2024-2025 学年四川省成都七中高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角 满足 2 = cos2 ，则 =( )
A. 1 B. 12 C. 0 D. 1
2.已知 ∈ (0, 2 )，sin(
10 ) =
1
3，则 cos( +
2
5 ) =( )
A. 2 23 B.
2 2 C. 1 D. 13 3 3
3.函数 ( ) = 3 ( ∈ [0, ])的单调递增区间是( )
A. [0, 11 5 12 ] B. [ 6 , 6 ] C. [0,
5
6 ] D. [
6 , 0]
4 .若 = ( 2 < <
2 )， + =
2 + 2sin( + )(0 ≤ < 2 )，下列判断错误的是( )
A.当 > 0， > 0 时， = B.当 > 0， < 0 时， = + 2
C.当 < 0， > 0 时， = + D.当 < 0， < 0 时， = + 2
5.如图，圆 内接边长为 1 的正方形 ， 是弧 (包括端点)上一点，则 的取值范围是( )
A. [1, 4+ 24 ]
B. [1, 1+ 22 ]
C. [1, 2+ 22 ]
D. [ 24 , 1]
6.已知 > 0，曲线 = 与 = cos( 3 )相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 =( )
A. 33 B.
2
2 C. 2 D. 3
7.定义域为 的偶函数 ( )在( ∞,0]上单调递减，且 (3) = 0，若关于 的不等式( 2) ( 2) ≥ ( +
3) (2 )的解集为[ 1, + ∞)，则 2 + +1的最小值为( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 2 D. 2
8.若实数 ， 满足 + = 1，则 的最小值为( )
A. 14 B. 0 C.
1
2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2,2)，( 2,4)，(0,0)，则另一个顶点的坐标可以是( )
A. (0, 6) B. (0,6) C. (4, 2) D. ( 4,2)
10 .关于函数 ( ) = cos(3 + 4 )的图像变换，下列说法正确的是( )
A. 将 ( )的图像向右平移4个单位，得到函数 = 3 的图像
B. 将 ( )的图像向右平移12个单位，得到函数 = 3 的图像
C.将 ( ) 图像上的点横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 = cos( + 4 )图像
D. ( ) 1 将 图像上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到 = cos( + 4 )图像
11. △ 中，∠ = 90° ， = 3， = 1， +
+ = 0，以下正确的是( )| | | | | |
A. ∠ = 120° B. ∠ = 150° C. 2 = D. =
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2)， = ( , 1)，若 + 与 共线，则 的值为______．
13.如图：在平行四边形 中， 为对角线 与 的交点， 为直线
与 的交点， 为直线 与 的交点，若 = 3， = 4，∠ = 3，
且 = 1 2 ,
= 1 2 ，则 = ______．
14 .已知函数 ( ) = sin( + 3 )( > 0)区间( , 2 )内没有零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
对任意两个非零向量 ， ，定义新运算： = | |sin , | | ．
(1)若向量 = (3,4)， = (2,0)，求 的值；
(2)若非零向量 , 满足| | = 2| |，且 > 3，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图所示，在△ 中， 是边 的中点， 在边 上， = 2 ， 与 交于点 ．
(1)以 ， 为基底表示 ；
(2)若 = + ，求 ， 的值．
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17.(本小题 15 分)
已知向量 = ( , 2 )， = (2 , 3 )，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( ) = 在[0, ]上的单调递减区间；
(2)若 ( 0) =
11
5，且 0 ∈ ( 6 , 3 )，求 2 0的值．
18.(本小题 17 分)
已知在△ 中， = 2， = 3，且|3 + 2(1 ) |的最小值为 3， 为 边上任意一点，求
的最小值．
19.(本小题 17 分)
3
已知函数 ( ) = + 3sin2 2 ，将 ( )的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，再向左平
移3个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍，得到函数 ( )的图象．
(1)求函数 ( )的单调递增区间，并写出函数 ( )的解析式；
(2)关于 的方程 ( ) + = 0 在[0,2 )内有两个不同的解 1， 2；
①求实数 的取值范围；
②用 的代数式表示 cos( 1 2)的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.1019
14.(0, 13 ] ∪ [
2 5
3 , 6 ]
15.解：(1)对任意两个非零向量 ， ，定义新运算： = | |sin , | | ，
已知向量 = (3,4)， = (2,0)，则| | = 32 + 42 = 5，| | = 2， = 6，
于是 cos ,
= = 3，而
| || | 5 0 ≤ ,
≤ ，则 sin , = 1 cos2 , = 4，5
5×4
所以根据向量的新定义运算可得 = | |sin , =
5
2 = 2；| |
(2)若非零向量 , 满足| | = 2| |，且 > 3，
