2024-2025 学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. 300° =( )
A. 32 B.
1
2 C.
1
2 D.
3
2
2.下列函数中，最小正周期为 且是偶函数的是( )
A. = sin( + 4 ) B. = C. = 2 D. = 2
3.将函数 ( ) = sin(2 3 )
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)，再向右平移3个单位
长度，得到函数 ( )的图象，则 ( 2 ) =( )
A. 1 B. 22 2 C.
3
2 D. 1
4.如图，在△ 中，点 是 的中点，点 是 的中点，设 = ， = ，那么 =( )
A. 14 +
3
4
B. 14
3
4
C. 3 1 4 + 4
D. 34
1
4
5.函数 ( ) = ( + )(其中 > 0， > 0，0 < < )的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式
是( )
A. ( ) = 3 ( 4 +
2 )
B. ( ) = 3 ( 4 +
3
4 )
C. ( ) = 3 ( 8 +
4 )
D. ( ) = 3 ( + 3 8 4 )
6 1+ 2 .函数 ( ) = 的图像( )
A. 关于原点对称 B.关于 轴对称 C.关于直线 = 2对称 D.关于点( , 0)对称
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7.已知向量 ， 不共线，且向量 = + ， = + (2 1) ，若 与 反向，则实数 的值为( )
A. 1 B. 12 C. 1
1
或 2 D. 1
1
或 2
8.已知向量 1, 2为非零向量，则“| 1 + 2| = | 1| + | 2|”是“存在非零实数 ， ，使得 1+ 2 = 0”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.军事上通常用密位制来度量角.狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而
狙击枪上的角度单位为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位
数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如 1 个平角(即 ) = 30 00，
1 个周角(即 2 ) = 60 00.已知函数 ( ) = 2 ( 3 )，将 ( )图象上所
有点横坐标扩大为原来的 2 倍，再将所得图象向右平移 ( > 0)个单位长度后得到函
数 ( )的图象，若 ( )的图象关于 轴对称，则 的最小值用密位制可以表示为( )
A. 25 00 B. 10 00 C. 02 00 D. 50 00
10.在平面直角坐标系 中，已知 ( 3, 0)， (1,2)，动点 满足 = 1 + 2 ，其中 1， 2 ∈ [1,2]，
1 + 2 ∈ [3,4]，则所有点 构成的图形面积为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 72° 42° 72° 42° = ______．
12.已知平面向量 = (2,1)， = (4, )，且 / / ，则实数 = ______．
13.已知非零向量 ， 夹角为 45°，且| | = 2，| | = 2，则| |等于______．
14.设 、 、 是单位向量，且 = 0，则( ) ( )的最小值为______．
15.已知 ， ， ， ， 在同一平面内，| | = | | = | | = | | = 2，且 与 的夹角为 60°，则| +
|的最大值为______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
已知平面向量 = (2,2)， = ( , 1)( > 0).从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问
题：
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求向量 ， 夹角的余弦值．
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条件①： ⊥ ( 2 )；条件②：| + | = 26．
注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = cos2 + 1 ( > 0) 2 且函数 ( )相邻两个对称轴之间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式及最小正周期；
(2)当 ∈ [0, 2 ]时，对于 ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 12 分)
1
已知 = 3， ∈ (0, 2 )，1 = 2 ， ∈ ( 2 , )．
(1)求 tan( 4 + )及 的值；
(2)求 cos( )的值．
19.(本小题 12 分)
如图，某公园摩天轮的半径为 40 ，圆心 距地面的高度为 50 ，摩天轮做匀速转动，每 3 转一圈，摩
天轮上的点 的起始位置在距地面最近处．
(1) 已知在 ( )时点 距离地面的高度为 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | ≤ 2 ).求 = 23 时，点
距离地面的高度；
(2)当离地面(50 + 20 3) 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点 处有多少时间可以看到公园的
全貌．
20.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )( 其中 > 0，| | < 2 )的最小正周期为 ，它的一个对称中心为( 6 , 0)．
(1)求函数 = ( )的解析式；
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(2)当 ∈ [0, 2 3 ]时，方程 ( ) = 2 3 有两个不等的实根，求实数 的取值范围；
(3) 1若方程 ( ) = 3在(0, )上的解为 1， 2，求 cos( 1 2).
