第一章三角函数检测卷-2024-2025学年高一数学下学期北师大版（2019）必修（第二册）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A．2 B．2
C．2 D．2
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是第一象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，函数，则下列结论正确灼是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的增区间是
C．若，则函数的值域是
D．函数是偶函数
10．已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A．
B．
C．将图象向右平移个单位后图象关于y轴对称．
D．方程在内恰有4个互不相等的实根
11．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12 B．
C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是
三、填空题
12．已知，且，则 ．
13．定义在R上的函数，恒有，当时，，则方程的解为
14．若函数，对于，均有恒成立，则 ．
四、解答题
15．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)求的值.
16．已知函数的周期为，为它的一个对称中心.
(1)求函数的解析式及其单调增区间；
(2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围.
17．已知函数的部分图象大致如图所示．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围．
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值.
19．已知函数（），若的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，且
①求实数a的取值范围；
②求，求实数a的取值范围.
《第一章三角函数检测卷-2024-2025学年高一数学下学期北师大版（2019）必修（第二册）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A C A C D AB BCD
题号 11
答案 AC
1．D
【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项判断.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数是偶函数，B不是；
对于C，，函数不是奇函数，C不是；
对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是.
故选：D
2．B
【分析】根据函数图象求出相关参数得到解析式，再将自变量代入求函数值即可.
【详解】由题设且，则，故，
又，则，
所以，
则.
故选：B
3．B
【分析】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解.
【详解】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到，再把函数的图象向左平移个单位长度，
得到.
故选：B
4．A
【分析】利用正弦函数的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得；
反之，取满足，而，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
5．C
【分析】根据诱导公式变形后，利用正弦函数的递减区间可得结果.
【详解】因为，
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C.
6．A
【分析】利用诱导公式和三角函数平移原则即可得到答案.
【详解】,
则将其往左平移个单位长度即可得.
故选：A.
7．C
【分析】先根据条件求出的范围，在求函数的零点，使其零点在区间内，求出的范围，进而将问题转化为，在上不存在整数解，再结合的范围，限制住的范围，进而利用不存在整数解约束其范围即可.
【详解】因在上没有零点，则，因，则，
，得，即，
若，则，
因在上没有零点，则在上不存在整数解，
因，，
则或，解得或
则的取值范围是.
故选：C
8．D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求解即得.
【详解】由，得.
故选：D
9．AB
【分析】根据正切函数的性质可判断AB；结合正弦函数的性质可判断CD.
【详解】对于A，正切函数的对称中心为，
故对于，令，则，
当时，，即的图象关于对称，A正确；
对于B，对于，令，
解得，
即函数的增区间是，B正确；
对于C，，若，则，
故，C错误；
对于D，的定义域为R，且，
则，即函数是奇函数，
且不,恒等于0，故函数不是偶函数，D错误，
故选：AB
10．BCD
【分析】先通过图象经过点列方程求出，进而可得的解析式，即可判断AB，根据图象平移求解C，根据函数图象即可求解D.
【详解】由题意可得，将代入可得，所以，
又，所以或，
根据图象可知点在其递减区间上，故，故A不正确；
将代入可得，结合图象可得，所以，
且，故，则，故，故B正确；
则，将图象向右平移个单位可得为偶函数，故其图象关于y轴对称，故C正确；
当时，则，，从而可得在上的图象如下：
由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根，故D正确.
故选：BCD.
11．AC
【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD.
【详解】由题意可知，周期满足，得，故A正确；
所以，得，
又，解得，，
所以，
又，即，
得，因为，所以，故B错误；
所以.
则，故C正确；
对于D，由，得，即，
则，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面高于20m的时间是，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】根据余弦函数性质即可求解.
【详解】由可得，结合，故，
故答案为：
13．或
【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案．
【详解】由，可得，
又当时，，
所以，
由上的图象，可作出的图象，如图．
当时，
当时，，又
由，可得.
故答案为：或
14．
【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性求出系数，得到函数解析式，再代入求值即可.
【详解】由题意，函数的周期，解得，
所以.
则.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可得.
（2）由同角的三角函数和诱导公式求解即可.
【详解】（1）因为角的终边经过点，且.
所以，.
（2）因为，，，.
且，，，
所以.
16．(1)，单调增区间：
(2)
【分析】（1）根据周期和对称点，得出，，即可得出解析式和单调增区间；
（2）参变分离，构造函数，将方程解的个数问题转换成图像交点个数问题.
【详解】（1）由，得，
当时，因为为它的一个对称中心,所以，
所以，
又，所以，所以；
当时，因为为它的一个对称中心,所以，
所以，
又，所以，所以；
令，，
所以单调增区间： ；
（2）由，得，故，
因此函数的值域为.
设，则，
要使关于的方程在上有且仅有一个实数根，
即在有且仅有一个实数根，令，
则在有且仅有一个实数根，
即与在有且仅有一个交点，由图像可知.
17．(1)．
(2)．
【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间；
（2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由图可知，，则，，所以，
又因为点在函数图象上，
所以，即，解得，
又，所以，即．
令，解得，，
又，
所以的单调递增区间为．
（2）恒成立，
即，
即，
令，当时，，
即，恒成立，
因为，所以，
令，，
因为在单调递减，
所以，故．
18．(1)最小正周期为，单调递增区间为
(2)最小值为,最大值为
【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果；
（2）先确定取值范围，再根据余弦函数性质求最值.
【详解】（1）
所以函数的最小正周期为，
由得
即函数的最小正周期和单调递增区间为；
（2）
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为
因此当时，取最小值，为，
当时，取最大值，为.
19．(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求出即可.
（2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论求解；②设为方程的两个不相等的实数根，由①可求得的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得的关系，根据韦达定理求解，代入的关系式中，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由的最小正周期为，，得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）①由（1）知，
由，得，
令，函数在上单调递增，从0增大到1，
在上单调递减，从1减小到，则，，
由函数在上有三个零点，得在有三个不等的实根，
则关于t的方程可能在上有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在上，
当一个实根在，另一个实根在上时，，即，解得：，
当一个根为0时，即，则，方程为，，不合题意；
当一个根是，即，解得，方程为，，不合题意；
当一个根是1，另一个实根在，由，得，
方程为，解得或，不合题意，
所以a的取值范围是．
②设为方程的两个不相等的实数根，不妨令，，
由①知，，，即，
，，即，
由，得，则，
而，，则，
因此，即，
由，解得，
则，整理得，而，
则，又，解得，
所以实数a的取值范围是．
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