2024年广东省深圳市香港中文大学（深圳）附属礼文学校中考模拟数学试题
1．（2024九下·深圳模拟）如果的相反数是 2024，那么的值为( )
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是 2024，
的值为，
故答案为：D．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2024九下·深圳模拟）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：从砚台上面看到的图形是
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2024九下·深圳模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：80.16亿=80.16×108=，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2024九下·深圳模拟）已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（ ）
A．3 B．5 C．2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3.
故答案为：A.
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此即可得出x的值.
5．（2024九下·深圳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024九下·深圳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得；
由②得；
故不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
．
故答案为：C．
【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
7．（2024九下·深圳模拟）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
8．（2024九下·深圳模拟）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组为：
，
故答案为：C．
【分析】设甲原有“文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，即可求出答案.
9．（2024九下·深圳模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB=2m，木箱高BE=1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）
A． B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示∶
则四边形BHNG是矩形，
∴HN=BG
在Rt△ABG中，∠BAG=α，sin∠BAG=
∴BG=AB·sin∠BAG=2sinα(m)
∴HN=2sinα(m)；
∵∠EBM=∠ANM=90°，∠BME=∠AMN
∴∠BEM=∠MAN=α
在Rt△EHB中，∠BEM=α，BE=1m，
∵oos∠BEM=
∴EH=BE·cos∠BEM=1×cosα=cosα(m)
∴EN=EH+HN=(cos +2sin )m；
即木箱端点 距地面Ac的高度为(cos +2sin )m．
故答案为∶C．
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，根据矩形性质可得HN=BG，根据正弦定义可得HN=2sinα，根据角之间的关系可得∠BEM=∠MAN=α，再根据余弦定义可得EH=cosα，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024九下·深圳模拟）如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；切线长定理；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
，，分别与相切于点E，F，G三点，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接、、，根据切线性质可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2024九下·深圳模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2a（b2-2b+1）=2a(b-1）2
故答案为：2a(b-1）2.
【分析】先提取公因式2a，括号里面的是完全平方式，再利用完全平方公式进行第二次分解即可.
12．（2024九下·深圳模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是1．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，解不等式即可求出答案.
13．（2024九下·深圳模拟）学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小灯泡发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
14．（2024九下·深圳模拟）如图：在中，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．的对应线段恰好经过点O．则k的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；等边三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵BC过原点，点B、C在上，
∴BO=CO，
∵中，，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．
∴BD=OB=2，
∵∠BDC=90°，BO=CO，
∴OD=OB=OC=2，
∴OB=BD=OD=2，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
设点B（x，y），
∴x=OBcos60°=2×=1，y=OBsin60°=，
∴点B（1，），
∵点B在双曲线上，
∴．
故答案为：．
【分析】由BC过原点，点B、C在上，利用中心对称性质可得BO=CO，将绕点B逆时针旋转，可得BD=OB=2，OD=OB=OC=2，可证△OBD为等边三角形，可得∠BOD=60°，设点B（x，y），由三角函数可求点B（1，），由点B在双曲线上，把点B坐标代入解析式即可．
15．（2024九下·深圳模拟）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长至G，使，连接，过E作，交的延长线于点H，
为的中点，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至G，使，连接，过E作，交的延长线于点H，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，根据哈30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得EH，BE，则，再0根据三角形面积建立方程，解方程可得CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024九下·深圳模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
17．（2024九下·深圳模拟）先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
；
∵，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先通分，然后化除为乘，再根据完全平方公式及平方差公式进行约分，然后代值求解即可．
18．（2024九下·深圳模拟）为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“．非常了解”、“B．了解”、“．基本了解”、“．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据图中的信息解答下列问题．
（1）这次调查的市民人数为______人，图2中， _____；
（2）补全图1中的条形统计图；
（3）在图2中的扇形统计图中，求“．基本了解”所在扇形的圆心角度数；
（4）据统计，年该市约有市民万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有多少万人？
【答案】（1），
（2）解：“B．了解”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：“．基本了解”所在扇形的圆心角度数：
（4）解：根据题意得：（万人），
答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有万人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的市民人数为：（人），
“．非常了解”的百分比为：，
“B．了解”的百分比为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）用“．基本了解”的人数除以其百分比可求出调查的市民人数，再求出“．非常了解”的百分比，进而可求出“B．了解”的百分比，即可求出；
（2）先求出“B．了解”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以“．基本了解”的百分比即可求解；
（4）用乘以“．非常了解”的百分比即可求解．
（1）解：调查的市民人数为：（人），
“．非常了解”的百分比为：，
“B．了解”的百分比为：，
，
故答案为：，；
（2）“B．了解”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）“．基本了解”所在扇形的圆心角度数：；
（4）根据题意得：（万人），
答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有万人．
19．（2024九下·深圳模拟）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元；
（2）某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【答案】（1）解：设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：型设备的单价是120元，型设备的单价是100元；
（2）根据题意得：，
即，
购进型设备数量不少于型设备数量的一半，
，
解得：，
与的函数关系式为．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值（元．
答：与的函数关系式为，最少购买费用是6400元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，利用数量总价单价，结合用1800元购买型设备的数量比用1000元购买型设备的数量多5台，可列出关于的分式方程，解方程可得出型设备的单价，再将其代入中，即可求出型设备的单价；
（2）利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买型设备数量不少于型设备数量的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可求出答案.
