2024-2025 学年广东省佛山市石门中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导正确的是( )
A. ( 2)′ = 2 B. ( 2 )′ = log2 + 2
C. [(2 + 1)4]′ = 8(2 + 1)3 D. (2 + )′ = 2 2 + 1
2.在等差数列{ }，中， 1 = 1，其前 项和为
，若 4 2 4 2 = 2，则 6 =( )
A. 12 B. 18 C. 30 D. 36
3 1.数列{ }的通项公式为 = 2 + + 1，则“ > 3”是“{ }为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
4.在一个数列中，如果 ∈ ，都有 +1 +2 = ( 为常数)，那么这个数列叫做等积数列， 叫做这个
数列的公积.已知数列{ }是等积数列，且 1 = 1， 2 = 2，公积为 8，则 1 + 2 + + 2024 =( )
A. 4719 B. 4721 C. 4723 D. 4724
5.已知函数 ( ) ( )与 ′( )的图象如图所示，则函数 = ( )
A.在区间( 1,2)上是减函数
B. 3 1在区间( 2 , 2 )上是减函数
C.在区间(0,2)上是减函数
D.在区间( 1,1)上是减函数
2
6.若函数 ( ) = 2 在(0, )上不单调，则实数 的取值范围是( )
A. [1, + ∞) B. (1, + ∞) C. (0,1) D. (0,1]
7. ( )在(0, + ∞)上的导函数为 ′( )， ′( ) > 2 ( )，则下列不等式成立的是( )
A. 20242 (2025) > 20252 (2024) B. 20242 (2025) < 20252 (2024)
C. 2024 (2025) > 2025 (2024) D. 2024 (2025) < 2025 (2024)
8.已知函数 ( ) = 33 +1 ( ∈ )，正项等比数列{ }满足 50 = 1，则 ( 1) + ( 2) + … + ( 99) =( )
A. 99 B. 101 C. 992 D.
101
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设曲线 ( ) = 在点 处的切线为 ，则直线 的斜率可能的值为( )
第 1页，共 7页
A. 1 13 B. 2 C. 1 D.
3
2
10.对函数 ( ) = 3 3 + 1 的描述正确的有( )
A. ( )的对称中心为(0,1)
B.若关于 的方程 ( ) = 有三解，则 1 < < 3
C.若 = ( )在[ 2, )上有极小值，则 > 1
D.若 ( )在[ , ]上的最大值、最小值分别为 8、 6，则 + = 0
11.设{ }( ∈ + )为公比为 ( ≠ 0)的等比数列， = [ ]，其中符号[ ]表示不超过 的最大整数，则( )
A.若 1 = 1， = 2，则 4 = 3
B.若 1 = 2，
1 2
1 + 2 + … + 的最大值为 3，则 的取值范围是[ 2 , 2 )
C.若 1 ≠ 0，{ }为常数列，则{ }为常数列
D.若{ }与{ }为同一个数列，则 1、 均为非零整数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项和 = 3 3( 是常数)，则 2 = ______．
13.函数 ( ) = 2 的定义域是[0,2 ]，若 ( ) ≤ ( )恒成立，则 = ______．
14.某工厂去年 12 月试产 1050 个高新电子产品，产品合格率为 90%.从今年 1 月开始，工厂在接下来的两
年中将生产这款产品. 1 月按去年 12 月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上
提高 5%，产品合格率比前一个月增加 0.4%.设从今年 1 月起(作为第一个月)，第______个月，月不合格品
数量首次控制在 100 个以内，(参考数据：1.0510 ≈ 1.6，1.0511 ≈ 1.7，1.0512 ≈ 1.8，1.0513 ≈ 1.9)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 1 时，求 ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性．
16.(本小题 15 分)
数列{ }、{ }满足： 2 = 1， +1 = + 2( ∈ )，3 = + 2( ∈ )，其中 是数列{ }的前 项和．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上异于原点 的两点，且 = | |2 | |2，直线