= | |sin ,
根据向量的新定义运算可得 = 2 , > 3，则 3
| | 2 < sin ,
≤ 1，
所以 = | |sin , 1| | = 2 sin ,
∈ ( 3 , 1
4 2 ],
则 的取值范围为( 34 ,
1
2 ]．
16.解：(1)在△ 中， 是边 的中点， = 1 = 1 ( + 2 2 ) =
1 1
2 + 2 ；
(2)先证明以下结论，
若 ， ， 三点共线， = + ，则有 + = 1，
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不妨设 = ，则有 = ，
所以 = (1 + ) ，故 = 1 + ， = ，
所以 + = 1，证毕；
连接 ，若 = + ，
则 = + = + ( ) = +
= ( ) + ，
3
因为 2 =
，2 = ，
= ( ) + 2 = 3所以 ， ( ) + 2
，
因为 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
( ) + 2 = 1 = 3
所以 3 ( ) + = 1，解得
4．
2 =
1
4
17.解：(1)已知向量 = ( , 2 )， = (2 , 3 )，函数 ( ) = ，
根据平面向量数量积的坐标运算可得 ( ) = = 2 2 + 2 3 = 2 + 1 + 3 2
= 2 (2 3 ) + 1，
2 ≤ 2 2 所以 3 ≤ + 2 ， ∈ ，解得 + 6 ≤ ≤ 3 + ， ∈ ，
又因为 ∈ [0, ] 2 ， + 6 ≤ ≤ 3 + 中，令 = 0
得6 ≤ ≤
2
3，
取其他整数均不合要求，
2
所以函数 ( )在[0, ]上的单调递减区间为[ 6 , 3 ]；
(2) 若 ( 110) = ∈ ( , )5，且 0 6 3 ，
11 3
则 2 (2 0 3 ) + 1 = 5，所以 cos(2 0 3 ) = 5，
因为 0 ∈ ( 6 , 3 )，所以 2 0
∈ (0, 3 3 )，sin(2 0 3 ) > 0，
4
所以 sin(2 0 3 ) = 1 cos
2(2 0 3 ) = 5，
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根据两角和的余弦公式可得 2 0 = cos(2 0 3 + 3 ) = cos(2 0 3 )cos 3 sin(2 0 3 )sin 3
= 3 × 1 4 × 3 = 3 4 3，5 2 5 2 10
故 2 = 3 4 30 ．10
18.解：已知在△ 中， = 2， = 3，且|3 + 2(1 ) |的最小值为 3， 为 边上任意一点，
因为|3 + 2(1 ) | = 9 2| |2 + 12 (1 )| || |cos∠ + 4(1 )2| |2
1 1 1
= 72(1 cos∠ )[( 2 )
2 4 ] + 36 = 72(1 cos∠ )( )
2
2 + 18 + 18 ∠
≥ 18 + 18 ∠ ，
1
当且仅当 = 2时等号成立，
又因为|3 + (2 2 ) |的最小值为 3，所以 18 + 18 ∠ = 3，
解得 cos∠ = 1 2 2，所以∠ = 3，
如图所示建立直角坐标系，则 (0,0)， (2,0)， ( 3 , 3 32 2 )，
设 ( , 0)， ∈ [0,2]，
所以 = (2 , 0) ( 32 ,
3 3 ) = 2 12 2 3 = (
1 )2 49 49，4 16 ≥ 16
1
当且仅当 = 4时等号成立，所以 的最小值为
49
16．
19.解：(1) ( ) = + 3sin2 3 = 3 × 1 2 + 1 3 1 32 2 2 2 2 = 2 2 2 2 =
sin(2 3 )，
因为 2 12 ≤ 2
1
3 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
5
解得 12 ≤ ≤ + 12 , ∈ ，
所以函数 ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 , + 12 ], ∈ ；
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由图象平移的性质可得 ( ) = 3 ；
(2)①由(1)可得 3 + = 0，
因为关于 的方程 3 + = 0 在[0,2 )内有两个不同的解 1， 2，
10
即 = 与 = 3 + = 10sin( + )有两个交点，其中 = 10 ，
所以 ∈ ( 10, 10)；
②不妨设 1 < 2，
则 1 + 2 = 2
10 10
10 ，或 2 2 10 ，
当 1 + 2 = 2
10
10 时，
sin( 1 + 2) = sin(2
1
10 ) = 2 (arcsin
1
10 )cos(arcsin
1
10 ) =
3
5，
cos( 1 + 2) = cos(2
1
10 ) = 1 + 2
2(arcsin 1 410 ) = 5，
因为 3 1 + 1 = ，3 2 + 2 = ，
所以 9 2 1 + 6 1 2 2 21 + cos 1 = ，9 2 22 + 6 2 2 + cos 2 = ，
两式相加之后可得 2 2 = 9 2 + 6 + cos2 + 9 21 1 1 1 2 + 6 2 + cos22 2
= 8 2 1 + 3 2 1 + 8 2 2 + 3 2 2 + 2
1 2 1 1 2 = 8 × 2 + 3 2 1 + 8 ×
2
2 + 3 2 2 + 2
= 10 4( 2 1 + 2 2) + 3( 2 1 + 2 2)
= 10 8 ( 1 + 2)cos( 1 2) + 6 ( 1 + 2)cos( 1 2)
= 10 cos( 1 2)[8 ( 1 + 2) 6 ( 1 + 2)]
4 3
= 10 cos( 1 2)[8 × ( 5 ) 6 × 5 ]
= 10 + 10 ( 1 2)，
2
所以 cos( 1 2) = 5 1，
10当 2 + 1 = 2 2 10 ，同理可证上述等式成立，
2
所以 cos( 1 2) = 5 1．
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