20．（2024九下·深圳模拟）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：设的半径r，则，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
，
解得，
的半径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径r，则，，再根据正切定义可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：连接，
，，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：设的半径r，则，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
，
解得，
的半径长为．
21．（2024九下·深圳模拟）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
（3）【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
【答案】（1）解：①由题意得：，，
∵是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵平移后仍过点，
∴y2是由y1向左平移得到的，
∵，点B是由点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得或（舍去），
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
∴的取值范围为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）设，
由（1）②可知，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点，，
则有，
解得，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴h的最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）①根据抛物线顶点设，再根据待定系数法将点H坐标代入抛物线解析式可得上边缘抛物线的函数解析式为，再根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
②根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（2）将y=0.5代入解析式可得，再根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）设，由题意可得设点，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024九下·深圳模拟）【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．
判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
【答案】（1）；
解：（2）判断：，理由如下：
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，
由（2）得 ，
∴，
∴，
∴的最小值为的最小值，即，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
则，
那么，，
故答案为：；
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由矩形的性质得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，根据矩形的性质可得，，，再根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，根据边之间的关系可得AG'，再根据勾股定理即可求出答案.
2024年广东省深圳市香港中文大学（深圳）附属礼文学校中考模拟数学试题
1．（2024九下·深圳模拟）如果的相反数是 2024，那么的值为( )
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·深圳模拟）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·深圳模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·深圳模拟）已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（ ）
A．3 B．5 C．2 D．无法确定
5．（2024九下·深圳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·深圳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024九下·深圳模拟）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·深圳模拟）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·深圳模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB=2m，木箱高BE=1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）
A． B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
10．（2024九下·深圳模拟）如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（ ）
A． B． C． D．6
11．（2024九下·深圳模拟）因式分解： ．
12．（2024九下·深圳模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
13．（2024九下·深圳模拟）学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
14．（2024九下·深圳模拟）如图：在中，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．的对应线段恰好经过点O．则k的值是 ．
15．（2024九下·深圳模拟）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为 ．
16．（2024九下·深圳模拟）计算：．
17．（2024九下·深圳模拟）先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
18．（2024九下·深圳模拟）为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“．非常了解”、“B．了解”、“．基本了解”、“．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据图中的信息解答下列问题．
（1）这次调查的市民人数为______人，图2中， _____；
（2）补全图1中的条形统计图；
（3）在图2中的扇形统计图中，求“．基本了解”所在扇形的圆心角度数；
（4）据统计，年该市约有市民万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有多少万人？
19．（2024九下·深圳模拟）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元；
（2）某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
20．（2024九下·深圳模拟）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
21．（2024九下·深圳模拟）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程．
②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标．
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围．
（3）【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ．
22．（2024九下·深圳模拟）【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．
判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是 2024，
的值为，
故答案为：D．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：从砚台上面看到的图形是
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：80.16亿=80.16×108=，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3.
故答案为：A.