第 2页，共 7页
与 轴相交于 ．
(1)若 ， 到 轴的距离的积为 4，求抛物线 的准线方程；
(2) 是 | |轴上的点，直线 与抛物线交于另一点 ，直线 与 轴相交于 ，若 = 3 ，求| |．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，设 0 ∈ ，曲线在点( 0, ( 0))处的切线交 轴于点( 1, 0)，当 ≥ 1 时，设
曲线在点( , ( ))处的切线交 轴于点( +1, 0)，依次类推，称得到的数列{ }为函数 = ( )关于 0的“
数列”. { }
2 +1 3
是函数 ( ) = +1关于 0 = 4的“ 数列”，记 = log2|2 + 1|．
(1)证明：数列{ }为等比数列；
(2)证明{ }中不存在 3 个不同的项 、 、 成等差数列；
(3)在 和 +1( ∈ +)中插入 个相同的数 2 ，构成一个新数列{ }，设{ }的前 项和为 ，是否存在 ∈ ，
当 ≥ 时，恒有 ≤ 0？若存在，求 的最小值，并证明你的结论．
19.(本小题 17 分)
如图多面体中，四边形 为菱形，且∠ = 60°， // ， ⊥ ， = = 2 = 2， ，
分别为棱 ， 上的点且 = 2 ， = 2 ．
(1)用向量法证明： //平面 ；
(2)若平面 ⊥平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.5 3
14.13
15.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + 1 ， ′( ) =
1
2 ， ∈ (0, + ∞)，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，(1, + ∞)上单调递增，
所以当 + 1 时有极小值为 (1) = 1，无极大值；
(2) ( ) = 1 + + 易知 ′ 2 = 2 ， ∈ (0, + ∞)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，无减区间；
当 < 0 时，令 ′( ) > 0，解得 > ，令 ′( ) <，解得 0 < < ，
所以函数 ( )在(0, )上单调递减，( , + ∞)单调递增．
综上所述，当 ≥ 0 时， ( )的增区间为(0, + ∞)，无减区间；
当 < 0 时，函数 ( )的减区间为(0, )，增区间为( , + ∞)．
16.解：(1)数列{ }、{ }满足： 2 = 1， +1 = + 2( ∈ )，3 = + 2( ∈ )，
其中 是数列{ }的前 项和，
可得 +1 = 2，
则{ }是公差为 2 的等差数列，
第 4页，共 7页
所以 = 2 + ( 2) = 1 + 2( 2) = 2 3；
对于 3 = + 2( ∈ )，
当 = 1 时，3 1 = 1 + 2 = 3 1，解得 1 = 1；
所以 ≥ 2 时，可得 3 1 = 1 + 2，作差得 3( 1) = 1，
1
化简得 = 2 1( ≥ 2)，
1
所以{ }是首项为 1，公比为 2的等比数列，
1
所以 1 = ( 2 ) ( ≥ 2)，
又 1也满足上式，所以 = (
1 ) 12 ．
(2) 1因为 = (2 3) ( 2 )
1，
1 1 1
所以 = 1+ ( 1 2 12 ) + 3 × ( 2 ) + . . . + (2 3) × ( 2 ) ，①
12 = 1 (
1
2 ) + (
1 )2 + 3 × ( 1 32 2 ) + . . . + (2 3) × (
1
2 ) ，②
① 3 1②得， = 1 + 2[( )1 + ( 1 )2 + . . . + ( 1 ) 12 2 2 2 ] (2 3) × (
1 ) 2
= 1 2 1 13 [1 ( 2 ) ] (2 3) × (
1
2 )
，
= 6 5 × ( 1 ) 1 10 = 12 +10 1 10整理得： 9 2 9 9 × ( 2 ) 9．
17.解：(1)根据题目：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上异于原点 的两点，
且 = | |2 | |2，直线 与 轴相交于 ．
由 = | |2 | |2，得( 2 1, 2 1) ( 1, 1) = ( 2 1)2 + ( 2 2 22 1) ( 2 + 2)，
2 = 2 2 2
整理得 1 1 1 21 2 + 1 2 = 0，又 ，则 + = 0， 2 = 2 4 2 1 22 2
而 1 2 ≠ 0，因此 1 2 = 4 2，由 ， 到 轴的距离的积为 4，得| 1|| 2| = 4，则 = 1，
