2024-2025 学年广东省江门市培英高级中学高二下学期 3 月阶段考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 3 1 5.数列 ， 4，2， 16，…的一个通项公式为
A. ( 1) +1 +1 B. ( 1) +1 2 1 C. ( 1) +1 D. ( 1) +1 2 12 2 2 2
2.已知等差数列 的前 项和为 ，且 2 + 3 = 10， 5 = 30，则数列 的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 .记 为等比数列{ }的前 项和．若 5– 3 = 12， 6– 4 = 24，则 =( )
A. 2 –1 B. 2–21–
C. 2–2 –1 D. 21– –1
4.已知 ( +2 ) ( )′ 0 = 3， lim 0 0 的值是( ) →0 3
A. 3 B. 2 C. 23 D.
3
2
5.下列各式正确的是( )
A. ln 2 + 1 ′ = 12 +1 B. 2
′ = 2 1 + ln2
′
C. cos = sin +cos
′
2 D. =
1
2
6.已知函数 = 3 + 3 ′ 2 ，则 ′ 1 =( )
A. 15 B. 3 C. 3 D. 15
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列 1，3，
6，10，后前两项之差得到新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.
对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前 7 项分别为 3，4，
6，9，13，18，24，则该数列的第 19 项为( )
A. 174 B. 184 C. 188 D. 190
8.已知函数 = 16
3 + 1 2 12 + 的导函数 ′ 是偶函数，若方程 ′ ln = 0 在区间 , (其中
为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A. 1 1 , 1 B. 1 1 , 1 C. 1 1 2, 1 D. 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.关于函数 = ln ，以下说法正确的有( )
A. ′ 2 = 3 B. 在 ∞, 1 单调递减
C. 在 0, 1单调递减 D. 在 , + ∞ 单调递增
10.若函数 = 3 12 在区间 1, + 1 上不是单调函数，则实数 的可能取值是( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
,当 为偶数时
11 .已知正项数列 满足 = 2 +1 ，则下列结论一定正确的是( )
+ 3,当 为奇数时
A.若 1 = 10，则 2023 = 2 B.若 3 = 16，则 1的值有 3 种情况
C.若数列 满足 +2 = ，则 1 = 3 D.若 为奇数，则 1 = 2 ( ≥ 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等比数列 中， , 是方程 2 1 17 6 + 2 = 0
的根，则 2 16 的值为 ．9
13 1 .已知数列 满足 1 = 2，且 +1 = 4 +1，则 = ．
14.已知定义在 上的奇函数 ，设其导函数为 ′ ，当 ∈ ∞,0 时，恒有 ′ < ，令 =
，则满足 3 > 2 1 的实数 的取值集合是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = 2 2 ，
(1)若数列 的前 项和 = ，求数列的通项公式 ；
(2)求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
已知等比数列 满足 3 = 21 2, 4 = 128．
(1)求数列 的通项公式；
(2) = 1 = 10记 ， 为数列 的前 项和，若 21，求正整数 的值．2 2 +1
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 1 ln + ，其中 ∈ ．
(1)若 ′ 1 = ，求 的值；
(2)若函数 在定义域内单调递减，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
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已知数列 满足： 1 = 2，且对于任意正整数 ，均有 +1 + 1 = + 1 ．
(1) = 设 ，证明： 为等差数列；
(2) 3 +3设 = 2 ， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，若2 ≤ 对任意的 ∈ 恒成立，
求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
1
设函数 = ln + 2 + 22 1 ( 为非零常数)
(1)若曲线 在点 0, 0 处的切线经过点 1, ln2 ，求实数 的值；
(2)讨论函数 = 的单调性．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. 14 2
14. 1,2
15.(1)因为 = 2 2 ，数列 的前 项和 = = 2 2 ，
当 = 1 时， = = 2 × 121 1 1 = 1，
当 ≥ 2 且 ∈ 时， = 1 = 2 2 2 1 2 1 = 4 3．