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此即可得出x的值.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得；
由②得；
故不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
．
故答案为：C．
【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组为：
，
故答案为：C．
【分析】设甲原有“文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程，即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示∶
则四边形BHNG是矩形，
∴HN=BG
在Rt△ABG中，∠BAG=α，sin∠BAG=
∴BG=AB·sin∠BAG=2sinα(m)
∴HN=2sinα(m)；
∵∠EBM=∠ANM=90°，∠BME=∠AMN
∴∠BEM=∠MAN=α
在Rt△EHB中，∠BEM=α，BE=1m，
∵oos∠BEM=
∴EH=BE·cos∠BEM=1×cosα=cosα(m)
∴EN=EH+HN=(cos +2sin )m；
即木箱端点 距地面Ac的高度为(cos +2sin )m．
故答案为∶C．
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，根据矩形性质可得HN=BG，根据正弦定义可得HN=2sinα，根据角之间的关系可得∠BEM=∠MAN=α，再根据余弦定义可得EH=cosα，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；切线长定理；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
，，分别与相切于点E，F，G三点，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接、、，根据切线性质可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2a（b2-2b+1）=2a(b-1）2
故答案为：2a(b-1）2.
【分析】先提取公因式2a，括号里面的是完全平方式，再利用完全平方公式进行第二次分解即可.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是1．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小灯泡发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；等边三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵BC过原点，点B、C在上，
∴BO=CO，
∵中，，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．
∴BD=OB=2，
∵∠BDC=90°，BO=CO，
∴OD=OB=OC=2，
∴OB=BD=OD=2，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
设点B（x，y），
∴x=OBcos60°=2×=1，y=OBsin60°=，
∴点B（1，），
∵点B在双曲线上，
∴．
故答案为：．
【分析】由BC过原点，点B、C在上，利用中心对称性质可得BO=CO，将绕点B逆时针旋转，可得BD=OB=2，OD=OB=OC=2，可证△OBD为等边三角形，可得∠BOD=60°，设点B（x，y），由三角函数可求点B（1，），由点B在双曲线上，把点B坐标代入解析式即可．
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长至G，使，连接，过E作，交的延长线于点H，
为的中点，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长至G，使，连接，过E作，交的延长线于点H，根据全等三角形判定定理可得，则，，即，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，根据哈30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得EH，BE，则，再0根据三角形面积建立方程，解方程可得CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
17．【答案】解：
；
∵，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先通分，然后化除为乘，再根据完全平方公式及平方差公式进行约分，然后代值求解即可．
18．【答案】（1），
（2）解：“B．了解”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：“．基本了解”所在扇形的圆心角度数：
（4）解：根据题意得：（万人），
答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有万人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的市民人数为：（人），
“．非常了解”的百分比为：，
“B．了解”的百分比为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）用“．基本了解”的人数除以其百分比可求出调查的市民人数，再求出“．非常了解”的百分比，进而可求出“B．了解”的百分比，即可求出；
（2）先求出“B．了解”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以“．基本了解”的百分比即可求解；
（4）用乘以“．非常了解”的百分比即可求解．
（1）解：调查的市民人数为：（人），
“．非常了解”的百分比为：，
“B．了解”的百分比为：，
，
故答案为：，；
（2）“B．了解”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）“．基本了解”所在扇形的圆心角度数：；
（4）根据题意得：（万人），
答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“．非常了解”的市民约有万人．
19．【答案】（1）解：设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：型设备的单价是120元，型设备的单价是100元；
（2）根据题意得：，
即，
购进型设备数量不少于型设备数量的一半，
，
解得：，
与的函数关系式为．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值（元．
答：与的函数关系式为，最少购买费用是6400元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，利用数量总价单价，结合用1800元购买型设备的数量比用1000元购买型设备的数量多5台，可列出关于的分式方程，解方程可得出型设备的单价，再将其代入中，即可求出型设备的单价；
（2）利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买型设备数量不少于型设备数量的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：设的半径r，则，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
，
解得，
的半径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径r，则，，再根据正切定义可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：连接，
，，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：设的半径r，则，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
，
解得，
的半径长为．
21．【答案】（1）解：①由题意得：，，
∵是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则，
解得或（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程为；
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵平移后仍过点，
∴y2是由y1向左平移得到的，
∵，点B是由点C向左平移得到的，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得或（舍去），
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
∴的取值范围为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）设，
由（1）②可知，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点，，
则有，
解得，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴h的最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）①根据抛物线顶点设，再根据待定系数法将点H坐标代入抛物线解析式可得上边缘抛物线的函数解析式为，再根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
②根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（2）将y=0.5代入解析式可得，再根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）设，由题意可得设点，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）；
解：（2）判断：，理由如下：
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，
由（2）得 ，
∴，
∴，
∴的最小值为的最小值，即，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
则，
那么，，
故答案为：；
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由矩形的性质得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，根据矩形的性质可得，，，再根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，根据边之间的关系可得AG'，再根据勾股定理即可求出答案.
