2024-2025 学年福建省厦门六中高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ， 均为单位向量.若 = + ，则 与 夹角的大小是( )
A. 6 B.
3 C.
2
3 D.
5
6
2 5 .在△ 中，角 ， ， 的对边分别是边 ， ， ，若 = 3 3， = 2， + = 6，则 =( )
A. 13 B. 6 C. 7 D. 8
3.若向量 ， 满足| | = 3，| | = 5， = 1，则| | =( )
A. 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3
4.已知圆柱的底面半径与球的半径均为 1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.在△ 中， = 5， = 6， = 7，则△ 的面积为( )
A. 15 32 B. 6 6 C. 12 D. 12 6
6 2 .若圆锥的轴截面是一个顶角为 3，腰长为 3 的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的
最大值为( )
A. 9 3 94 B. 2 3 C. 2 D. 3 3
7.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这
样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴和 轴上的截距 ，
分别作为点 的 坐标和 坐标，记 ( , ).若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方向的夹角为 ，则该坐标系
中 ( 1, 1)和 ( 2, 2)两点间的距离为( )
A. ( 1 2)2 + ( 1 22) + 2( 1 2)( 1 2)
B. ( 1 2 22) + ( 1 2) 2( 1 2)( 1 2)
C. ( 21 2) + ( 1 2)2 + 2|( 1 2)( 1 2)|
D. ( 1 )2 + ( )22 1 2 2|( 1 2)( 1 2)|
8.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算
利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中
正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离 1.沿直线将镜子向后移距离 ，再次从镜中观测楼顶，并
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测量出此时人与镜子的距离 2( 2 > 1).若小张的眼睛距离地面的高度为 ，则黄鹤楼的高度 可表示为
( )
A. = B. =2 1 ( 2 1)
2 2
C. = ( ) D. =
2 1 ( 2 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，错误的是( )
A.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B.正四面体是一种特殊的正三棱锥
C.平行六面体是一种特殊的斜四棱柱
D.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为 2 的等边三角形，则
原平面图形的面积是 2 6
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 2 + 2 < 2，则△ 为钝角三角形
C.若 = ，则△ 为等腰三角形
D.若 = 2， = 30°的三角形有两解，则 的取值范围为(1,2)
11.已知点 在△ 所在的平面内， ∈ ，则下列命题正确的是( )
A.若 = = ，则点 是△ 的垂心
B.若( + ) = ( + ) = 0，则| | = | | = | |
C.若 = (
|
+ )，则动点 的轨迹经过△ 的内心 | | |
D.若 = ( 1 1 + 2 ) + ( + 2 )
，则动点 的轨迹经过△ 的外心
| | | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (2,1)， = ( 1,3)，则 在 上的投影向量为______(结果用坐标表示)．
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13.在正四棱台 1 1 1 1中， = 2， 1 1 = 1， 1 = 2，则该棱台的体积为 ．
14.已知△ 中，点 在边 上，∠ = 120°， = 2， = 2 . 当 取得最小值时， =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = ( 1,0)， = (2,1)．
(1)若 = 2 ， = + 且 、 、 三点共线，求 的值．
(2)当实数 为何值时， 与 + 2 垂直？
16.(本小题 15 分)
1
如图，在菱形 中， = , = 2 2 ．
(1)若 = + ，求 3 + 2 的值；
(2)若| | = 6，∠ = 60°，求 ．
17.(本小题 15 分)
海岸上建有相距 40 3海里的雷达站 ， ，某一时刻接到海上 船因动力故障发出的求救信号后，调配附近
的 船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 = ∠ = 45°， = ∠ = 30° = ∠ = 45°， =
∠ = 75°．
(1)救援出发时， 船距离雷达站 距离为多少？
(2)若 船以 30 海里每小时的速度前往 处，能否在 3 小时内赶到救援？
18.(本小题 17 分)
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥 1 1 1 1，下部是正四棱柱 1 1 1 1(如
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图所示)，且正四棱柱的高 1 是正四棱锥的高 1的 4 倍．
(1)若 = 6， 1 = 2，求该几何体的体积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为 6， 1 = 2．