1 = 1 满足 = 4 3，故对任意的 ∈ ， = 4 3．
(2)因为 = 2 2 ，则 ′ = 4 1，所以， 1 = 1， ′ 1 = 3，
因此，曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程为 1 = 3 1 ，即 3 2 = 0．
2 3
16. = (1) = 2设数列 1 1 的公比为 ，则 3 ，解得
1
= 4 ，则 = 2 × 4
1 = 22 1，
1 = 128
所以数列 的通项公式为 = 22 1 ．
(2)由(1)知 1 1 1 1 1 = 222 1 22 +1
= 2 1 2 +1 =2 2 2 1
2 +1 ，
= 1 1 1 + 1 1 + + 1 1 1 1 所以 2 3 3 5 2 1 2 +1 = 2 1 2 +1 = 2 +1．
= 10 10由 21，得2 +1 = 21，解得 = 10，
10
所以满足 = 21的正整数 的值为 10．
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17.(1) 1已知函数 = ln + ，则 ′ =
1 2 ln + ，
因为 ′ 1 = ，则 ′ 1 = ( 1 + ) = ，解得 = 2．
(2)因为函数 = 1 ln + 在 0, + ∞ 上是减函数，
1
所以 ′ = 2 ln + ≤ 0 对 ∈ 0, + ∞ 恒成立，
1
所以 ≤ 2 + ln ，
令 = 1 2 + ln ，
则由 ′ = 2 1 1 2 3 + = (1 2 ) = 0 得 = 2，
当 ∈ 0, 2 时， ′ < 0，当 ∈ 2, + ∞ 时， ′ > 0，
所以 ( )在 0, 2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增，
1 1
所以 min = 2 = 2 + 2 ln2，
故只需 ≤ ( ) 1 1min = 2 + 2 ln2
1 1故 的取值范围是 ∞, 2+ 2 ln2 ．
18.(1)数列 满足： 1 = 2，且对于任意正整数 ，均有 +1 + 1 = + 1 ．
等式 +1 + 1 = + 1 两边同时除以 + 1
可得 +1 +1 = 1，
因为 = ，则 +1 = 1，且 1 = 1 = 2，
所以，数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列．
(2) (1) +1由 可得 = 2 + 1 = + 1，所以， = 2 = 2 +1，
= 2+ +1 = +3 2 2 ，
=
2
22 +
3 4 +1
23 + 24 + + 2 +1，
1
则2 =
2 3
23 + 24 + + 2 +1 +
+1
2 +2，
1 1
1 1 1 1 1 +1 1 3 1 1 +1
上述两个等式作差可得 = 2 22 2 + 23 + 24 + + 2 +1 2 +2 = 2 + 1 1 2 +22
= 3 +34 2 +2，
所以， =
3
2
+3
2 +1，
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3 ≤ +3 +3 +3 2 因为2 对任意的 ∈ 恒成立，即2 +1 ≤ +3 = ， 2
+3 +3
参变分离可得 ≥ 2 +2 ，令 = 2 +2 ，则 ≥ max，
+1 +4 +3 4
2
+1 = 2 +3 2 +2 = 2 +3 ，
当 = 1 时， 2 1 > 0，即 1 < 2，
当 ≥ 2 且 ∈ 时， +1 < 0，即数列 从第二项开始单调递减，
2×5 5 5
所以，数列 的最大项的值为 2 = 24 = 8，故 ≥ 8，
因此，实数 5的取值范围是 8 , + ∞ ．
19.(1)函数 = ln + 2 + 1 22 1 ，求导得： ( ) =
+ (0) = ′ +2 ，则有 ′ 2，而 (0) = ln2
1
2，
0, 0 ( ln2 1 ) = 因此曲线 在点 处的切线方程为 2 2 ，则有 ln2 ( ln2
1
2 ) =
2，
1 1 1
即( 2+ ln2) = ln2 + 2，而2 + ln2 > 0，则 = 1，
所以实数 的值为 1．
2 2
(2)函数 = ln + 2 + 1 22 1 的定义域为( 2, + ∞)， ′( ) =
+2 + ( +1) + 1
+2 = +2 ，
当 ≥ 1 时，恒有 ′( ) ≥ 0，当且仅当 = 1 且 = 1 取等号，则函数 ( )在( 2, + ∞)上单调递增，
当 < 1 时，由 2 + 2 + = 0 解得 1 = 1 1 ， 2 = 1 + 1 ，
当 1 = 1 1 > 2，即 0 < < 1 时，当 2 < < 1或 > 2时， ′( ) > 0，当 1 < < 2时，
′( ) < 0，
因此函数 ( )在( 2, 1 1 )，( 1 + 1 , + ∞)上单调递增，在( 1 1 , 1 + 1 )
上单调递减，
当 ≤ 0，即 1 1 ≤ 2 时，当 2 < < 2时， ′( ) < 0，当 > 2时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在( 2, 1 + 1 )上单调递减，在( 1 + 1 , + ∞)上单调递增，
所以当 ≤ 0 时， ( )递减区间是( 2, 1 + 1 )，递增区间是( 1 + 1 , + ∞)；
当 0 < < 1 时， ( )递增区间是( 2, 1 1 )，( 1 + 1 , + ∞)，递减区间是( 1 1 ,
1 + 1 )；
当 ≥ 1 时， ( )递增区间是( 2, + ∞)．
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