转扫过的面积是圆心角为120°，半径为1 cm的扇形，
∴S扇形=（cm2）．∴线段EF扫过的面积为cm2
②如图2，DB′旋转过程中形成以点D为圆心，DB′长为半径，圆心角为120°的扇形，DC交弧于点B1，连接CB″，
∵DB1=DB′=BF=2 cm，DC=2cm，∴B′Cmin=B1C=DC-DB1=cm，
∴∠CDB″=∠ODB″-∠ODC=120°-30°=90°，CD=2 cm，∵DB″=2 cm，∴B′Cmax=B″C==4 cm．
∴B′Cmax-B′Cmin=4-（2 -2）=（6-2）cm；
③当E′F′过点M时，∵DM=cm，
∴易得DF′=F′M=cm，
∴F′运动到点D所用的时间为==（s），如图3，设当△BEF平移到3
△B′E′F′时，B′E′与CD交于点M′，在Rt△DM′E′中，∠M′DE′=30°，
∴DM′=cm，∴点M与M′重合，此时的旋转角∠BDC=30°，
∴点M运动的时长为=10（s）.
∴点M在△B′E′F′内部（包括边界）的时长为10+
=10+=（s）.第七章 图形与变换
第一节 视图与投影
A 级 基础巩固
1.２０２４·张家口一模 矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
2.人七上P118，T1变式 如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为 （ ）
3.冀七上P65，T3变式 如图，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的 （ ）
A.长方体和圆锥 B.长方形和三角形
C.圆和三角形 D.圆柱和圆锥
4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与左视图
5.人七上P119，T3变式 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是 （ ）
A.① B.② C.③ D.④
6.2024·济宁 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是 （ ）
A.人 B.才 C.强 D.国
7.人九下P101，练习T2变式 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为 （ ）
A. 12πcm2 B. 15πcm2
C. 24πcm2 D. 30πcm2
8.冀九下P109，BT2高仿 如图，圆柱的高AB=3，底面直径为2，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，若π取3，则它爬行的最短距离约是（ ）
A. B. C. D.3
B 级 能力过关
9.易错2024·潍坊 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是 （ ）
10.2024·唐山路南区二模 用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A.S1=S2＞S3 B.S1=S2＜S3
C.S1＞S2＞S3 D.S1＞S2=S3
11.2024·石家庄新华区三模 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4 m，爸爸拿着的光源与小明的距离为2 m，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应 （ ）
A.增加0.5 m B.增加1 m
C.增加2 m D.减少1 m
12.重点2024·石家庄模拟 如图是由7个立方体叠成的几何体，用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，其主视图是（ ）
13.难点2024·邯郸丛台区三模 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为
n，则n的最小值为 （ ）
A. 7 B. 9 C. 8 D.10
14.2024·衡水桃城区模拟 三棱柱及其三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8 cm，EG=12 cm，∠EFG=45°，则AB的长为（ ）
A. 8 cm B. 12 cm
C. cm D. cm
15.新考法2024·廊坊广阳区二模 如图是一个棱长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是______．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A的坐标为（6，8）．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为___________．
C 级 中考新考法
16.空间观念2024·唐山三模 如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体．若从该几何体的第二层拿走若干个小正方体后，使得拿走前后的三视图不发生变化，则最多可以拿走小正方体 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第七章 图形与变换
第一节 视图与投影
A 级 基础巩固
1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D7.B
8.B 提示：圆柱侧面展开图如图所示，连接AC，则最短距离为线段AC的长．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=3，BC==π，∴AC==∴它爬行的最短距离约是3.
B 级 能力过关
9.D 10.A
11.C 提示：如图1，点O为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，∴
∵OE=2 m，OF=2+4=6（m），∴
令AB=k，则CD=3k，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则AB=k，
C′D′= k（如图2），易知△OAB∽△OC′D′，
∴
则∴OE′=4 m，
∴光源与小明的距离应增加4-2=2（m）.