1
所以抛物线 的准线方程为： = 2．
(2)设 ( , 0)， ( 3, 3)， ( , 0)， ( , 0)，
由 = 3 ，得 3 = 3 2，
= +
设直线 方程为： = + ，由 2 2 = 2 消去 得 2 2 = 0，则 1 2 = 2 ，
设直线 的方程为： = + ，同理得 1 3 = 2 ，则 3 1 2 = 2 ，
所以 = 3 | | | |，| | = | | = 3．
第 5页，共 7页
18.解：(1)证明：因为{ }是函数 ( ) =
2 +1 3
+1关于 0 = 4的“ 数列”， = log2|2 + 1|，
( ) = 1所以 ′ ( +1)2，
所以 ( ) ( 1在 , ( ))处的切线斜率为 ′( ) = ( ， +1)2
2 +1 1所以切线方程为 +1 = ( +1)2
( )，
令 = 0，可得 2 +1 = (2 + 1)( + 1) = 2 2 1，
所以 (2 2 +1 + 1) = (2 + 1) ，
所以 +1 = log2|2 +1 + 1| = 2 2|2 + 1| = 2 ，
即 +1 = 2，又 = 2， 1
所以{ }是以首项为 2，公比为 2 的等比数列；
(2)证明： = 2 ，{ }递减．设存在 ， ， 成等差数列( < < )，则 2 = + ，
有：2 × ( 22 ) = ( 2 ) + ( 2 )
两边同时除以 2 ，有 2 × 22 = 1 + 2 ( )
因 2 ， 都是正整数，故上式左侧22 是偶数，右侧 1 + 2 是奇数，等式不可能成立．
故假设不存在，不存在 、 、 成等差数列．
2 2
(3) + (1 + 2 + + ( 1)) = + { } + 显然由 2 得 是 的第 2 项．
2+ < < ( +1)( +2)
2
则当 2 2 时， = 2 > 0，此时有 > 1 > … >
+
，其中 = 2 ．
个相同的数 2 的和为 2 2，
2
当 = 8 + 时， 2 = 36，
2 2
35 = ( 1 + 2 + … + 7) + 2(1 + 2 + … + 72) = 2 28 + 280 = 26 > 0
= + 836 35 36 = 26 2 = 230 < 0，
当 ∈ [37,44]时， = 16，故 < 44 = 230 + 8 × 16 < 0，
设 = + 2 + 2 + … + 2 = 2 2 2 ， 9 < 0，
+1 = 2( + 1)2 2 +1 [2 2 2 ]
= 4 + 2 2 < 4 + 2 2 2 = (4 ) + 2 2，
当 ≥ 9 时，则 4 < 0，2 2 < 0，故 2 +1 < 4 + 2 2 < 0，即： +1 < 9 < 0，
故当 ≥ 45 时，
= 44 + ( 9 + 18 + 18 + … + 18) + … + + 2 + 2 + … < 44 + 9 + 10 + … < 44 < 0．
综上有： ≥ 36 时，恒有 < 0， 的最小值为 36．
第 6页，共 7页
19.解：(1)证明：由 = 2 ， = 2 2，可得 = 3
1
， = + 2 3 3 ，
因四边形 为菱形，可得 = 2 = 2 3 3 ，
则 = + + = 1 2 + + 2 = 1 3 3 3 3
，
所以向量 ， ， 共面，
又因为 平面 ，且 ， 平面 内，
故 //平面 ．
(2)在平面 内，作 ⊥ 交 于 ，
因为四边形 是边长为 2 的菱形，可得∠ = 60°
所以 = × 60° = 1，且 = 3．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，且 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线，分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 (2,0,0)， (0, 3, 1)， (0,0,2)， (2,0,0)，
所以 = ( 2, 3, 1)， = = (0,0,2)， = 1 3
= ( 2 23 , 0,2) = 3 ( 1,0,3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥
= 2 + 3 = 0
，则 ，
⊥ = 2 = 0
取 = 3，可得 = 2， = 0，所以 = ( 3, 2,0)，
2
设直线 与平面 所成角为 ，由| | = 3 10，| | = 7，
| = | = | 1× 3| = 210则
|
，
| | | 10× 7 70
210
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 70 ．
第 7页，共 7页