21.(本小题 14 分)
在平面直角坐标系 1中，已知一列点： 1(1, 2 )， (2,
2 3
2 3 )， 3(3, 4 )，…， ( , +1 )，…，其中 ∈ +，
向量 = (0,1)．
(Ⅰ)求 1 2 和 2 3 的值；
(Ⅱ)证明：对任意的正整数 ，都有 +1 > +1 +2 ；
(Ⅲ)若正整数 ， ， 满足 < < ，则下列结论中正确的有______. (填入所有正确选项的序号)
① > + ；
②| + | > | + |；
③| | > | + |.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.12
12.2
13.2 2
14.1 2
15.4 + 2 3
16.解：若选择①，
(Ⅰ)根据题意，向量 = (2,2)， = ( , 1)( > 0)，
若 ⊥ ( 2 )，则 ( 2 ) = 2 2 = 0，即 8 2(2 2) = 12 4 = 0，
解可得 = 3，故 = 3，
(Ⅱ)设向量 ， 夹角为 ，
由(Ⅰ)的结论， = 3，则 = (3, 1)，
则有| | = 4 + 4 = 2 2，| | = 9 + 1 = 10， = 6 2 = 4，
=
4 5
则 = = ．
| || | 2 2× 10 5
若选择②，
(Ⅰ)根据题意，向量 = (2,2)， = ( , 1)，则 + = (2 + , 1)，
若| + | = 26，则( + 2)2 + 1 = 26，解可得 = 3 或 5，
又由 > 0，则 = 3；
(Ⅱ)设向量 ， 夹角为 ，
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由(Ⅰ)的结论， = 3，则 = (3, 1)，
则有| | = 4 + 4 = 2 2，| | = 9 + 1 = 10， = 6 2 = 4，
=
= 4 5则
| || | 2 2× 10
= 5 ．
17.解：(1) ( ) = 12 2
1+ 2 + 1 12 2 = 2 2
1
2 2 =
2
2 sin(2
4 )，
∵ 函数 ( )相邻两个对称轴之间的距离为2，
∴ = = 2 |2 | = 1，解得 = 1，
∴ ( ) = 22 sin(2
4 )，最小正周期为 ．
(2)当 ∈ [0, 2 ]时，对于 ( ) ≥ 0 恒成立等价于当 ∈ [0, 2 ]时， ( ) ≥ ，
∵ ∈ [0, 2 ]，
∴ 2 3 4 ∈ [ 4 , 4 ]，
∴ ( )在 = 1 14处取得最小值 2，即 ≤ 2，
1
故 的取值范围为( ∞, 2 ]．
18. 1解：(1) ∵ = 3，
tan 1
∴ tan(
+ 1+
4 + ) =
4 3
1 tan 4
= = 2，
1 1×13
∵ 1 = 2 = 1 2 2 ， ∈ ( 2 , )，
∴ = 12．
(2) ∵ = = 1cos 3，
∴ = 3 ，
又∵ sin2 + cos2 = 1， ∈ (0, 2 )，
∴ = 10 3 1010 ， = 10 ，
∵ = 1 2， ∈ ( 2 , )，
∴ = 1 sin2 = 1 ( 1 2 32 ) = 2 ，
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∴ cos( ) = +
= 3 × 3 102 10 +
1
2 ×
10 10 3 30
10 = 20 ．
19.解：(1)依题意知， = 40， = 50， = 3，
= 2 2 2 由 = 3，解得 = 3，所以 ( ) = 40 ( 3 + ) + 50，
因为 (0) = 10，所以 = 1 ，又| | ≤ 2，所以 = 2，
所以 ( ) = 40 ( 2 2 3 2 ) + 50 = 50 40 3 ( ≥ 0)，
所以 (23) = 50 40 46 3 = 50 40 (15 +
3 ) = 50 + 40
3 = 70，
即 = 23 时点 距离地面的高度为 70 ；
(2)令 ( ) > 50 + 20 3，即 cos 2 33 < 2 ，
5 2 7
解得 2 + 6 < 3 < 2 + 6 ( ∈
)，
3 + 5即 4 < < 3 +
7
4 ( ∈
)，
3 + 7又 4 (3 +
5
4 ) =
1
2 = 0.5( ∈
)，
所以转一圈中在点 处有 0.5 的时间可以看到公园的全貌．
20.解：(1) ∵ = = 2 2 ，∴ = 1，
∵ ( ) ( 又 的一个对称中心为 6 , 0)，
∴ sin(2 × 6 + ) = 0，
∴ 3 + = ，∴ =
3， ∈ ，
又∵ | | < 2，∴ =
3，
∴ ( ) = sin(2 3 ).