12.B 13.B 14.C
15.查 y=
提示：根据正方体的平面展开图与原正方体之间的关系可知，汉字“真”的对面是汉字“查”．如图，因为正方体的棱长为2，且点A的坐标为（6，8），所以点B的坐标为（6，2），所以AB的中点坐标为C（6，5）．设双曲线的函数解析式为将点 C 的坐标代入得，k=6×5=30，所以双曲线的函数解析式为y=
C 级 中考新考法
16.B第二节 尺规作图
A 级 基础巩固
1.易错冀八上P54，BT2变式 如图，用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′=∠AOB的依据是 （ ）
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
2.冀七下P111，BT2变式 如图，以直角三角形ABC的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边AB于点D，交斜边AC于点E，再分别以点D，
E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若AB=3，BC=4，用S△ABC表示△ABC的面积（其他同理），则=（ ）
A. B.
C. D.
3.冀八上P119，练习T1变式 如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC的面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3
C. 4 D. 5
4.冀八上P122，练习T1变式 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是 （ ）
A. 2 B. C. 3 D.
5.人八上P62，例1改编 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线 l和 l外一点P．（如图1）
求作：直线 l的垂线，使它经过点P．
作法：
（1）在直线 l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ，如图2．所以直线PQ就是所求作的垂线．请回答：作图依据是_________________________________.
B 级 能力过关
6.2024·廊坊广阳区二模 由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是 （ ）
A.①② B.②③
C.①③ D.②④
7.高频考点2024·张家口万全区一模 在△ABC中，AB=AC．尺规作图要求：
I.作AC边的平行线；
II.作线段AB的垂直平分线；
III.作顶角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图痕迹，其中配对正确的是 （ ）
A.①-III，②-II，③-I
B.①-I，②-III，③-II
C.①-II，②-I，③-III
D.①-III，②-I，③-II
8.难点2024·唐山古冶区二模 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A. B.
C. D. 4
9.2024·邯郸二模 如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：
（1）BE= ________；
（2）若∠COE=68°，则∠ACB=________°．
C 级 中考新考法
10.几何直观2024·廊坊广阳区二模 对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？ ”甲、乙的作法如下．
下列说法正确的是 （ ）
A.甲和乙的作法都正确
B.甲和乙的作法都错误
C.甲的作法正确，乙的作法错误
D.乙的作法正确，甲的作法错误
第二节 尺规作图
A 级 基础巩固
1.D 2.C
3.D 提示：如图，连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG=BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面积
为10，∴×4×AD=10，解得AD=5．
4.A
5.到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A，B都在线段PQ的垂直平分线上）
B 级 能力过关
6.C 7.B
8.A 提示：如图，设BP交CD于点J，交CN于点T，过点J作JK⊥BD于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=∠ADC=90°，∴∠BCT+∠DCN=90°，∵CN⊥BT，
∴∠CTB=∠CDN=90°，∴∠CBT+∠BCM=90°，∠BCT+∠DCN=90°，
∴∠CBT=∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，∴
∴BT·CN=CD·BC=3×4=12，
∵∠BCD=90°，CD=3，BC=4，
∴BD=由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK=JC，
∵S△BCD=S△BDJ+S△BCJ，∴×4×JC，∴JC=KJ=
∵CN=.
9.（1）BC（2）44
提示：（1）由作图痕迹可知OE是线
段BC的垂直平分线，∴BE=BC；
（2）由作图痕迹可知CO是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠OCE，
∵∠COE=68°，∠OEC=90°，∴∠OCE=180°-68°-90°=22°，
∴∠ACB=2×22°=44°.
C 级 中考新考法
10.A 提示：对于甲的作法：在题图1上连接OM，由作法得AB垂直平分OP，∴OG=GP，
∴点M为以OP为直径的圆与⊙O的交点，∴∠PMO=90°，∴OM⊥PM，
∴PM为⊙O的切线，∴甲的作法正确；对于乙的作法：由作法得PD=PO，
OD=BC，∵OM=BC，
∴OM=DM，∴PM⊥OD，∴PM为⊙O的切线，∴乙的作法正确.
