2025年山东省青岛市中考数学模拟试题3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．在微信账单中，收入600元时显示为，那么支出60元将显示为（ ）
A． B． C． D．
2．垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为，那么点表示的无理数是（ ）
A． B． C．7 D．29
4．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
9．二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算＝ ．
11．甲、乙两个班各选取40名学生参加广播操比赛，测量两个班参赛学生的身高后计算方差，，，则两班参赛站队时看起来身高更一致的是 班．
12．如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ．
13．如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是 m．
14．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．
15．如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共75分）
16．如图，已知直角，、，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
17．计算与化简求值：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：．然后从的范围内选取全部合适的整数作为x的值代入求值．
18．为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
19．李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字．
(1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果；
(2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率．
20．科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处．将出水装置水平移动至处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处，．（参考数据：，， ，）
(1)求水流和连接水管的长；（结果保留整数）
(2)求水盆两边缘，之间的距离．（结果保留一位小数）
21．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多．
(1)求出甲、乙坚果每盒的进价分别为多少元？
(2)若超市共购进了甲、乙两种坚果100盒，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值？
22．某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求：
(1)无人机距离经纬仪顶端P的距离；
(2)点与点的高度差．(参考数据：)
23．如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E．
(1)求m，k的值；
(2)点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
24．某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人） 之间的关系如图 1 所示．
目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法：
方法 1 ：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本；
方法 2 ：运营成本不变，只提高票价．
两种解决办法的具体措施如下：
方法 1 ：票价不变，将运营成本降低到 0.5 万元；
方法 2 ：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到 0.75 万元．
则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为 万人．
25．综合与实践：
【实践操作】
（1）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕．
【问题提出】
（2）在（）的条件下，已知，，求的长．
【问题探究】
（3）如图，在（）的条件下，若点是射线上的一个动点，将沿翻折，得，连接．设，在点从点出发沿射线方向运动的过程中，当取得最大值时，解决下列问题：
求的长；
直接写出的长．
【问题拓展】
（4）如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接．问在点从点出发沿射线方向运动的过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】相反意义的量、正负数的实际应用
【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题．
解：收入600元时显示为，
支出60元将显示为，
故选：B．
2．【考点】中心对称图形的识别
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【考点】实数与数轴、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理与数轴，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．根据勾股定理以及的长度，即可求出的长度，进而点C表示的无理数．
解：在中，，，
则：，即点C表示的无理数是．
故选：B．
4．【考点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．
根据从上面看到的平面图形即可求解．
解：这个几何体从上面看，形状如图：，
故答案为：D．
5．【考点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等考点逐项判断即可．
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故答案为：D．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等考点，熟练掌握以上考点是解答本题的关键．
6．【考点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题
【分析】过作于，先求出，的坐标，分别为，，得到的长，可证明，得到，，则，，在中，利用勾股定理得到的方程，解方程求出即可．
解：过作于，如图，
对于直线，
当，得；
当，，
∴，
，，即，，
∴由勾股定理得，，
又坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴上，
平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
，则，
，
，
在中，，
，解得，
点的坐标为．
故选：B．
【点评】本题考查了求直线与坐标轴交点，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握考点，正确添加辅助线是解题的关键．
7．【考点】根据正方形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
8．【考点】根据成轴对称图形的特征进行求解、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键．作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案．
解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时，
根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，
连接，
∵点B为弧的中点，
∴，
∵A、Q关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，即的最小值为4．
故选：A．
9．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．
解：由所给函数图象可知，
，，，
所以，故①错误．
因为抛物线与轴有两个不同的交点，
所以，故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大，
所以，
所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小，
则当时，函数值小于零，
所以，故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即
又因为当时，函数值小于零，
所以，
所以，故④正确．
因为抛物线开口向上，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小，
又因为，
所以，故⑤错误．
故选：B．
10．【考点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可
解：
故答案为：
【点评】本题考查了根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
11．【考点】根据方差判断稳定性
【分析】据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：，，
∴S甲2＞S乙2，
∴参赛站队时看起来身高更一致的是乙班，
故答案为：乙．
