2024-2025 学年安徽省阜阳市两校高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆 ： 2 21 + = 1 与圆 2：( 3)2 + 2 = 4 的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
2 2
2 .已知椭圆 ： 4 +
6+ = 1 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围为( )
A. ( 1,4) B. (1,4) C. ( 6,4) D. ( 1, + ∞)
3.已知空间向量 = (2, , 1)， = ( 2,1,2)，若 与 垂直，则| |等于( )
A. 5 B. 7 C. 3 D. 41
4.已知直线 与曲线 ( ) = + 在点(0, (0))处的切线垂直，则直线 的斜率为( )
A. 1 B. 1 C. 12 D. 2
5.若数列{ }满足 1 = 2， +1 = 1，则 2024 =( )
A. 12 B. 2 C. 3 D. 1
6 +1 .已知正项数列{ }满足 +1 = 82 ，则 =( )4
A. 116 B.
1
8 C.
1 1
4 D. 2
7.记数列{ 2 }的前 项和为 ，若 1 = 1, + +1 = 3 + 2 + 1，则 20 =( )
A. 590 B. 602 C. 630 D. 650
8.已知过点 ( , 0)可以作曲线 = ( 1) 的两条切线，则实数 的取值范围是( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞, ) ∪ (2, + ∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 > 0，且( 11 7)( 11 8) < 0，则( )
A. 9 + 10 > 0 B. 7 < 11 < 8
C.当 = 10 时， 取最大值 D.当 < 0 时， 的最小值为 19
10.已知直线 ：( + 2) ( + 1) 1 = 0 与圆 ： 2 + 2 = 4 交于点 ， ，点 (1,1)， 中点为 ，则( )
A. | |的最小值为 2 2 B. | |的最大值为 4
C. 为定值 D.存在定点 ，使得| |为定值
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11.已知抛物线 ： 2 = 2 的焦点为 ，从点 发出的光线经过抛物线上的点 (原点除外)反射，则反射光线
平行于 轴.经过点 且垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两点，经过点 且垂直于 轴的直线交 轴于点 ；
抛物线 在点 处的切线 与 ， 轴分别交于点 ， ，则( )
A. | |2 = | | | | B. | |2 = | | | |
C. | | = | | D. ⊥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在各项均为正数的等比数列{ }中， 3 13 = 144， 5 = 6，则 2 = ______．
13 1.已知曲线 = 与直线 = + 4( ∈ )相切，则 = ______．
14.已知各项均为正数的数列{ }的前 项和为 ，且 4 = ( + 3)( 1)，数列{ }满足 = (
1) +1 +1 ，若 1 + 2 + … + <
5 23 对任意 ∈
恒成立，则 的取值范围是______．
+1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 ′(3) + 5 7．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设 ( ) = ( )，求曲线 = ( )的斜率为 4 的切线方程．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ，点 是棱 上一点，且 = = 2，
= = 4．
(1)若 ： = 1：2，求证： //平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知各项均为正数的数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 3， = + 1( ∈ 且 ≥ 2)．
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(1)求{ }的通项公式；
(2) 若 = 2 ，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 ( 6, 2)在 上，且△ 1 2
的面积为 6．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 1 1记点 在 轴上的射影为点 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点.探究：| |2 + | |2是否为定值，若是，求
出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
定义 1：若数列{ }满足① 1 = 1，② ≥ 2， ( 1) = 0，则称{ }为“两点数列”；定义 2：对于给
定的数列{ }，若数列{ }满足① 1 = 1，② +1 = | +1 2 | ，则称{ }为{ }的“生成数列”.已知
{ }为“两点数列”，{ }为{ }的“生成数列”．
+1
(1) 1+( 1)若 = 2 ，求{ }的前 项和 ；
(2)设 ：{ }为常数列， ：{ }为等比数列，从充分性和必要性上判断 是 的什么条件；
(3)求 2025的最大值，并写出使得 2025取到最大值的{ }的一个通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 2
14.( 1 25 , 5 )
15.解：(1)依题意， ′( ) = 2 ′(3) + 5．
则 ′(3) = 2 × 3 ′(3) + 5.解得 ′(3) = 1．
把 ′(3) = 1 代入 ( ) = 2 ′(3) + 5 7，
可得 ( ) = 2 + 5 7．
(2)由(1)可得， ( ) = ( 2 + 5 7) = 3 + 5 2 7 ．
则 ′( ) = 3 2 + 10 7．
因为曲线 = ( )切线斜率为 4，
所以令 ′( ) = 4，即 3 2 + 10 7 = 4．
解得 = 3 = 1或 3．
当 = 3 时， (3) = 33 + 5 × 32 7 × 3 = 3．
= 1 1 1 1当 3时， ( 3 ) = ( 3 )
3 + 5 × ( )23 7 ×
1
3 =
49
27．
当切点为(3, 3)，切线方程为 ( 3) = 4( 3)，整理得 4 + 9 = 0．
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( 1 , 49 49当切点为 3 27 )，切线方程为 ( 27 ) = 4(
1
3 )，整理得 108 + 27 + 13 = 0．
综上所得， = ( )的斜率为 4 的切线方程为 4 + 9 = 0 或 108 + 27 + 13 = 0．
16.