( )求正四棱锥 1 1 1 1的侧面积．
( )若 ， 分别是线段 1 1， 1上的动点，求 + + 1的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，满足 = 3， 3 + = 2 3．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且外接圆圆心为 ．
( )求 的取值范围；
( )求△ 和△ 面积之差的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 25 ,
1
5 )
13.7 66
14. 3 1
15.(1) = ( 1,0)， = (2,1)， = 2 ， = + ，
则 = ( 4, 1)， = (2 1, )，且 、 、 三点共线，
则可得 // ，
即 4 (2 1)( 1) = 0，解得 = 12；
(2) = ( 1,0)， = (2,1)， = 2 ， = + ，
则 = ( 2, 1)， + 2 = (3,2)，
因为 与 + 2 垂直，
8
则可得 3( 2) + 2 × ( 1) = 0，解得 = 3．
16.解：(1)因为在菱形 中， = 1 , = 2 2 ．
故 = + = 12
2 3 ，
= 2 1故 3 , = 2，所以 3 + 2 = 1．
(2)显然 = + ，
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所以 = ( + ) ( 1 2
2 3 )
= 2 23 +
1 2 1 2 6
……①，
因为菱形 ，且| | = 6，∠ = 60°，故| | = 6，< , >= 60°．
所以 = 6 × 6 × 60° = 18．
故①式= 23 × 6
2 + 1 2 12 × 6 6 × 18 = 9．
故 = 9．
17.解：(1)测得角度数据为 = ∠ = 45°， = ∠ = 30° = ∠ = 45°， = ∠ = 75°；
= 40 3 120 30 = 120．
(2) 2 = 1202 + 402 2 × 120 × 40 2 × 45°，
所以： = 40 5；
40 5
所以 = 30 < 3，
故能及时赶到．
18.解：(1)由条件可知，正四棱柱的高 1 = 8，
所以正四棱柱的体积为 6 × 6 × 8 = 288，
三棱锥 11 1 1 1的体积为3 × 6 × 6 × 2 = 24，
所以该几何体的体积为 288 + 24 = 312；
(2)( ) 2 21 1 = 6 2 = 4 2，
所以 1 1 = 4 2 × 2 = 8，
正四棱锥 1 1 1 1侧面的高为 62 42 = 2 5，
1
所以正四棱锥的侧面积为 4 × 2 × 8 × 2 5 = 32 5；
( )如图，将长方形 1 1，△ 1 1和△ 1 1展开在一个平面，
1 = 1 = 1 = 6， 1 1 = 1 1 = 8，
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设∠ 1 1 = ，cos∠ 1 1 = cos∠ = =
4 = 21 1 6 3， 1 1 = 1 = 8， 1 = 8 2，
∠ 1 1 =
4，所以 =
5，
3
所以 2 = 2 = 2 × 5 × 2 = 4 5，3 3 9
2 = 1 2 2 = 1 2 × ( 5 )2 = 1，3 9
cos∠ = cos( + 2 ) = cos 2+4 101 1 ，4 4 2 sin 4 2 = 18
当 ， ， ， 1四点共线时， + + 1最短，
所以 1 = 21 + 21 1 2
8
1 1 1 cos∠ 1 = 3 29 + 8 5，
所以 + + 81的最小值为 29 + 8 5．3
(1)代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解；
(2)( )根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；
( )利用展开图，即可两点间距离，即可求解．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
19. 解：(1)由正弦定理得， = ，
3
所以 3 = sin( + )，即 =
2
sin( 3+ )
①，
2
又 3 + = 2 3，
所以 2 ( + 3 ) = 2 3②，
由①②得，2 32 = 2 3，
所以 = 2．
(2)( )由题意知， = ( ) = ，
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2 2
而 = 1 1 22 = 2 ，
= 12
= 12
2，
所以 = 1 22 (
2)，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 4 + 2 2 ，即 2 2 = 4 2 ，
所以 = 12 (
2 2) = 2 ，
由正弦定理得， = ，
2 ( + ) 2 (
+ )
= = = 3 = 3 + 3所以 = + 1，
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
所以 2 ，解得6 < < 2，0 < 3 < 2
所以 ∈ ( 33 , + ∞)，
= 3所以 + 1 ∈ (1,4)，
所以 = 2 ∈ ( 2,1)．
( )设△ 2 1外接圆半径为 ，则 = = = ，且 2 = = ，即 = ，
因为∠ = 2 ，∠ = 2 = 2 3，
= 1 2 sin∠ = 1 1所以 △ 2 2 sin2 2 =
1 1 1
2 sin2 2 = ，
1
2 2
2
△ = 2 sin∠ =
1 1 2 3 sin +cos 3 1
2 sin2 sin 3 = 4 sin2 = 4 (1 + tan2 )，
所以 1 3△ △ = 4 (1 +
1 3 1 1 3
tan2 ) = 4 tan2 + 4 ，
3
由( )知， ∈ ( 3 , + ∞)，
1
令 = ∈ (0, 3)，
3 2 3 3则 △ △ = ( ) = 4 + 4 = 4 (
2 3 2 3
3 ) + 12，
= 2 3所以当 3 ，即 =
3 3
2 时， △ △ 取得最大值12．
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