(2)作 ( ) = sin(2 ) 2 3 ， ∈ [0, 3 ]与 = 2 3 的图象，如图，
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可知 0 ≤ 2 3 < 1，∴ 3 ≤ < 2 32 ，即实数 的取值范围为[ 2 , 2)．
(3) 1方程 ( ) = 3在(0, )上的解为 1， 2，如图所示，
5 5
易知 1 + 2 = 2 × 12 = 6，且 ( 1) = sin(2
1
1 3 ) = 3，
5
∴ cos( 1 2) = cos[ 1 ( 6 1)]
5
= cos(2 1 6 ) = cos[(2 1 3 ) 2 ]
= sin(2 1 3 ) =
1
3．
21. 1解：(1) ∵ 1 2 = (1, 6 ), = (0,1)，∴ 1 2 =
1
6．
∵ 1 12 3 = (1, 12 ), = (0,1)，∴ 2 3 = 12．
(2) ∵ +
1
1 = (1, ( +1)( +2) ),
= (0,1)，
∴ +1 =
1
( +1)( +2)．
∵ +1 +2 = (1,
1
( +2)( +3) ), = (0,1)，
1
∴ +1 +2 = ( +2)( +3)
∴ +1
1 1 1 = +1 +2 ( +1)( +2) ( +2)( +3)
= 2( +1)( +2)( +3) > 0．
∴ +1 > +1 +2 ．
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(3)对于①， ( ,
), ( ,
), +1 +1
= ( , +1 +1 ), = +1 +1，
( + , + ) + + ，所以 + = ( , )，
+
+ +1 + +1 +1
+ = + +1
+1，
+
+ = +1 +1 + +1 + +1
2 +
= +1 ( +1 + + +1 )
= 2 2 ( +1) 2
2 [( +1)2 2] ( +1)[ ( +1) 2] 2
+1 ( +1)( + +1) = 2 ( +1)( +1)( + +1) = 2 ( +1)( +1)( + +1) > 0，
> + ，故①正确；
+ +
对于②， + ( + , + +1 ), ( , +1 )，所以 + = ( , + +1 +1 ) = ( , ( +1)( + +1) )，| + | =
2 2 + [( +1)( + +1)]2，
同理， +
2
= ( , 2 ( +1)( + +1) ), | + | = + [( +1)( + +1)]2，
因为 > > ，所以( + 1)( + + 1) > ( + 1)( + + 1)，
| + | < | + |，所以②错误；
对于③， = ( ,
) = ( , +1 +1 ( +1)( +1 ) )，
因为 > > ，所以( + 1)( + + 1) > ( + 1)( + 1)，
2 2
所以 2 + 2 [( +1)( +1 )]2 > + [( +1)( + +1)]2，
即| | > | + |，所以③正确．
所以正确选项的序号为：①③．
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