17.解：(1)当 = 2 时， 2 = 2 + 1，
即 3 = 3 + 1 + 1，解得 1 = 1，
因为 = 1( ≥ 2)，
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所以 = ( 1)( + 1)( ≥ 2)，
又 = + 1( ≥ 2)，且 > 0，
所以 1 = 1( ≥ 2)，
因为 1 = 1 = 1 = 1，
所以数列{ }是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 2 = 1 + ( 1) = ，即 = ，
当 ≥ 2 时， = 2 2 1 = ( 1) = 2 1，
当 = 1 时， 1 = 1，满足上式，
所以数列{ }的通项公式为 = 2 1．
(2)由(1) 知 = 2 =
2 1
2 ，
所以 = 1 + 2 +
1 3 5 2 1
3 + + = 2 + 22 + 23 + + 2 ，
1
所以2 =
1
22 +
3 5 2 1
23 + 24 + + 2 +1，
1
1 1 2 2 [1 (
1) 1]
两式相减得，2 = 2 + 22 + 23 + … +
2 2 1 12 2 +1 = 2+
1
2 +
1
22 + … +
1 2 1 1 2 2 2 12 1 2 +1 = 2+ =1 1 2 +12
3 2 +32 2 +1，
所以 = 3
2 +3
2 ．
18.解：(1)设双曲线的焦距为 2 ( > 0)，
1
2 2 2 = 6
由题意得， 2 + 2 = 2 ，
6 2
2 2 = 1
= 2 2
解得 = 1 ，故双曲线 的方程为 2
2 = 1．
= 3
(2)由题意得， ( 6, 0)，
1 1 1 1
当直线 的斜率为零时，则| |2 + | |2 = ( 2+ 6)2 + ( 6 2)2 =
( 2+ 6)2+( 2 6)2 16
(2 6)2 = 16 = 1．
当直线 的斜率不为零时，设直线 的方程为 = 6，点
( 1, 1)， ( 2, 2)，
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2 2 = 1
联立 2 ，整理得( 2 2) 2 2 6 + 4 = 0，
= 6
2 2 ≠ 0
则 = 24 2 16( 2 2) > 0，解得 ≠ 2且 ≠ 2，
+ 2 6 4所以 1 2 = 2 2 , 1 2 = ， 2 2
1 1 1 1 1 2+ 2
所以| |2 +
1 2
| |2 = (1+ 2 + =) 21 (1+ 2) 22 1+ 2
2 21 2
2 6
2 2
4
= 1 ( 1+ 2) 2 1 2 = 1
( ) 2
2 2 2
2
2 1 16 +16
1+ 2 2 2 1+ 2
( 4
= ．
1 2 )2 1+
2 16 = 1
2 2
1 1
综上，| |2 + | |2 = 1，为定值．
19. 1, 为奇数,解：(1)依题意 =
0, 为偶数,
2 , 为奇数,
故 +1 = | +1 2 | =
, 为偶数,
因为 1 = 1，所以 2 = 2 1 = 2，
当 为奇数时， +2 = +1 = 2 ，
当 为偶数时， +2 = 2 +1 = 2 ，即{ }的奇数项，偶数项分别成等比数列．
= ( + + + ) + ( + + + ) = 1 2
2 2
故当 为偶数时， 1 3 1 2 4 1 2 +
2(1 2 )
1 2
= 3 22 3．
+1 +1 +3
当 为奇数时， = +1 +1 = 3 2 2 3 2 2 = 2 2 3．
+3
2 2 3, 为奇数,
综上所述， = ；
3 22 3, 为偶数.
(2)充分性：因为 1 = 1，所以 = 1，
所以 +1 = | +1 2 | = ，
又因为 1 = 1 ≠ 0，所以{ }是以 1 为首项，1 为公比的等比数列，
故 是 的充分条件．
必要性：假设{ }为等比数列，而{ }不为常数列，
则{ }中存在等于 0 的项，设项数最小的等于 0 的项为 ，其中 > 1，
所以 = | 2 1| 1 = 2 1，
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则等比数列{ } 的公比为 = 2( )． 1
又 +1 = | +1| ，得等比数列{ }的公比为| +1| ≤ 1，与( )式矛盾，
所以假设不成立，所以当{ }为等比数列时，{ }为常数列，
故 是 的必要条件．
综上，可知 是 的充要条件．
(3)当 = 1， +1 = 1 时， +1 = ，当 = 1， +1 = 0 时， +1 = 2 ，
当 = 0， +1 = 1 时， +1 = ，当 = 0， +1 = 0 时， +1 = 0．
综上所述， +2 = 或 +2 = 2 或 +2 = 0(上述四种情形每种中 +2 = 0 或 1)．
又由题意可知 ≥ 0，所以 +2 ≤ 2 ，
所以 ≤ 2 ≤ ≤ 21012 = 21012，故 的最大值为210122025 2023 1 2025 ，
1, 为奇数,
此时{ }的通项公式可以是 = ．
0, 为偶数.
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