【点评】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．【考点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，由直角三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出，则可求出答案．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
解：点D是的中点，点E是的中点，
,
,点D是的中点，
，
根据勾股定理，
．
故答案为：3．
13．【考点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可．
解：设，则：，由题意，得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去
当时，，符合题意；
故的长度是；
故答案为：10
14．【考点】几何体展开图的认识、最短路径问题
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线．
解：根据两点之间线段最短可知，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线，分6种情况：①前面和下面展开在一起时；②前面和右面展开在一起时；③上面和后面展开在一起时；④上面和右面展开在一起时；⑤左面和后面展开在一起时；⑥左面和下面展开在一起时．
故答案为：6．
【点评】本题考查正方体的展开图，线段的性质，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
15．【考点】根据平行线判定与性质证明、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积．
解：如图，连接交于G，交于H，
平行且等于，平行且等于，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
．
∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积
，
故答案为：
16．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、三角形角平分线的定义
【分析】以点为圆心长度为半径画弧交于点，以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，点即为所作．
解：如图，点为所求，
，
连接，由作图可知：，平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上考点是解此题的关键．
17．【考点】整式的混合运算、分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件结合不等式组的整数解的情况选取合适的值代值计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴，
∵，且x是整数，
∴符合题意的x的值为，0，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
【点评】本题主要考查了整式的混合计算，分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，正确计算是解题的关键．
18．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、由扇形统计图求总量、求中位数
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
（1）这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据概率公式计算概率、列举法求概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，一元二次方程根的判别式．
（1）画出树状图，然后写出所有的可能取值即可得解；
（2）利用根的判别式求出、的关系式，然后进行验证找出适合的，再根据概率公式列式计算即可得解．
（1）解：画树状图如下：
所有可能情况为：，，，，，，，，，，，．
（2）解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
整理可得：，
∴适合的有，，共个，
所以，．
20．【考点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据题意，得，，在中，根据得到，可求水流；根据得到，可求连接水管的长；
（2）连接根据平移性质，得，继而得到四边形是平行四边形，结合，得到四边形是矩形，继而得到，在中，根据，求，之间的距离即可．
（1）解：根据题意，得，，
在中，∵，
∴；
∵，
∴．
（2）解：连接，根据平移性质，得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴．
【点评】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形 判定和性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键．
21．【考点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多”列方程求解；
（2）先根据“总利润=两种坚果的利润和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解．
（1）解：设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元；
（2）解：设该超市购进盒甲坚果，则购进盒乙坚果，
根据题意得：，
解得：．
设两种坚果全部售完后获得的总利润为元，则
，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，且，均为正整数，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）．
答：总利润的最大值是1570元．
22．【考点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
（1）过点作于点，求出米，然后根据即可求解；
（2）过点作于点，根据求出的长，然后用即可求出高度差．
（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，
∴米
在中，，
米
（2）解：过点作于点，
在中，，
（米），
（米）．
答：点与点的高度差为11米．
23．【考点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键．
（1）根据条件先求出点B坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，将D坐标代入两个函数解析式得到m、k的值．
（2）延长交y轴于点Q，交于点L．先设点P的坐标为，求出，再利用三角形面积列出函数解析式，利用最值求出t和面积最大值及点P坐标即可．
（1）解：，，
,
又，
，
，
∴点,
设直线的函数表达式为，
将，代入，
得，
解之得：，
∴直线的函数表达式为，
将点代入中得：，
∴点D的坐标为,
将代入中得：．
（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．
，，
，
轴，
，,
，
，
，
∴ ,
设点P的坐标为，则点N的坐标为,
，，,
∴，
当时，,
∴当时，的最大面积为2，此时点P的坐标．
24．【考点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，先用待定系数法求得两个一次函数解析式，再y值相等可得解．
解：依题意可得，点点,
设直线的解析是为：，
把点，点代入解析式可得：
，解得：，
∴直线的解析是为：，
①当方法时，依题意可得：，
②当方法时，依题意可得：，
令，可得：，
解得：，
故答案为：．
25．【考点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算
【分析】[问题提出] 由（）得：，则，根据三角函数得，由折叠性质得，故有，然后由线段和差即可求解；
[问题探究] 由题意得点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则当直线与圆相切，即时，取最大值，然后由勾股定理得；
分当在上方时和当在下方时，过作交延长线于点，两种情况分析即可；
[问题拓展]分当与重合时和当时，然后由三角函数即可求解．
解：[问题提出]（）由（）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
[问题探究]（）∵点是射线上的一个动点，沿翻折，得，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∵，
∴当直线与圆相切，即时，取最大值，
∴由勾股定理得：；
当在上方时，如上图，
∵沿翻折，得，
∴，，
由（）得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在下方时，过作交延长线于点，
由上得，，
∴，
∵沿翻折，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴；
[问题拓展]（）存在，理由，
如图，当与重合时，
此时，
∴
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
如图，当时，
∴，
综上可知：的长为或．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，切线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握考点的应用是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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